鄭世旺

(商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

0 引 言

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱性的研究是為了尋找其中的守恒量，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中存在的守恒量能揭示其中的守恒規(guī)律，進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái),對(duì)稱性與守恒量的研究得到了蓬勃發(fā)展[1-11].2000年梅鳳翔教授提出一種新的對(duì)稱性理論[2]，時(shí)稱形式不變性，后被稱之為Mei對(duì)稱性，Mei對(duì)稱性提出后，一種新的守恒量被發(fā)現(xiàn)，被人們稱之為Mei守恒量，現(xiàn)在，Mei對(duì)稱性及其守恒量的研究已涉及到多種動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[2].共形不變性的研究起源于俄羅斯學(xué)者Galiullin等人[12]，并于2008年以后在我國(guó)得到發(fā)展，現(xiàn)已擴(kuò)展到多個(gè)領(lǐng)域[13-18].在分析力學(xué)中有多種動(dòng)力學(xué)方程，這些動(dòng)力學(xué)方程雖然形式各異，動(dòng)力學(xué)函數(shù)也不盡相同，但本質(zhì)上是等價(jià)的、相通的.Tzénoff方程作為動(dòng)力學(xué)方程的一種，雖然其動(dòng)力學(xué)函數(shù)構(gòu)造起來(lái)較為困難，但動(dòng)力學(xué)方程的結(jié)構(gòu)形式卻較為簡(jiǎn)捷，目前，Tzénoff方程對(duì)稱性與守恒量的研究也取得了不少成績(jī)[19-24]，但其共形不變性的研究才剛起步[25-26].關(guān)于非完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究基本上是以Chetaev型為前提，而實(shí)際上，非Chetaev型非完整系統(tǒng)則更為普遍.本文研究了非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性共形不變性及其守恒量.定義了系統(tǒng)共形不變性的概念并給出判據(jù)方程，探究該系統(tǒng)Mei對(duì)稱性共形不變性在滿足什么條件下才產(chǎn)生守恒量，并給出守恒量的函數(shù)式和導(dǎo)出這種守恒量的條件方程，最后展示一個(gè)研究例證.

1 非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)的Tzénoff方程

設(shè)由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1，…，n)來(lái)確定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的位形，它的運(yùn)動(dòng)受有g(shù)個(gè)雙面理想非Chetaev型非完整約束

(1)

約束加在虛位移上的限制為

(2)

(3)

(4)

(5)

(5)式中

(6)

可由方程(4)求出廣義加速度

(7)

由(7)式可得到

(8)

2 非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性

把時(shí)間和坐標(biāo)做無(wú)限小變換

(9)

其中ξ0，ξs為無(wú)限小變換生成元，ε是一無(wú)限小參數(shù).于是有

(10)

(11)

(12)

其中

非完整約束(1)在(9)式變換下的不變性表示為約束限制方程

(13)

因?yàn)橛米儞Q后的動(dòng)力學(xué)函數(shù)替代原動(dòng)力學(xué)函數(shù)，動(dòng)力學(xué)方程的形式仍保持不變的一種對(duì)稱性稱為Mei對(duì)稱性[2]，故可利用(10)-(12)式與方程(5)、(1)之間的關(guān)系得到

(14)

或

(15)

且約束限制方程(13)成立，則這種不變性稱之為非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性.方程(15)即為系統(tǒng)Mei對(duì)稱性的判定方程.

(16)

(17)

證明 設(shè)非Chetaev型非完整約束Tzénoff方程(5)是Mei對(duì)稱性的，則方程(15)成立，(17)式變?yōu)?/p>

(18)

反之，若Tzénoff方程(5)成立共形不變性，(16)式和(17)式二者相減得

(19)

3 非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性共形不變性所導(dǎo)出的守恒量

非Chetaev型非完整約束Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性在滿足一定條件下可導(dǎo)出相應(yīng)的守恒量.

定理針對(duì)非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性共形不變性的生成元ξ0，ξs，若能找到函數(shù)G滿足如下結(jié)構(gòu)方程

(20)

則Tzénoff方程Mei對(duì)稱的共形不變性將直接產(chǎn)生一種守恒量

(21)

(20)式中

證明 對(duì)(21)式求導(dǎo)并利用非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性及其共形不變性的判定方程(15)和(16)式，有

證畢.

4 應(yīng)用例子

設(shè)非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)、約束方程和約束加在虛位移上的限制分別為

(22)

(23)

δq1-δq2=0

(24)

試研究該系統(tǒng)Mei對(duì)稱性共形不變性和其能導(dǎo)出的守恒量.

解 由非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)的Tzénoff方程(4)給出

(25)

利用(23)式求得

(26)

(25)式變?yōu)?/p>

(27)

有

(28)

和

(29)

由(27)式可得到

(30)

做計(jì)算

取生成元

(31)

有

(32)

(33)

故

(34)

由(33)和(34)式知，系統(tǒng)具有Mei對(duì)稱性且同時(shí)具有Mei對(duì)稱性共形不變性，其共形因子

(35)

結(jié)構(gòu)方程(20)給出.

(36)

(21)式給出守恒量

5 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性共形不變性及其守恒量，在給出該系統(tǒng)Mei對(duì)稱性定義和判據(jù)方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出了系統(tǒng)Mei對(duì)稱性共形不變性的定義和判據(jù)方程，并分析了二者之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)只要恰當(dāng)?shù)剡x擇無(wú)限小變換的生成元，可使系統(tǒng)既具有Mei對(duì)稱性也同時(shí)具有Mei對(duì)稱性的共形不變性.最后，導(dǎo)出了非Chetaev型非完整約束系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性共形不變性存在守恒量的結(jié)構(gòu)方程及其守恒量的具體形式.

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