余明亮 彭菊紅

摘 要：文中基于Matlab仿真平臺，采用階躍響應分析法和根軌跡圖研究了PID控制器的三個參數(shù)KP，KI，KD對控制系統(tǒng)的影響。比例系數(shù)影響控制系統(tǒng)的調(diào)控速度與系統(tǒng)穩(wěn)定性；微分調(diào)節(jié)可提高系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，抑制超調(diào)，但會引入高頻干擾；積分調(diào)節(jié)能夠消除靜態(tài)誤差，但會使響應速度變慢，影響已有串聯(lián)積分系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

關鍵詞：PID控制；系統(tǒng)函數(shù)；根軌跡；穩(wěn)定性

中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2018）04-00-04

0 引 言

PID（比例積分微分）控制自產(chǎn)生以來就一直是工業(yè)生產(chǎn)中應用最廣泛的控制方法，隨著電子計算機和科學技術的發(fā)展，控制器的方案也在不斷豐富，但由于PID控制法（比例、積分、微分控制法）原理簡單、適用性強和魯棒性強等特點至今仍被廣泛應用?[1]。新算法層出不窮，PID優(yōu)化算法也在不斷涌現(xiàn)，但對于其核心PID參數(shù)的改變對系統(tǒng)的影響，以及不同系統(tǒng)加以PID調(diào)節(jié)對系統(tǒng)性能的改變，并未進行深入細致的研究，不利于對其進行改進，因此有必要結(jié)合不同的系統(tǒng)，改變PID調(diào)節(jié)的各參數(shù)，對PID調(diào)節(jié)進行更深入細致的研究。本文對不同的受控系統(tǒng)選擇不同的PID參數(shù)進行控制，采用階躍響應分析法和根軌跡法對PID控制系統(tǒng)進行了仿真分析。

1 PID控制原理分析

PID是基于反饋理論的調(diào)節(jié)方式，通過對誤差信號e（t）進行比例、積分和微分運算[2]，再對結(jié)果進行適當處理，從而對被控對象進行調(diào)節(jié)控制，其主要結(jié)構如圖1所示。

PID控制可以抽象為數(shù)學模型： Hc（s）=KP+KI/s+KDs，式中KP，KI，KD為常數(shù)。我們需要通過設計這些參數(shù)使系統(tǒng)達到性能指標。

1.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

根軌跡法是分析和設計線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法[3]，它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)不斷變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根在S平面上變化的軌跡。當開環(huán)增益或其他參數(shù)改變時，其全部數(shù)值對應的閉環(huán)節(jié)點全部可在根軌跡圖上確定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)閉環(huán)極點唯一確定，而系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能又與閉環(huán)零極點在S平面上的位置密切相關，所以根軌跡不僅可以直接給出閉環(huán)系統(tǒng)時間響應的全部信息，還可指明開環(huán)零點、極點應該怎樣變化才能滿足給定閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標要求。

根軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的法則為：

（1）只要繪制的根軌跡全部位于S平面左側(cè)，則表示系統(tǒng)參數(shù)無論怎樣改變，特征根全部有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定；

（2）根軌跡在虛軸上，則表示臨界穩(wěn)定，即不斷振蕩；

（3）若根軌跡全部都在S右半平面，則表示無論選擇什么參數(shù)，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

1.2 比例控制對系統(tǒng)的影響

現(xiàn)在我們對系統(tǒng)G0（s）=1/（（s+2）2+（s+3））進行不同的比例系數(shù)控制，取Kp=1，3.14，7，10，16和18，系統(tǒng)的單位階躍響應如圖2（a）所示。從圖中可以看出，比例控制系數(shù)不斷增大，穩(wěn)定下來的值接近1，即穩(wěn)態(tài)的誤差越來越小。比例控制可以減小系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性能[4]，但同時達到穩(wěn)態(tài)所用的時間變長。對于不同的比例系數(shù)，用Matlab繪制的系統(tǒng)的根軌跡如圖2（b）所示。由圖可知，當比例控制系數(shù)Kp>95.5時，系統(tǒng)的根軌跡將延伸到S平面的右側(cè)，系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，所以增大比例控制系數(shù)Kp將會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，因此對于不同的控制系統(tǒng)需要不斷仿真來求取最恰當?shù)闹怠?/p>

1.3 微分控制對系統(tǒng)的影響

同樣地，對G0（s）=1/（（s+2）2+（s+3））進行不同程度的微分控制，微分控制器Gc（s）=KP+KDs，令KD=KPτ，KP=10，改變τ的值，即改變了KD的值，取τ=0.01，0.3，1，3，系統(tǒng)的單位階躍響應如圖3所示。

從圖3（a）中的仿真結(jié)果可以看出，不同的微分調(diào)節(jié)會影響其超調(diào)幅度，過大或過小都會導致超調(diào)幅度變大。本例中，τ=0.3，即KD=3時調(diào)節(jié)效果最佳，反應最快且波動幅度最小。微分是一種預見型控制，能夠起到早期修正的作用，可使緩慢的信號無法作用于受控對象，但當其作用過大時容易引進高頻干擾[5]。系統(tǒng)加微分后的根軌跡如圖3（b）所示，把它和沒有加微分的根軌跡放在一起比較。由圖可知，在沒加微分控制器前，當增益變大時，系統(tǒng)的根軌跡落在了S的右半平面，此時系統(tǒng)變得不穩(wěn)定；加入微分控制器后，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)相當于在負實軸上增加了零點，無論系統(tǒng)的增益如何變化，系統(tǒng)的根軌跡都落在S域的左邊，系統(tǒng)穩(wěn)定，且隨著KD的改變，進一步提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，抑制了超調(diào)。

