趙智勇

（教育教研信息中心，河南安陽 455000）

全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》中指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)”[1]。張奠宙先生曾說過：“當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材、到達(dá)課堂、溶入教學(xué)時，數(shù)學(xué)就會更加平易近人，數(shù)學(xué)教學(xué)就會通過文化層面讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)”[2]。因此，數(shù)學(xué)的教與學(xué)的過程應(yīng)該成為文化的傳播與交流的過程。

隨著時代的發(fā)展和網(wǎng)絡(luò)的普及，教育教學(xué)方式正在悄然發(fā)生著一些變化，微課程在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用越來越受到重視，下面是在實驗學(xué)校教學(xué)班數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行的針對綜合題教學(xué) “利用微課程滲透和傳播數(shù)學(xué)史料中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué)實踐及思考。

1 引入史料，開發(fā)微課

1.1 問題的引入

我國古代《九章算術(shù)》勾股章中有：“今有勾五步、股十二步，問:勾中容方幾何?”[3]這個問題實質(zhì)上就是：“已知直角三角形的三邊長分別為5、12、13，求該直角三角形中內(nèi)接正方形的邊長?！眴栴}包含兩種情況（見圖1）：

圖1

劉徽為勾股容方的關(guān)系式提供了兩個證明，一個是利用出入相補原理；另一個證明是利用相似三角形比率不變原理。

1.2 問題的延伸

這個問題在教學(xué)中是相似三角形的典型應(yīng)用問題，圖1中隱含著一個特殊的、應(yīng)用廣泛的相似模型——“三直角型”，以下圖2中幾種圖形等都是其基本形態(tài)或變式圖形：

圖2

上述相似模型的本質(zhì)用文字表述即為：當(dāng)兩個直角三角形的非對應(yīng)銳角之和為90°時，這兩個直角三角形相似。

2 引進(jìn)教學(xué)，感受本質(zhì)

本節(jié)課教學(xué)選題的主要對象是“河南中考2016年23題”，為了給學(xué)生解決與直角三角形有關(guān)的綜合題問題提供啟示和幫助，在實際教學(xué)中，我們首先引導(dǎo)學(xué)生先觀看上述微課程，并針對收獲進(jìn)行了交流和適度引導(dǎo)。接著出示了下面的例題。

例 1：如圖 3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 D（2，0），E（2,1），將△ODE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α度得到△OD′E′，且，求點 D′、E′的坐標(biāo)。

圖3

圖4

分析：在平面直角坐標(biāo)系下，可利用平面直角坐標(biāo)系兩條坐標(biāo)軸相互垂直的特征，過旋轉(zhuǎn)后的直角頂點作平行于坐標(biāo)軸的直線構(gòu)造“三直角型”相似模型，列比例式解之。為此分別過點D′、E′作x軸、y軸的垂線（圖 4），利用△OND′∽△D′ME′可求得

例 2：（河南中考2016年 23題）如圖 5，直線 y=-交 x軸于點 A，交 y軸于點 C（0，4），拋物線 y=經(jīng)過點 A，交 y軸于點 B（0，-2）。 點 P為拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m。

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；

（3）如圖 6，將△BDP繞點 B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OAC，當(dāng)點 P 的對應(yīng)點 P′落在坐標(biāo)軸上時，請直接寫出點P的坐標(biāo)。

圖5

圖6

圖7

此題第（3）問作為全卷的壓軸，綜合性強，共有三種情況符合題意，具有相當(dāng)?shù)碾y度。如果能表示出P′點的坐標(biāo)，那么點P落在坐標(biāo)軸上時，分別令P′點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為0，構(gòu)造方程并解方程即可得到結(jié)果。

由于教學(xué)本題之前，學(xué)生觀看了前面提到的微課程并進(jìn)行了交流，又有了解決例1的經(jīng)驗，教學(xué)時通過啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想微課程和例1，通過添加輔助線構(gòu)造“三直角型”相似模型（如圖 7）解答第（3）問。 即設(shè)利用△BED′∽△D′FP′可得到用 m 表示的點P'的坐標(biāo)分別令P'的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為0，解方程即可得到5的坐標(biāo)。這樣順利完成了本節(jié)課重點例題——例2的教學(xué)。

3 引導(dǎo)反思，總結(jié)收獲

完成例題教學(xué)之后，教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課的教學(xué)，從數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)美和解題策略三個角度進(jìn)行了教學(xué)小結(jié)，主要歸納了以下三點：

（1）品味數(shù)學(xué)史上問題的解決過程，對學(xué)習(xí)有啟發(fā)和促進(jìn)的作用。

（2）平面直角坐標(biāo)系中涉及直角三角形旋轉(zhuǎn)的問題，求點坐標(biāo)時，可以過旋轉(zhuǎn)后的直角三角形頂點作平行于坐標(biāo)軸的直線，構(gòu)造“三直角型”相似模型，“將不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，或?qū)⒎稚⒌臈l件集中在一起，以便挖掘隱含條件，使問題得以解決”[4]。

（3）“三直角型”相似模型反映的是數(shù)學(xué)客觀規(guī)律，其形態(tài)優(yōu)美，應(yīng)用廣泛，構(gòu)造和利用“三直角型”相似模型，列含有未知數(shù)的比例式計算相關(guān)線段的長度，往往簡捷、快速。

4 承載文化，培育素養(yǎng)

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分[5]。通過微課程滲透數(shù)學(xué)史教育，讓學(xué)生在觀看微課程的同時，經(jīng)歷解決問題的過程，感悟數(shù)學(xué)史料中蘊含的解決問題的思路和方法，并通過具體實例加以鞏固，既滲透了數(shù)學(xué)文化，增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又有利于提高探究能力。課后的調(diào)查問卷顯示78.1%的學(xué)生認(rèn)為引入數(shù)學(xué)史的微課程對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很有幫助，20.5%的學(xué)生認(rèn)為對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較有幫助；幾乎所有的學(xué)生都希望老師在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史內(nèi)容，其中期望課堂上講授數(shù)學(xué)家故事、數(shù)學(xué)游戲、經(jīng)典數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷史的學(xué)生分別占63%、68.5%、48.2%、64.4%。

5 結(jié)語

總之，利用微課程給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)文化，揭示數(shù)學(xué)史料中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)文化更有效的傳播，使得數(shù)學(xué)文化的滲透更加靈活，有利于拓展學(xué)生的視野，進(jìn)而改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)情感，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)一步提高教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]吳賽瑛.例談數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的若干關(guān)鍵點[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（3）：21-24.

[3]曾海龍，譯解.九章算術(shù)[M].南京：江蘇人民出版社2011.

[4]王曉軍，汪曉勤.HPM視角下“圖形旋轉(zhuǎn)”問題探究[J].數(shù)學(xué)通報，2012（5）：16-19.

[5]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2018.