肖成英，安士勇，李慶

(1.四川工商學(xué)院 云計(jì)算與智能信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611745;2.西南民族大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610041)

變分不等式自1966年被Hartman和Stampacchia首次提出并研究以來(lái)，已經(jīng)得到國(guó)內(nèi)外廣大數(shù)學(xué)研究者的重視.從最初的古典變分不等式發(fā)展到現(xiàn)在的一般變分不等式、混合變分不等式、似變分不等式、變分包含等一系列相關(guān)問(wèn)題.研究方法也在不斷完善和提高，對(duì)每類變分不等式都建立了具體求解方法，主要包括投影法、超梯度法、輔助原理、預(yù)解方程.在Noor[1-3]中引入了解決混合變分不等式的預(yù)解方程技術(shù).在[3]中證明了變分不等式和預(yù)解方程的等價(jià)性，利用等價(jià)性構(gòu)造出混合變分不等式的迭代算法.文章利用預(yù)解方程技術(shù)證明廣義集值混合變分不等式與不動(dòng)點(diǎn)理論的等價(jià)性，以此構(gòu)造出迭代序列，通過(guò)證明迭代序列的收斂性，從而證明廣義集值混合變分不等式解的存在性問(wèn)題.

隨著變分不等式理論的成熟和發(fā)展，已經(jīng)作為一個(gè)有效的工具，以統(tǒng)一的模式被大量地應(yīng)用于力學(xué)、微分方程、現(xiàn)代化控制、經(jīng)濟(jì)管理科學(xué)、交通問(wèn)題、對(duì)策理論等各個(gè)區(qū)域.變分不等式理論已成研究現(xiàn)代科學(xué)的重要工具.

1 提出問(wèn)題

設(shè)H是實(shí)Hilbert空間，范數(shù)和內(nèi)積分別為‖·‖，〈·，·〉，設(shè)g：H→H是單值映射，T：H→C(H)設(shè)集值映射，其中C(H)表示H的所有非空有界閉子集族，設(shè)泛函φ：H→R∪{+∞}是真凸下半連續(xù)，次可微的，其中?φ表示φ的次微分.

本文要討論的廣義集值混合變分不等式：求u∈H，w∈T(u)，對(duì)?v∈H，使得：

〈w，g(v)-g(u)〉+φ(g(v))-φ(g(u))≥0， ?v∈H

(1)

特例：

(1)當(dāng)g=I時(shí)，問(wèn)題(1)變成下面的問(wèn)題：找u∈H，T：H→C(H)，w∈T(u)，使得：

〈w，v-u〉+φ(v)-φ(u)≥0， ?v∈H

(2)

問(wèn)題(2)稱為廣義混合變分不等式，文獻(xiàn)[4]中Noor證明了問(wèn)題(2)等價(jià)于不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)理論構(gòu)造出迭代序列，并證明序列的收斂性，從而得到(2)解的存在性.

(2)當(dāng)g，T：H→H時(shí)，問(wèn)題(1)變成下面的問(wèn)題：找u∈H，使得：

〈Tu，g(v)-g(u)〉+φ(g(v))-φ(g(u))≥0， ?v∈H

(3)

問(wèn)題(3)稱為第二類廣義變分不等式，該變分不等式在純理論和應(yīng)用科學(xué)中許多線性和非線性問(wèn)題中都得到了廣泛的研究和應(yīng)用.在文獻(xiàn)[5]中Noor用校正法證明了迭代序列的收斂性和解的存在性.

(3)當(dāng)T：H→H，g≡I時(shí)，問(wèn)題(1)變成下面的問(wèn)題：找u∈H，使得：

〈Tu，v-u〉+φ(v)-φ(u)≥0， ?v∈H

(4)

問(wèn)題(4)稱為混合變分不等式，在文獻(xiàn)[6]中，Noor用迭代法證明和分析了單調(diào)混合變分不等式解的存在性問(wèn)題.對(duì)于問(wèn)題的推廣應(yīng)用和方法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7，8].

