曹陽

【摘要】本文以中國人教版，加拿大BC省版，美國加州版的中學(xué)數(shù)學(xué)教材為研究對象，運(yùn)用華東師范大學(xué)鮑建生教授構(gòu)建的五因素多水平的綜合難度模型，對其“不等式”專題中例題的綜合難度進(jìn)行比較.研究結(jié)論為：中國教材除知識綜合水平因素外，其余四個(gè)因素均大于其他兩國；難度系數(shù)相差最大的因素為數(shù)學(xué)認(rèn)知因素；加、美兩國例題更強(qiáng)調(diào)生活背景等.

【關(guān)鍵詞】不等式；綜合難度；比較研究

一、問題提出

不等式是數(shù)學(xué)在生活上運(yùn)用的很好例證，如基本不等式可以用于估計(jì)最值等.不等式專題也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要專題.一方面，它與其他各章節(jié)知識點(diǎn)之間聯(lián)系非常密切，前者的學(xué)習(xí)對于后者的學(xué)習(xí)有著積極的促進(jìn)作用.另一方面，不等式專題對于學(xué)生高等教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)甚至數(shù)學(xué)研究等都起著至關(guān)重要的作用.基于這樣的重要性，教材中如何處理不等式專題的內(nèi)容成為我們關(guān)注的焦點(diǎn).本文將從綜合難度的角度出發(fā)，選取中國、加拿大、美國（以下分別簡稱中、加、美）教材中的例題為切入點(diǎn)，對中、加、美數(shù)學(xué)教材例題的綜合難度進(jìn)行比較研究，以期有所啟示.

二、研究對象

（一）教材選取

中國教材：本論文選取現(xiàn)行的人民教育出版社的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七年級下冊）》（以下簡稱七年級下冊），《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修5（A版）》（以下簡稱必修5）作為研究教材.兩本教材則統(tǒng)稱中國教材.

加拿大教材：本論文選取的是英屬哥倫比亞省所使用的中學(xué)數(shù)學(xué)教材《MATHPOWERTM 9 Western Edition》（以下簡稱第9冊）與《MATHPOWERTM 11 Western Edition》（以下簡稱第11冊）作為研究教材.兩本教材在下文中統(tǒng)稱加拿大教材.

美國教材：選取的是McGraw-Hill公司按照加州公立學(xué)校數(shù)學(xué)課程框架出版的系列教科書《概念，技能與問題解決》作為研究教材.該系列教材在下文中統(tǒng)稱美國教材.

（二）例題的選擇

本論文的例題研究對象指的是教材正文中出現(xiàn)詳細(xì)解答以及分析過程的例題.中國教材不等式內(nèi)容例題研究對象指的是在不等式內(nèi)容正文中，標(biāo)有“例”或者“例題”的題目.加拿大教材與美國教材不等式內(nèi)容例題研究對象指的是在不等式內(nèi)容中，標(biāo)有“Example（例題）”或“Real-world Example（現(xiàn)實(shí)生活的例子）”的題目.

三、模型簡介

比較三個(gè)國家教材的例題綜合難度模型選擇的是華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系鮑建生教授構(gòu)建的五因素多水平的模型.其難度水平表如下：

四、比較結(jié)果

（一）例題數(shù)量與題型統(tǒng)計(jì)結(jié)果

在三個(gè)國家教材的“不等式”內(nèi)容中，中國教材有21道例題，加拿大教材12道，美國教材例題數(shù)最多，共有86道.

題型統(tǒng)計(jì)結(jié)果為，中國教材計(jì)算題5道，解答題15道，證明題1道，計(jì)算題題型例題占例題總數(shù)的23.8%，解答題占71.4%，證明題占4.8%.加拿大教材計(jì)算題7道，解答題5道；美國教材計(jì)算題48道，解答題38道，加拿大教材與美國教材均沒有證明題題型的例題.其中，加拿大計(jì)算題題型的例題占58.3%，解答題占41.7%；美國教材計(jì)算題題型占56%，解答題占44%.

