北京市第一〇一中學(xué) 謝 衛(wèi) 賀麗珍

在高三的教學(xué)實(shí)踐中，求解導(dǎo)數(shù)綜合問題對學(xué)生的思維能力要求較高，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的好素材。我們嘗試在導(dǎo)數(shù)綜合問題的教學(xué)中通過有效地設(shè)計(jì)教學(xué)過程，逐步引導(dǎo)學(xué)生克服思維障礙，打破思維瓶頸，明晰思維過程，提升思維品質(zhì)。

下面以“高三復(fù)習(xí)課：導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用復(fù)習(xí)”為例，來談一談如何在高三專題復(fù)習(xí)課中提升思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、圍繞教學(xué)目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題

若想充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，首先要留給學(xué)生充分的思考、討論、質(zhì)疑的時間，讓生生對話、師生對話充分進(jìn)行。一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容不宜安排太多，應(yīng)該少而精，選取能充分承載本內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)的問題。比如，本節(jié)課只探討了一個問題。

問題：已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）當(dāng)a=0時，求證：不等式f(x)≤x-1在區(qū)間（0，＋∞）上恒成立；（2）若在區(qū)間 ［1，＋∞）上，函數(shù)f(x)的圖象不出現(xiàn)在直線y＝x-1的上方，求a的最大值。

本題改編自2016成都模擬，原題是：

已 知 關(guān) 于x的 函 數(shù)f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（1，0）處的切線方程；

（2）若函數(shù)f（x）有極小值，試求a的取值范圍；

（3）若在區(qū)間［1，＋∞）上，函數(shù)f（x）不出現(xiàn)在直線y＝x-1的上方，試求a的最大值．

原題第（1）問是求在（1，0）處的切線，我們對第（1）問進(jìn)行了改編：證明一個重要不等式ln x≤x-1，無論是把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行研究的思路，還是這個不等式本身的結(jié)論都為第（2）問不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的解決提供思想方法和結(jié)論的支持。而且我們發(fā)現(xiàn)，很多函數(shù)問題都是在這些重要不等式的基礎(chǔ)上添加參數(shù)形成新的問題，都是由這些重要不等式生成的問題。

改編后的第（2）問的解決方法多樣，但研究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題解決的特征：分析問題的結(jié)構(gòu)、恰當(dāng)構(gòu)建函數(shù)、研究函數(shù)、解決問題是一致的，而且學(xué)生如果能整體分析函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)，合理作圖，整體把握問題，會找到簡潔的思路。

在高三復(fù)習(xí)課中如何精心選擇問題、改編問題？有以下幾個原則：（1）加強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)及聯(lián)系的研究，把準(zhǔn)教學(xué)內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)與要素。這樣，才能使所設(shè)計(jì)的問題具有“數(shù)學(xué)”性。（2）認(rèn)真研究學(xué)生的思維過程。學(xué)習(xí)內(nèi)容不同，學(xué)生的思維活動是不同的，認(rèn)真分析學(xué)生的思維過程，才能使所設(shè)計(jì)的問題具有“思維”性。（3）精心選擇問題的起點(diǎn)、層次、跨度，同時注意所設(shè)計(jì)問題的系統(tǒng)性、整體性，使所設(shè)計(jì)的問題真正促進(jìn)有效活動。（4）根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況，可以適當(dāng)對原題進(jìn)行改編，比如搭建臺階或者提出更加發(fā)散的問題等。

課前學(xué)生作答情況：

學(xué)生對于第（1）問的證明沒有障礙，書寫也比較嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范。對于第（2）問，所有學(xué)生都能夠?qū)⒉坏仁胶愠闪⑥D(zhuǎn)化為作差構(gòu)造函數(shù)

大部分學(xué)生把問題轉(zhuǎn)化為已知g（x）≤0，x≥1，構(gòu)造差函數(shù)對a分類討論，求a的取值范圍。其中，有一多半學(xué)生注意到了可以直接應(yīng)用第（1）問的結(jié)論，得到a≤ 0 時，g（x） ≤ 0 恒成立，但是a ＞ 0 時對每一類的函數(shù)特征敘述不清楚，尤其是對于a ＜這種情況，

學(xué)生能猜想g（x）≤ 0（x≥ 1）不恒成立，但找不到使得g（x）＞ 0的點(diǎn)，只有三、四名學(xué)生說清楚了。另外少數(shù)學(xué)生由于沒有聯(lián)系第（1）問，導(dǎo)致分類沒有思路，其中，有個別學(xué)生選擇用分離變量的方法構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最小值，但由于運(yùn)算較煩鎖，只有一兩個同學(xué)做完整。