引理1[10]對(duì)z，u∈H，滿足不等式

〈u-z，v-u〉+ρφ(v)-ρφ(u)≥0，?v∈H

定義2[11]集值映射T：H→C(H)是Lipschitz連續(xù)，若存在常數(shù)ξ>0，使得：

‖w1-w2‖≤ξ‖u1-u2‖， 其中w1∈T(u1)，w2∈T(u2)

定義3[12]對(duì)u1，u2∈H，集值映射T：H→C(H)稱為強(qiáng)單調(diào)，若存在常數(shù)α>0，使得

〈w1-w2，u1-u2〉≥α‖u1-u2‖2， 其中w1∈T(u1)，w2∈T(u2)

2 算 法

本節(jié)采用預(yù)解算子技術(shù)，將問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造出迭代序列.在[13-16]中通過(guò)預(yù)解方程和不動(dòng)點(diǎn)研究了關(guān)于混合變分不等式解的問(wèn)題.

問(wèn)題(1)等價(jià)于下面的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：

定理1若u是問(wèn)題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)u滿足下面的等式：

(5)

證明：設(shè)u是問(wèn)題(1)的解，則有：

〈w，g(v)-g(u)〉+φ(g(v))-φ(g(u))≥0，

即φ(g(v))-φ(g(u))≥〈-w，g(v)-g(u)〉

由?φ(u)的定義，上式成立當(dāng)且僅當(dāng)：-w∈?φ(g(u))

注：定理1還可表示為：

通過(guò)此不動(dòng)點(diǎn)方程構(gòu)造出下面的迭代算法：

算法1設(shè)T：H→C(H)是集值映射，g：H→H是單值映射，設(shè)泛函φ：H→R∪{+∞}是真凸下半連續(xù)，次可微的，其中?φ表示φ的次微分，u0∈H，w0∈T(u0)，對(duì)?v∈H，設(shè)

由Nadler[17]，存在w1∈T(u1)，滿足：

由此得到序列{un}，{wn}

其中

(6)

3 解的存在性及迭代序列的收斂性

本節(jié)根據(jù)算法1構(gòu)造的迭代序列，通過(guò)證明序列的收斂性，從而證明問(wèn)題(1)解的存在性.

定理2設(shè)T：H→C(H)是集值映射，且T是α-強(qiáng)單調(diào)和ξ-Lipschitz連續(xù)的；g：H→H是單值映射，且g是δ-強(qiáng)單調(diào)和σ-Lipschitz連續(xù)的；泛函φ：H→R∪{+∞}是真凸下半連續(xù)，次可微的，其中?φ表示φ的次微分，若假設(shè)1成立且滿足：

(7)

則由算法1產(chǎn)生的迭代序列：{un}，{wn}分別收斂于u，w，且u，w就是變分不等式(1)的解.

證明：

(8)

由于g是δ-強(qiáng)單調(diào)和σ-Lipschitz連續(xù)的，所以有：

‖g(un)-g(un-1)‖≤σ‖un-un-1‖； 〈g(un)-g(un-1)，un-un-1〉≥δ‖un-un-1‖2

則

‖un-un-1-(g(un)-g(un-1))‖2=‖un-un-1‖2-2〈g(un)-g(un-1)，un-un-1〉+‖g(un)-g(un-1)‖2≤

‖un-un-1‖2-2δ‖un-un-1‖2+σ2‖un-un-1‖2=(1-2δ+σ2)‖un-un-1‖2

(9)

s‖un-un-1‖+‖g(un)-g(un-1)-ρ(wn-wn-1)‖≤

s‖un-un-1‖+‖un-un-1-(g(un)-g(un-1))‖+‖un-un-1-ρ(wn-wn-1)‖≤

(10)

由定義2和定義3，T是α-強(qiáng)單調(diào)和ξ-Lipschitz連續(xù)的，則

‖un-un-1-ρ(wn-wn-1)‖2=‖un-un-1‖2-2ρ〈wn-wn-1，un-un-1〉+ρ2‖wn-wn-1‖2≤

‖un-un-1‖2-2ρα‖un-un-1‖2+ρ2ξ2‖un-un-1‖2=(1-2ρα+ρ2ξ2)‖un-un-1‖2

所以

(11)

將(11)帶入(10)，得

(12)

將(9)和(12)帶入到(8)，得

(13)

令γ=(k+t(ρ))，由(7)知0<γ<1

因此，由(13)知{un}是柯西收斂序列，?u∈H，使得un→u

由(6)及T的Lipschitz連續(xù)性，有

wn∈T(un)，，‖wn+1-wn‖≤ξ(1+(n+1)-1)‖un+1-un‖

所以{wn}也是柯西收斂序列，?w∈T(u)，使得wn→w

由(5)知(u.w)是問(wèn)題(1)的解.

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