（二）中加美教材例題綜合難度因素比較結(jié)果

1.中加美教材不等式內(nèi)容例題背景因素統(tǒng)計(jì)結(jié)果

經(jīng)統(tǒng)計(jì)得，中國教材無背景因素例題與公共生活背景因素均有9道，個(gè)人生活背景因素2道，科學(xué)情境因素1道；加拿大教材無背景因素例題9道，個(gè)人生活背景因素2道，科學(xué)情境因素1道；美國教材無背景因素例題58道，個(gè)人生活背景因素8道，公共生活因素11道，科學(xué)情境因素9道.通過難度計(jì)算公式，經(jīng)計(jì)算得，中國教材不等式內(nèi)容例題在背景因素方面的難度值為2.10，加拿大教材為1.42，美國教材為1.66.

由圖1可知，3個(gè)國家均是無背景例題所占比例最高，加拿大教材更是達(dá)到75%，這與我們的比較內(nèi)容是不等式有一定的關(guān)系，不等式內(nèi)容中多數(shù)是計(jì)算題，例題展示最多的是解不等式.四個(gè)因素中差別最大的是公共常識背景因素，中國教材所占比例最高，中國教材中公共常識背景的例題主要是生產(chǎn)利潤（必修五79頁例4）、生產(chǎn)化肥最優(yōu)化（必修五87頁例四）等.科學(xué)情境背景的例題則是美國教材所占比例最高，美國教材在科學(xué)情境背景中涉及了多種學(xué)科，例如，美國教材第一冊44頁的例題涉及社會學(xué)，美國教材第五冊297頁的例題涉及的體育學(xué).

2.中加美教材不等式內(nèi)容例題數(shù)學(xué)認(rèn)知因素統(tǒng)計(jì)結(jié)果

數(shù)學(xué)認(rèn)知因素分為計(jì)算，概念，領(lǐng)會以及分析四類，統(tǒng)計(jì)得中國教材的例題中計(jì)算因素1道，概念因素3道，領(lǐng)會因素11道，分析因素6道；加拿大教材中概念因素5道，領(lǐng)會因素4道，分析因素3道，無計(jì)算因素例題；美國教材的例題中，計(jì)算因素7道，概念因素46道，領(lǐng)會因素29道，分析因素4道.中國教材在數(shù)學(xué)認(rèn)識因素方面的難度值為3.05，加拿大教材為2.83，美國教材的難度值則為2.35.

從整體上看，中國教材是領(lǐng)會水平的例題占主要部分，其次是分析水平，計(jì)算水平和概念水平較少，這從側(cè)面反映了中國教材更重視學(xué)生領(lǐng)會能力的培養(yǎng).加拿大教材與美國教材的走向則較為類似，均是概念水平的例題占主要部分，其次是領(lǐng)會水平，兩國領(lǐng)會水平的例題所占比例均在33%左右，可以看出兩國在不等式內(nèi)容方面更加側(cè)重于計(jì)算以及概念模仿與識記這層次.從認(rèn)知因素這方面而言，中國教材和加美兩國教材還是存在較大的差異性.

3.中加美教材不等式內(nèi)容例題運(yùn)算因素統(tǒng)計(jì)

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，中國教材與加拿大教材沒有無運(yùn)算類型的例題，美國教材有12道；數(shù)值運(yùn)算類型例題，中國教材3道，加拿大教材3道，美國教材30道；簡單符號運(yùn)算類型例題，中國教材12道，加拿大教材9道，美國教材43道；加拿大教材沒有復(fù)雜符號運(yùn)算類型例題，而中國教材有4道，美國教材有1道.中國教材例題在運(yùn)算因素方面的難度值為2.95，加拿大教材為2.75，美國教材為2.38.

圖3反映三國關(guān)于運(yùn)算因素均以簡單符號運(yùn)算為主，不等式內(nèi)容多數(shù)涉及運(yùn)算，作為例題，每題所展示的運(yùn)算方法以及步驟不宜過多.所以，三個(gè)國家在“簡單符號運(yùn)算”這個(gè)水平的比例大于或等于50%，其次是數(shù)值運(yùn)算.盡管如此，相比之下，中國教材在復(fù)雜符號運(yùn)算方面所占比例也達(dá)到了19%，這也從側(cè)面體現(xiàn)了中國教材對學(xué)生的運(yùn)算能力具有較高要求.

