雷騰飛，付海燕，臧紅巖，蘇 敏

(齊魯理工學院電氣信息工程學院,山東 濟南 250200)

300多年前，整數(shù)階微積分被提出不久便出現(xiàn)了分數(shù)階微積分，因此兩者具有同樣長的歷史，但后者因其物理意義不明確而發(fā)展緩慢[1].近幾十年來，隨著非線性動力學理論的發(fā)展與完善，分數(shù)階非線性系統(tǒng)及分數(shù)階控制系統(tǒng)成為新的研究熱點，學者們提出了許多分數(shù)混沌系統(tǒng)，如分數(shù)階Chen系統(tǒng)[3-4]、分數(shù)階Lü系統(tǒng)[5]和分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)[6-9]等.目前，在分數(shù)階混沌系統(tǒng)方面已經(jīng)取得了一定的研究成果，研究方法主要包括頻域法[9-10]、預估-矯正法[4]和Adomian分解法[11]，其中Adomian分解法因效果良好而備受關(guān)注.賀少波等[11]對一類簡化Lorenz系統(tǒng)進行了CO與SE復雜度、分岔圖等動力學分析.分數(shù)階同步方法主要包括投影同步[12]、單向耦合同步[13]、自適應控制同步[14]和主動控制同步[15]等.這些同步方法為分數(shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信方面的應用提供了堅實的理論基礎，并有效地促進了其在圖像及視頻加密等領(lǐng)域中的應用.鑒于此，筆者擬對分數(shù)階Bao混沌系統(tǒng)的非線性項進行分解，從而得出系統(tǒng)的混沌吸引子，并在此基礎上設計分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制器和分數(shù)階混沌保密通信系統(tǒng).

1 分數(shù)階Bao混沌系統(tǒng)

1.1 Adomian分解法及吸引子

包伯成等[7]提出了一種新的混沌系統(tǒng)，即滿足條件a12a21=0的過渡混沌系統(tǒng).筆者在此基礎上提出分數(shù)階混沌系統(tǒng)，其動力學方程為

(1)

其中：x(t),y(t),z(t)為系統(tǒng)變量；a,b,c為系統(tǒng)系數(shù).給定初始狀態(tài)

根據(jù)Adomian分解法和分數(shù)階微積分性質(zhì)給對應的變量賦值，令

(2)

根據(jù)Adomian分解法進行運算可得：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

根據(jù)方程組(1)—(7)可求得系統(tǒng)方程的解為

當a=20,b=4,c=32，q1=q2=q3=q=0.9時，運用Matlab軟件對Adomain分解下的Bao系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，得到系統(tǒng)(1)的混沌軌跡即系統(tǒng)的吸引子，如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)吸引子Fig.1 System Attractor

1.2 參數(shù)a的變化

固定參數(shù)b=4,c=32,改變參數(shù)a(a∈[10,30])，當q1=q2=q3=0.9時，系統(tǒng)(1)關(guān)于x的分岔如圖2a所示.從圖2a可以看出：系統(tǒng)由倒置倍周期脫離混沌狀態(tài)，且都存在周期窗口，但周期窗口的區(qū)域不同；當a∈[25.5,30]與a處于12附近時，系統(tǒng)處于周期運動.

為了進一步分析系統(tǒng)的復雜度，當q1=q2=q3=0.9時，Lyapunov指數(shù)譜隨著a的變化而變化的情況如圖2b所示.從圖2b可以看出：在周期態(tài)最大，Lyapunov指數(shù)為非正數(shù)；在混沌態(tài)最大，Lyapunov指數(shù)為正數(shù).

圖2 a變化時系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)與分岔Fig.2 Lyapunov Exponent and Bifurcation Diagram of System (1) with a Change

2 同步控制器設計及仿真

2.1 同步控制器設計

為了更好地設計控制器，利用系統(tǒng)(1)構(gòu)建驅(qū)動系統(tǒng)

(8)

則相應的響應系統(tǒng)

(9)

其中u為控制信號.令系統(tǒng)誤差為

則對應的誤差系統(tǒng)為

(10)

令控制器的控制信號

u(t)=ae2(t)-2ae1(t).

(11)

將(11)式代入方程組(10)，得

(12)

將系統(tǒng)(12)作線性化處理，得到Jacbian矩陣

顯然矩陣A的特征值為-a,-c,-b.根據(jù)勞斯判據(jù)可判定系統(tǒng)(12)為穩(wěn)定性系統(tǒng).

2.2 設計仿真

令q=0.9,a=20,b=4,c=32，則驅(qū)動系統(tǒng)(8)初值為x1(0)=11,y1(0)=10,z1(0)=13，響應系統(tǒng)(9)初值為x2(0)=36,y2(0)=52,z2(0)=48.對系統(tǒng)(8)和(9)的狀態(tài)變量進行仿真,系統(tǒng)(8)和(9)的狀態(tài)變量同步效果如圖3所示，誤差系統(tǒng)時間響應如圖4所示.由圖3，4可以看出，2個系統(tǒng)在1.5 s左右達到同步，響應速度較快.