總體來說，第（2）問都寫得很煩瑣，但基本都沒全對，而且在獨(dú)立完成作業(yè)時沒有任何一名學(xué)生能夠從整體把握問題，抓住問題本質(zhì)，得到最簡的解題思路。學(xué)生的作答情況反映了思維不夠嚴(yán)密，直觀思維欠缺、抽象能力偏弱、反思能力不強(qiáng)等數(shù)學(xué)思維方面的不足。

二、優(yōu)化教學(xué)過程，促進(jìn)學(xué)生主動思維

在課堂教學(xué)中，我們通過設(shè)計(jì)針對性問題，給學(xué)生充分思考時間，讓學(xué)生充分參與，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在實(shí)際教學(xué)過程中，問題隨著課堂進(jìn)程不斷生成和變化，教師要及時調(diào)整、反思與總結(jié)，以便真正與學(xué)生活動相吻合、促進(jìn)學(xué)生主動思維，提升學(xué)生各方面的思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在“導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用”中，根據(jù)我們對學(xué)生導(dǎo)數(shù)問題學(xué)習(xí)的調(diào)研和問題解答，分析得出學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)等工具研究函數(shù)的初步性質(zhì)掌握較好，但在解決函數(shù)綜合問題時有以下思維障礙：

（1）求導(dǎo)后無從下手，停留在操作層面，直觀性思維欠缺；

（2）不能恰當(dāng)、有效地構(gòu)建函數(shù)解決含有參數(shù)的方程和不等式問題；

（3）在解決問題過程中，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力欠缺。

針對學(xué)生在數(shù)學(xué)思維和能力上的不足，我們設(shè)計(jì)如下幾個教學(xué)環(huán)節(jié)：

（一）直觀性思維——數(shù)學(xué)的感知

第（1）問證明完畢后，我們提了如下問題：

不等式 ln x≤x-1（x＞0）的幾何意義是什么？等號成立的條件是什么？

學(xué)生畫出兩個函數(shù)的圖象（如圖1），從直觀上看到了不等式的幾何意義。

圖1

直觀性思維是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。因此，每遇到一個代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生尋找它的幾何意義，幫助學(xué)生形成直觀性思維，從而優(yōu)化解題過程。

在學(xué)生具有了比較好的直觀性思維的基礎(chǔ)上，解決第（2）問時，把問題轉(zhuǎn)化為“已知 ln x+a(x-1)2≤x-1，求a的取值范圍”后，有的學(xué)生通過觀察、研究函數(shù)結(jié)構(gòu)、畫出圖象，根據(jù)圖象整體特點(diǎn)，直接得到了答案。

圖2

當(dāng)a=0時，第（1）問已證；求a的最大值，只需看a＞0。當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，如圖2，在x≥1時，隨著x的增大，直線的增長速度保持不變，而拋物線增長得越來越快，所以當(dāng)x充分大時，f(x) ＞ x-1總是成立，原不等式就不成立。因此，a ＞ 0都不符合，最大值就是0。

這時，教師給予總結(jié)：函數(shù)圖象能夠直觀形象地表示出函數(shù)的變化狀態(tài)，是我們在解決問題中需要特別關(guān)注的。但是不能以圖代證，還需要嚴(yán)格證明求解。

（二）特殊到一般——數(shù)學(xué)的聯(lián)想

在學(xué)生證明了第（1）問的不等式ln x≤x-1后，我們引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）你能得到類似的不等式嗎？比如，含有ex的不等式？

（2）試一試給這兩個不等式添加參數(shù)，使得不等式還成立，課后可以繼續(xù)思考。

學(xué)生得到：ex≥x+1（x∈R），從圖象上看，是關(guān)于y=x對稱的反函數(shù)，也可以證明，與 ln x≤x-1（x＞0）的證明方法類似。

學(xué)生還得到了以下不等式：

命題者很多時候就是在一些重要的不等式或方程中添加參數(shù)，構(gòu)造一個求參數(shù)取值范圍或證明題，我們平時不妨引導(dǎo)學(xué)生主動構(gòu)造一些新命題，或許能得到許多有趣的命題。

這個環(huán)節(jié)我們試圖挖掘命題者的命題思路，主動添加參數(shù)，構(gòu)造新命題，讓學(xué)生學(xué)會整體把握問題，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想。其實(shí)，任何一個數(shù)學(xué)問題的解決實(shí)際上是一個不斷轉(zhuǎn)化、不斷化歸的過程，更是一個不斷追根溯源的過程；從特殊到一般是數(shù)學(xué)探究的一條基本途徑也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、提升學(xué)生科學(xué)品質(zhì)的一條有效途徑，而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)正是目前學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的一個重要內(nèi)容。

（三）直觀到運(yùn)算——數(shù)學(xué)的抽象

如何嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范地解決第（2）問呢？在給予了學(xué)生充分思考的時間后，學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想得到：當(dāng)a≤0時，問題直接轉(zhuǎn)化為（1）中的不等式；當(dāng)a＞0時，不等式恒成立，通過作差構(gòu)造函數(shù) :設(shè)g(x)=ln x+a(x-1)2- (x-1)，x≥ 1。