4.中加美教材不等式內(nèi)容例題推理因素統(tǒng)計(jì)

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，中國教材例題中，無推理有1道，簡單推理12道，復(fù)雜推理8道；加拿大教材沒有無推理例題，簡單推理有9道，復(fù)雜推理3道；美國教材中，無推理有6道，簡單推理74道，復(fù)雜推理6道.中國教材不等式內(nèi)容例題在推理因素方面的難度值為2.33，加拿大教材為2.25，美國教材則為2.

從圖4得到，三國教材均以推理的題目居多，均占了例題的92%以上，而當(dāng)中簡單推理的例題最多，甚至美國教材達(dá)到了86%的比例.而中國教材在簡單推理的例題上是三個(gè)國家中所占比例最低，但是在復(fù)雜推理的例題上達(dá)到了38.1%，在三個(gè)國家教材中最高.

5.中加美教材不等式內(nèi)容例題知識綜合水平因素統(tǒng)計(jì)

知識綜合水平因素分為1個(gè)知識點(diǎn)，2個(gè)知識點(diǎn)，3個(gè)知識點(diǎn)及以上這三種.中國教材例題中，含1個(gè)知識點(diǎn)的例題與含有3個(gè)知識點(diǎn)及以上的例題均有3道，2個(gè)知識點(diǎn)的15道；加拿大教材含有1個(gè)知識點(diǎn)的例題與含有3個(gè)知識點(diǎn)及以上的均有2道，2個(gè)知識點(diǎn)的8道；

美國教材含有1個(gè)知識點(diǎn)的例題有17道，2個(gè)知識點(diǎn)的41道，3個(gè)知識點(diǎn)及以上的共28道.經(jīng)計(jì)算，中國教材與加拿大教材在不等式內(nèi)容的例題知識綜合水平因素方面的難度值均為2，美國教材為2.13.

從圖5得到中國教材與加拿大教材例題的知識綜合水平所占比例均非常接近，均已含有2個(gè)知識點(diǎn)的例題為主，故兩國教材不等式內(nèi)容的例題在該因素中的難度相等.而美國教材則是主要集中在2個(gè)知識點(diǎn)和3個(gè)知識點(diǎn)及以上.

通過利用綜合難度模型對中加美三國“不等式”內(nèi)容例題五個(gè)難度因素的難度值進(jìn)行計(jì)算，得到下面的雷達(dá)圖，進(jìn)行更直觀的比較.

在知識綜合因素水平方面，三個(gè)國家的教材沒有明顯差距；除此之外，其余四個(gè)難度因素均是中國教材的難度最大.其中難度系數(shù)相差最大的是數(shù)學(xué)認(rèn)知因素，中國教材與美國教材在這方面的相差1.05.加拿大教材除了背景因素與中國教材存在一定差距之外，其余四個(gè)難度因素的難度系數(shù)均緊跟其后.另外，圖中的五邊形都有偏右的趨勢，運(yùn)算因素水平在五個(gè)難度因素中較為突出，與我們比較的內(nèi)容是不等式有關(guān).

五、小 結(jié)

本文主要從對中加美三國中學(xué)數(shù)學(xué)教材中“不等式”內(nèi)容例題的綜合難度進(jìn)行了比較，這并不是給各個(gè)教材的“優(yōu)劣”進(jìn)行排名，而是從各教材中的例題出發(fā)，對其不同難度因素的水平和特征進(jìn)行分析，以有所啟示.可以看出，加、美兩國在數(shù)學(xué)例題中加入了較多的背景因素，這與荷蘭數(shù)學(xué)家弗雷登塔爾所提倡的“數(shù)學(xué)化”思想不謀而合，這或許可以作為我們的借鑒.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鮑建生.中英兩國初中數(shù)學(xué)期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002（9）：48-52.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1995.