圖3 系統(tǒng)(8)和(9)狀態(tài)變量同步效果Fig.3 Synchronization of State Values in System (8) and System (9)

圖4 誤差系統(tǒng)時間響應Fig.4 Error System Time Response

3 在保密通信中的應用

圖5 分數(shù)階混沌保密通信系統(tǒng)Fig.5 Fractional Chaotic Secure Communication System

混沌掩蓋是最簡單的混沌通信方式，其主要以混沌同步控制器為基礎，把需要發(fā)送的信息信號直接疊加在混沌信號上，利用混沌信號的偽隨機特性傳輸信號.分數(shù)階混沌保密通信系統(tǒng)如圖5所示.輸入信號為m(t)，m(t)=sin(2t)+3cos(20t)+2sin(10t).加密信號為分數(shù)階系統(tǒng)(8)的輸出信號z1(t)，則加密后的信號為s(t)=z1(t)+3m(t).加密信號與加密后的信號如圖6所示.發(fā)送端與接收端的信號如圖7所示，從中可知兩端的信號同步.

圖6 加密信號與加密后的信號Fig.6 Signal to be Encrypted and Encrypted Signal

圖7 接收端與發(fā)送端的信號Fig.7 Signals Received and Transmitted

4 結(jié)語

提出了一類分數(shù)階過渡Bao混沌系統(tǒng)并進行了數(shù)值仿真，從系統(tǒng)的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖兩方面分析了0.9階次Bao混沌系統(tǒng)的動力學特性，并說明了參數(shù)對此類混沌系統(tǒng)的影響.為了更好地應用分數(shù)階混沌系統(tǒng)，筆者設計了該系統(tǒng)的同步控制器，其同步仿真與加密仿真的結(jié)果均證實了系統(tǒng)的可行性，為進一步研究復雜通信加密方案及其電路實現(xiàn)提供了新的思路.

參考文獻：

[1] HILFER R.Applications of Fractional Calculus in Physics[M].New Jersey：World Scientific，2001.

[2] MANDELBRT B B.The Fractal Geometry of Nature[M].New York：Freeman,1983.

[3] LU J G.Nonlinear Observer Design to Synchronize Fractional-Order Chaotic System via a Scalar Transmitted Signal[J].Physica A:Statistical Mechanics & Its Applications，2006,359(1)：107-118.

[4] 王 震，孫 衛(wèi)．分數(shù)階Chen混沌系統(tǒng)同步及Multisim電路仿真[J].計算機工程與科學，2012，34(1)：187-192．

[5] WU X J.Chaos in the Fractional Order Unified System and Its Synchronization[J].Chinese Physics，2007，16(7):392-401.

[6] 賈紅艷,陳增強,薛 薇.分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)的分析及電路實現(xiàn)[J].物理學報,2013,62(14):56-62.

[7] BAO Bocheng，LIU Zhong，XU Jianping．New Chaotic System and Its Hyperchaos Generation[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2009，20(6)：1 179-1 187．

[8] 劉崇新.一個超混沌系統(tǒng)及其分數(shù)階電路仿真實驗[J].物理學報，2007，56(12)：6 865-6 873.

[9] 賈紅艷,陳增強,薛 薇.分數(shù)階Lorenz系統(tǒng)的分析及電路實現(xiàn)[J].物理學報,2013,62(14):56-62.

[10] 陳 恒，雷騰飛，王 震，等.分數(shù)階Lorenz超混沌系統(tǒng)的動力學分析與電路設計[J].河南師范大學學報(自然科學版)，2016，44(1)：59-63.

[11] 賀少波,孫克輝,王會海.分數(shù)階混沌系統(tǒng)的Adomian分解法求解及其復雜性分析[J].物理學報,2014,63(3):58-65.

[12] WANG X Y,ZHANG Y L.Modified Projective Synchronization of a Fractional-Order Hyperchaotic System with a Single Driving Variable[J].Chinese Physics B,2011,20(10):159-165.

[13] 于永光，李蘭榮，孟 霞，等.分數(shù)維環(huán)式單向耦合Lorenz 系統(tǒng)的同步[J].北京交通大學學報，2009，33(3):103-106.

[14] 單 梁,李 軍,閔富紅,等.新分段分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2010,32(10):2 198-2 202.

[15] 李 東,鄧良明,杜永霞,等.分數(shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和分數(shù)階超混沌Rssler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步[J].物理學報,2012,61(5):51-59.

[16] 王興元.混沌系統(tǒng)的同步及在保密通信中的應用[M].北京：科學出版社，2012.