王慶慶

(華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京 102206)

1 問題的提出

考慮一般的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)

(1)

其中：ε>0；Ω為R中的開區(qū)間；D(x,t)和M(x,t)均為定義在開子集U×V?Rn×Ω上的矩陣值函數(shù)，D≥O；v和f為U×R+到Rn的光滑映射.J Smoller[1]給出了方程組(1)的解的存在性判定性質(zhì)：

引理1假設(shè)B是可容許的巴拿赫空間，v0(x)∈B,若0≤t≤T≤+∞，解的L∞模先驗(yàn)有界，則方程組(1)的解對(duì)于?t(0≤t≤T)存在且v(x,t)∈B.

為了利用引理1判定反應(yīng)擴(kuò)散方程的解的整體存在性，引入不變區(qū)域的相關(guān)理論[1-3]：

定義1閉集Σ(Σ?Rn)稱為方程組(1)的解v(x,t)的(正)不變區(qū)域，如果v(x,t)的初值和邊界條件均屬于Σ，且對(duì)于?(x,t)∈Ω×(0,T]，滿足v(x,t)∈Σ.

J Smoller[1]和K Chueh等[2]指出，不變區(qū)域Σ可由“半空間”的交集組成，即

(2)

其中Gi(v(x,t))為定義在Rn中開集U到R的光滑函數(shù)，且dGi(v(x,t))≠0(i=1,2,…,n).

不變區(qū)域本質(zhì)上是給出解的L∞模先驗(yàn)有界，因此尋找方程組的不變區(qū)域?qū)τ谘芯拷獾恼w存在性具有重要意義.

2 主要結(jié)果及其證明

引理2假設(shè)Σ由(2)式定義，若對(duì)于?t∈R+和每一個(gè)v0(x)∈?Σ(對(duì)i有Gi(v0(x))=0)，以下條件成立：

(ⅰ) 對(duì)于?x∈Ω，dGi(v(x,t))在v0處是D(v0(x),x)和M(v0(x),x)的左特征向量；

(ⅱ) 若dGi(v0(x))D(v0(x),x)=μdGi(v0(x))，μ≠0，則Gi(v(x,t))在v0(x)處擬凸；

(ⅲ) 對(duì)于?t∈R+，在v0(x)處有dGi(v0(x))·f(v0(x),t)<0.

則對(duì)于每一個(gè)ε>0，Σ是方程組(1)的不變區(qū)域.

證明見文獻(xiàn)[1].

注1若方程組(1)是f穩(wěn)定的，則引理2的條件(ⅲ)可放寬為：

(ⅳ)對(duì)于?t∈R+，在v0(x)處有dGi(v0(x),t)·f(v0(x),t)≤0.

證明取Gi(v(x,t))=vi(x,t)-bi，則dGi(v(x,t))=(0,0,…,1,0,…,0)(第i個(gè)分量為1).因?yàn)镈和M都是對(duì)角矩陣，所以dGi(v(x,t))是D和M的左特征向量.存在η(η∈Rn)，如果dGi(v(x,t))·η|vi(x,t)=bi=0，那么ηTd2G(v(x,t))η|vi(x,t)=bi=0，因此Gi(v(x,t))在vi(x,t)=bi處是擬凸的.又因?yàn)閐Gi(v(x,t))·f(v(x,t),t)|vi(x,t)=bi<0，所以Gi(v(x,t))=vi(x,t)-bi≤0，即vi(x,t)≤bi是方程組(1)的不變區(qū)域.再取Gi(v(x,t))=ai-vi(x,t)，同理可證明vi(x,t)≥ai也是方程組(1)的不變區(qū)域.

3 應(yīng)用實(shí)例

例1Tyson模型是Belousov-Zhabotinsky化學(xué)反應(yīng)中的一個(gè)典型模型，J J Tyson[4]和徐世英等[5]對(duì)其進(jìn)行了詳細(xì)的描述.Tyson模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(3)

其中：u和v分別為化學(xué)反應(yīng)中催化劑和反應(yīng)物的濃度；0<ε?1；0

Ut=DUxx+F(U).

(4)

另外，因?yàn)镈是對(duì)角矩陣，M=O,所以可以應(yīng)用定理1尋找方程組(3)的不變矩形.令Σ={(u,v):0≤u≤a,0≤v≤b}，1

注意到(-1,0)是D的左特征向量，令G(u,v)=-u，則

所以-u=G(u,v)≤0，即u≥0.相似地，令G(u,v)=-v，則

dG(u,v)·F(U)|v=0=-(u-v)|v=0=-u≤0，

所以v≥0.再令G(u,v)=u-a，則

所以u(píng)≤a.最后令G(u,v)=v-b，則

dG(u,v)·F(U)|v=b=u-v|v=b=u-b≤a-b<0，

所以v≤b.以上計(jì)算表明Σ是(4)式的不變區(qū)域.同理，可以構(gòu)造出任意大的不變區(qū)域.根據(jù)引理1，只要保證方程組(3)的初值在可容許巴拿赫空間內(nèi)，帶此初值的Tyson模型對(duì)于?t>0就存在整體解.

例2[6-7] 生物學(xué)中描述形態(tài)形成的一個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散方程組為：

(5)

其中：a,δ,Y>0；u，v分別為活化劑和抑制劑的濃度.

Ut=DΔU+F(U).

(6)

圖1 反應(yīng)擴(kuò)散方程組不變矩形Fig.1 Invariant Rectangle of Reaction-Diffusion System

接下來，利用幾何構(gòu)造的方法尋找(6)式的不變矩形，如圖1所示.圖1中繪制了向量場(chǎng)F(U)的零集合，“+”和“-”為F(U)中各函數(shù)在其零集合邊上的符號(hào).構(gòu)造矩形ABCD,其中AB邊和CD邊平行于v軸，AD邊和BC邊平行于u軸，并且滿足

δu-Yv|AD<0，δu-Yv|BC>0，

au-u3-v|AB>0，au-u3-v|CD<0.

若取Σ為矩形ABCD，則在?Σ上F(U)嚴(yán)格指向Σ內(nèi)部，滿足定理1;因此Σ是方程組(5)的不變矩形.同理，可以構(gòu)造任意大的不變矩形，只要保證方程組(5)的初值在可容許巴拿赫空間內(nèi)，帶此初值的方程組(5)就存在整體解.

由實(shí)例可以看出，尋找反應(yīng)擴(kuò)散方程組的不變區(qū)域?yàn)檠芯空w解的存在性提供了條件.另外，在利用比較定理時(shí)，不變區(qū)域提供了解的先驗(yàn)估計(jì)，在分析解的漸近行為等方面發(fā)揮著重要的作用.

參考文獻(xiàn)：

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[5] 徐世英,張 蕊,劉趙淼,等.一維Tyson反應(yīng)擴(kuò)散模型的數(shù)值分析[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),1999,19(5):622-626.

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