于蘭珍，吳榮興，李曉東，鄭東，邱耀

（1.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江寧波，315800；2.寧波大學(xué)機(jī)械與力學(xué)學(xué)院，浙江寧波，315211）

0 引言

石英晶體諧振器作為頻率控制元件在電子器件領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用[1]。其頻率穩(wěn)定性是器件設(shè)計人員首先需要考慮的問題，各種石英晶體諧振器的結(jié)構(gòu)因素和環(huán)境因素都將對諧振器工作頻率產(chǎn)生巨大影響[2]。Wang和Zhao分析了石英晶體矩形板的厚度剪切振動，并提出了石英晶片最佳長厚比的選取方法[3]。有限元法同樣被用來分析石英晶體諧振器的各種結(jié)構(gòu)效應(yīng)[4]。

在實(shí)際產(chǎn)品設(shè)計過程中，都會盡量將厚度剪切振動的能量集中于石英晶體諧振器的中間，以避免過多的能量損耗[5]。本文設(shè)計了覆蓋階梯電極的石英晶體圓板模型，并以此分析了厚度剪切振動模態(tài)的振動特性，為覆蓋階梯電極的新型石英晶體諧振器的研制奠定了基礎(chǔ)。

1 控制方程

厚度剪切振動是AT切石英晶體諧振器的工作模態(tài)，表現(xiàn)為關(guān)于圓板中線的反對稱模態(tài)，可以由覆蓋板上的金屬電極激發(fā)[1]。為了更好地獲得相應(yīng)的能陷效應(yīng)，階梯電極如圖1所示。厚度剪切振動位移表達(dá)式為[5]

式中,h,r,θ,x和t分別是總位移、n階厚度剪切振動2的位移、石英晶片的半板厚、半徑、轉(zhuǎn)角、厚度坐標(biāo)和時間變量。當(dāng)n=1時，厚度剪切振動為基頻振動，當(dāng)n＞1為高頻振動[1]。

圖1 覆蓋階梯電極的石英晶體圓板

未覆蓋電極和覆蓋電極的厚度剪切振動的控制方程分別為[5]

和

控制方程的參數(shù)如下[5]

式 中 cpq(p ,q =1,2,3,4,5,6), eip(i =1,2,3), εij( j =1,2,3),ρ,2h′,ω和ρ′分別為AT切石英晶體的彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、介電常數(shù)、石英晶體密度、電極厚度、頻率和電極密度。

針對頻率方程(2)和(3)，可以假設(shè)解為

式中 m = 0 ,1,2,···。將 (8) 代入 (7)，可以得到

和

方程(9)和(10)的通解為

式中 A (B ,C,D,E)是振幅，Jm和 Ym分別為第一類和第二類貝塞爾函數(shù)。

對應(yīng)于圖1所示的邊界條件，在不同覆蓋電極厚度處的邊界條件為位移和斜率連續(xù)，同時假定一定遠(yuǎn)處的位移為零，如下

式 b3為一定遠(yuǎn)處的半徑。將位移代入邊界條件(12)，可以獲得關(guān)于振幅 A (B ,C,D,E )的線性方程組，如果振幅存在非零解，其系數(shù)行列式的值必為零，可以獲得頻率ω的方程。

2 算例

這里考慮石英晶體材料為AT切石英晶體，覆蓋金屬電極為銀，具體材料常數(shù)可見文獻(xiàn)[6]。設(shè)定h=0.343915mm，b1=1 mm，b2=2 mm，b3=5 mm。可以繪制出覆蓋階梯電極的AT切石英晶體圓板的基頻(n=1)厚度剪切振動的位移振動模態(tài)如圖2所示。

圖2 覆蓋階梯電極的AT切石英晶體圓板厚度剪切振動的振動模態(tài)圖。

這里階梯電極的厚度分別為1/20h和1/15h。從圖2可以發(fā)現(xiàn)，厚度剪切振動的能量大部分集中于圓板的中間，這樣引起的能量耗散就比較合理[1]。進(jìn)一步繪制出階梯電極和均勻電極之間的模態(tài)振動比較如圖3所示。

圖3 不同電極形式下的厚度剪切振動模態(tài)圖

從圖3可以發(fā)現(xiàn)，無論是階梯電極還是均勻電極，能陷效應(yīng)都比較明顯。當(dāng)采用階梯電極時，能陷效應(yīng)更加明顯，說明隨著電極厚度的增加，振動能量更加集中于圓板中間。

3 結(jié)論

基于石英晶體圓板厚度剪切振動的位移假設(shè)和邊界條件，建立了厚度剪切振動的頻率方程。通過數(shù)值求解，獲得覆蓋階梯電極的石英晶體圓板的厚度剪切振動的頻率和振動模態(tài)。發(fā)現(xiàn)厚度剪切振動的振動能量主要集中于圓板的中間部位，這符合諧振器需要的能陷效應(yīng)。相對于覆蓋均勻電極，覆蓋階梯電極的能陷效應(yīng)更加突出。本文的計算將為能量法計算能陷效應(yīng)和預(yù)防能量衰減奠定了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]R.D. Mindlin, (J.S. Yang, Ed.). An introduction to the mathematical theory of vibrations of elastic plates[M].World Scientific, Hackensack, New Jersey, 2006.

[2]R.X. Wu, J. Wang, D.J. Huang, et al. The nonlinear thickness-shear vibrations of quartz crystal plates under an electric field[J]. International Journal of Nonlinear Mechanics, 61: 32-38, 2014.

[3]J.Wang,W.H.Zhao.The determination of the optimal length of crystal blanks in quartz crystal resonators[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics Ferroelectrics & Frequency Control, 52(11): 2023-2030, 2005.

[4]吳榮興,于蘭珍,李繼亮,等.石英晶體板高頻振動的三維有限元分析[J].壓電與聲光, 36(5): 821-824, 2014.

[5]W.J. Wang, R.X. Wu, J. Wang, et al. Thickness-shear modes of an elliptical contoured AT-cut quartz Rresonator[J].IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectric, and Frequency Control, 60(6): 1192-1198, 2013.

[6]R. Bechmann. Elastic and piezoelectric constants of alphaquartz[J]. Physical Review, 110(5): 1060-1061, 1958.