問題轉(zhuǎn)化為：x≥1，g(x)≤ 0恒成立，即x≥ ，gmax(x)≤0，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性和最大值問題。

下面是一個學(xué)生給出的解決過程：

數(shù)學(xué)抽象的實(shí)質(zhì)是把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁，對學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)應(yīng)使得學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題。而數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)際是一種演繹推理，是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段。

遇到某個數(shù)學(xué)概念或問題有多種途徑時，學(xué)會判斷選擇，尋找最佳途徑；遇到代數(shù)式，先關(guān)注代數(shù)結(jié)構(gòu)，利用代數(shù)結(jié)構(gòu)中提供的信息選擇轉(zhuǎn)化方向；關(guān)注運(yùn)算中的化簡與整體意識，尋求并設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑。我們在教學(xué)過程中，應(yīng)抓住時機(jī)進(jìn)行不同運(yùn)算方向的比較，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)運(yùn)算智慧的重要性。

三、關(guān)注思維發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極反思

此時，我們似乎已經(jīng)完美地尋找到了問題的解決方案，但這不是思維培養(yǎng)的最終目標(biāo)。對問題做進(jìn)一步的反思能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方面，經(jīng)過反思，往往會有更深刻、更全面的認(rèn)識。因此教學(xué)中，在完成對問題解決的第一個階段之后，我們要引導(dǎo)學(xué)生對問題和解答進(jìn)行反思。

（一）數(shù)學(xué)反思之簡潔美

有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這個問題本質(zhì)上的解法：其實(shí)不用求導(dǎo)，就可以解決第（2）問：

該生的解答簡潔干練，數(shù)學(xué)的簡潔之美感染了每一個學(xué)生，讓所有的學(xué)生感到震撼！每個學(xué)生的眼中流露出的躍躍欲試形成了本節(jié)課的第一個高潮。把問題分析透徹之后，整體把握函數(shù)結(jié)構(gòu)和圖象特征，可以看到問題的本質(zhì)，提升學(xué)生思維高度。愛因斯坦說過：“美，本質(zhì)上終究是簡單性?！彼€認(rèn)為，只有借助數(shù)學(xué)，才能達(dá)到簡單性的美學(xué)準(zhǔn)則。對問題進(jìn)行反思和再認(rèn)識，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了更深入的發(fā)展。

（二）數(shù)學(xué)反思之思維的多角度

一個學(xué)生提出對于第（2）問，他用分離變量的方法解決，過程如下：法則 ) 因此a≤ 0。

我們看到，這個學(xué)生沒有注意到與第（1）問的聯(lián)系，把第（2）問作為一個新問題，轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)（分離變量的方法）研究函數(shù)的最小值，其實(shí)，與前面作差構(gòu)造新函數(shù)都是相同的思維過程，都是把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)最值的問題。這種構(gòu)造方式，優(yōu)點(diǎn)是把參數(shù)完全分離出來，新函數(shù)不帶參數(shù)，不用分類討論；但像這個問題，新函數(shù)較復(fù)雜，求一次導(dǎo)數(shù)不能完全判斷符號，還需要把導(dǎo)函數(shù)作為新的函數(shù)二次求導(dǎo)。這個問題最后還用到了高等數(shù)學(xué)里的洛必達(dá)法則，感覺沒有直接作差來得簡單。

教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題特征，對比幾種方法，體會思維的不同角度，并且盡量提煉出幾種方法的通性和本質(zhì)，鼓勵學(xué)生積極思考、敢于挑戰(zhàn)、敢于嘗試、嚴(yán)謹(jǐn)分析和推理的數(shù)學(xué)研究態(tài)度。

在這個學(xué)生解答的基礎(chǔ)上，再次對問題進(jìn)行反思和認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)，分離變量之后不用求導(dǎo)也可行：

這個解答再次震撼了所有學(xué)生，讓每一個人都很激動，形成了課堂的第二次討論高潮，學(xué)生的思維馳騁在數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)學(xué)思維得到了升華……

以上是筆者結(jié)合高三一節(jié)專題復(fù)習(xí)課的案例對在教學(xué)中充分發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的探討。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思維不止是以上幾個方面，通過一節(jié)課也不能使學(xué)生所有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到全面發(fā)展。但是，只要教師堅(jiān)持有意識地在每一節(jié)課中去滲透，以問題為載體引導(dǎo)學(xué)生不斷思考、不斷提出問題以達(dá)到不斷優(yōu)化的目的，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考數(shù)學(xué)，學(xué)生通過不斷地實(shí)踐，數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)也定能得到相應(yīng)的提升。

參考文獻(xiàn)

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