齊 輝，龔 曲，曾慶友

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

彈性波散射理論一直以來(lái)都是彈性動(dòng)力學(xué)中重要研究課題之一，巧妙地運(yùn)用了一些數(shù)學(xué)物理方法解析地求解了一些復(fù)雜的波動(dòng)問(wèn)題，對(duì)地震工程、巖土工程及地下結(jié)構(gòu)工程等相關(guān)技術(shù)的研究與應(yīng)用有著重要價(jià)值。對(duì)彈性波在全空間中傳播時(shí)遇缺陷發(fā)生散射的研究已日趨完善，相關(guān)的研究已擴(kuò)展到半空間、四分之一空間等更復(fù)雜的情況，更多的界面模型被涉及[1-8]。雙相介質(zhì)半空間中的缺陷對(duì)SH波的散射問(wèn)題是在近幾年才備受科研人員的重視，而且他們基本上是討論入射SH波與缺陷在同一個(gè)介質(zhì)中的情況[2-6]，對(duì)于缺陷與入射波處于不同介質(zhì)中的研究還非常少。本文中采用Green函數(shù)法、復(fù)變函數(shù)法、保角映射法、“鏡像”法、極坐標(biāo)移動(dòng)技術(shù)以及“契合”的思想解析地求解雙相介質(zhì)彈性半空間內(nèi)橢圓彈性?shī)A雜對(duì)透射SH波的散射問(wèn)題。并通過(guò)具體的算例得出在不同的入射角、SH波頻率和介質(zhì)性質(zhì)的情況下橢圓夾雜周邊環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中分布情況，以期獲得一些具體的理論結(jié)果為相關(guān)科研及工程實(shí)際應(yīng)用提供參考。

1 問(wèn)題模型

如圖1所示，由介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ組成的雙相介質(zhì)半空間內(nèi)有一個(gè)橢圓夾雜，橢圓夾雜為介質(zhì)Ⅲ，這3種介質(zhì)均為連續(xù)、均勻、各向同性的彈性介質(zhì)。橢圓夾雜長(zhǎng)半軸和短半軸長(zhǎng)度分別為a和b，夾雜中心到垂直邊界BV的距離為h，到水平邊界BH距離為d，建立如圖1所示直角坐標(biāo)系xOy和x″O″y″。SH波從介質(zhì)Ⅱ中入射，遇垂直邊界BV產(chǎn)生透射SH波進(jìn)入介質(zhì)Ⅰ中。主要研究在不同參數(shù)條件下介質(zhì)Ⅰ中橢圓夾雜周邊在透射SH波作用下產(chǎn)生的環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中情況，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，突出反映透射SH波的危害性。

2 控制方程

二維平面SH波位移函數(shù)W(x,y)與時(shí)間的依賴關(guān)系為e-iωt,滿足控制方程：

(1)

(2)

引入保角映射函數(shù)：

(3)

(4)

與式(4)相應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式為：

(5)

3 Green函數(shù)

本文中在求解實(shí)際問(wèn)題之前先構(gòu)造問(wèn)題的Green函數(shù)，其中Green函數(shù)Ⅰ具體為含橢圓彈性?shī)A雜的四分之一空間在垂直邊界上任一位置處的出平面點(diǎn)源荷載作用下產(chǎn)生的位移場(chǎng)，四分之一空間為介質(zhì)Ⅰ，橢圓夾雜為介質(zhì)Ⅲ，如圖2所示。采用“虛設(shè)點(diǎn)源”法構(gòu)造Green函數(shù)入射波位移場(chǎng)表達(dá)式如下：

(6)

(7)

(8)

然后依據(jù)橢圓夾雜邊界上應(yīng)力和位移連續(xù)條件可建立如下方程組：

(9)

在方程兩邊同時(shí)乘以e-imθ，然后在(-π,π)區(qū)間內(nèi)積分并進(jìn)行有限項(xiàng)截?cái)嗲蟪鱿禂?shù)An和Bn，本文中取n=8。Green函數(shù)Ⅰ為:

(10)

Green函數(shù)Ⅱ?yàn)樗姆种豢臻g中無(wú)橢圓夾雜時(shí)的位移場(chǎng)，即:

(11)

4 入射波、反射波、透射波和散射波

采用“鏡像”法將半空間雙相介質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全空間雙相介質(zhì)問(wèn)題，入射波、反射波和透射波可分別表示為：

(12)

(13)

(14)

運(yùn)用Snell定律可以得到入射波、反射波和透射波位移幅值之間的關(guān)系式如下：

(15)

由于入射波的作用，同樣在介質(zhì)Ⅰ中會(huì)產(chǎn)生散射波，在橢圓夾雜內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生駐波，其過(guò)程及相關(guān)系數(shù)的求解參考構(gòu)造Green函數(shù)的過(guò)程，在此不再敘述。

5 定解積分方程組

(16)

介質(zhì)Ⅰ中存在透射波和散射波，即:

(17)

介質(zhì)Ⅱ中存在入射波和反射波，即:

(18)

(19)

(20)

利用垂直邊界處的關(guān)系：W(Ⅰ)+W(f1)=W(Ⅱ)+W(f2)，W(in)+W(re)=W(tr)可得到如下定解積分方程組：

(21)

(22)

式中:G1與G2分別為之前構(gòu)造的在介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的Green函數(shù)，利用散射波的衰減性并進(jìn)行有限項(xiàng)截?cái)嗲蟮梦粗郊恿ο怠?/p>

6 動(dòng)應(yīng)力集中因子

本文中主要是運(yùn)用彈性波的散射理論來(lái)研究彈性波的繞射與動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題。環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中因子可寫成如下形式：

(23)

式中:τ0=μ2k2W4為半空間透射SH波應(yīng)力的最大幅值，τ為橢圓夾雜周邊環(huán)向總應(yīng)力。

在橢圓夾雜周邊環(huán)向應(yīng)力表達(dá)式：

(24)

7 算例及結(jié)果分析

8 結(jié) 論

SH波入射的角度、介質(zhì)的性質(zhì)、透射波的頻率以及橢圓夾雜與垂直邊界的距離對(duì)橢圓夾雜周邊環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中因子的分布均有不同程度的影響。當(dāng)SH波水平入射產(chǎn)生透射波時(shí)，橢圓夾雜周邊環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中程度較大。在一定范圍內(nèi)，垂直界面右側(cè)的介質(zhì)性質(zhì)對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中因子的極值影響較小，但在不同透射波頻率下該極值的位置會(huì)發(fā)生明顯變化。在中頻和高頻透射波情況下，橢圓夾雜的性質(zhì)對(duì)其周邊動(dòng)應(yīng)力集中的分布影響較大，且在一定條件下動(dòng)應(yīng)力集中程度會(huì)非常嚴(yán)重。當(dāng)橢圓夾雜距離垂直邊界一定距離后，該距離的影響可以忽略不計(jì)。總之，在實(shí)際工程中應(yīng)該重視雙相介質(zhì)中透射波對(duì)結(jié)構(gòu)可能造成的 不利影響。

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