1.4 積分控制對系統(tǒng)的影響

首先對系統(tǒng)G0（s）=1/（s+2）用積分控制器Gc（s）=KI/s=1/s進行控制，加以單位階躍響應，觀察加積分控制器前后的階躍響應，如圖4所示。

可以看出，加積分控制器前，階躍響應的靜態(tài)穩(wěn)定值與真實值相差甚遠，約0.34，加了積分控制器后，靜態(tài)穩(wěn)定值非常接近真實值1，積分控制明顯改善了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

對于不同的受控系統(tǒng)會有不同的效果，對系統(tǒng)G0（s）=1/（5s+2）進行積分控制，同樣加以單位階躍響應，如圖5所示。

可以看出，對于已有增益的系統(tǒng)，加積分控制器可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定值，但會出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，在5～10s之間，同時達到穩(wěn)定的時間周期也會變長。系統(tǒng)G0（s）=1/（s（5s+2））的積分控制曲線如圖6所示。

由圖6可知，此系統(tǒng)加入積分控制器后，穩(wěn)定值與真實值相差甚遠，且超調(diào)現(xiàn)象非常嚴重，出現(xiàn)了明顯的控制失誤，其根軌跡方程如圖7所示。

由加積分控制器前后的根軌跡對比圖可以看出，加積分控制器前根軌跡都位于S平面的左半平面，無論閉環(huán)增益K如何變化，系統(tǒng)都處于穩(wěn)定狀態(tài)，而加入積分控制器后，根軌跡位于虛軸和S平面的右半平面，系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。

綜上所述，對于不同的系統(tǒng)，加入積分調(diào)節(jié)會造成不同的結(jié)果?？梢钥闯?，當s的冪不為1時，相當于控制系統(tǒng)中有系統(tǒng)級聯(lián)的情況[6]，積分調(diào)節(jié)已經(jīng)不能起到優(yōu)化系統(tǒng)的作用，反而會使系統(tǒng)的性能變差。因此加積分控制也要視具體的系統(tǒng)結(jié)構而定。

對G0（s）=1/（5s+2）用比例積分控制器Gc（s）=KP+（KI/s）控制，KP取定值1，取不同的積分系數(shù)觀察，積分控制曲線如圖8所示。由圖8可知，積分能夠在沒有級聯(lián)，即控制系統(tǒng)S的次數(shù)為1時，消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但會延遲達到穩(wěn)態(tài)的時間。積分作用強弱的改變會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，積分程度越強，控制反應越快，但是超調(diào)會增加，甚至出現(xiàn)震蕩，系統(tǒng)變得不穩(wěn)定；積分程度變?nèi)酰到y(tǒng)超調(diào)會得到抑制，但達到穩(wěn)態(tài)的時間會變長。對于上述系統(tǒng)，積分強度約在0.7時最佳，因此在應用積分調(diào)節(jié)時，既要考慮受控系統(tǒng)的級聯(lián)情況，又要考慮積分強度即積分系數(shù)Ki的大小。

2 PID控制系統(tǒng)性能分析

對受控系統(tǒng)G0（s）=1/（s2+3s+8）分別用比例控制、比例微分控制、比例積分微分控制來觀察不同的控制效果。觀察原系統(tǒng)的單位階躍響應，如圖9（a）所示。由圖可知，此系統(tǒng)穩(wěn)定時有較大的穩(wěn)態(tài)誤差，且響應速度較慢。加入比例控制Gc（s）=KP，控制系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

取KP=200，單位階躍響應如圖9（b）所示。由圖可知，加入適當?shù)谋壤刂坪?，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差明顯減小，反應速度有所加快，但出現(xiàn)了超調(diào)[7]。

加入比例微分控制Gc（s）=KP+KDs=KP（1+τs），控制系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

取τ=0.045，即KD=9，單位階躍響應如圖9（c）所示。由圖可知，加入微分控制后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差依然存在，但超調(diào)明顯減小，達到穩(wěn)態(tài)所需的時間亦明顯減小。加入比例微分積分控制：

控制系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

取KI=360，單位階躍響應如圖9（d）所示。由圖可知，加入PID控制后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差被完全消除，超調(diào)明顯減小，達到穩(wěn)態(tài)所需的時間亦明顯減小，單位階躍響應更接近真實值。PID控制相比單一的控制效果好。

3 結(jié) 語

本文基于Matlab函數(shù)庫仿真工具，采用系統(tǒng)函數(shù)分析法和根軌跡圖，仿真分析了三個控制參數(shù)各自的作用及調(diào)節(jié)的技巧和方法。比例控制可減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，加快系統(tǒng)的響應速度，但會出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，犧牲了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性；微分調(diào)節(jié)可提高系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，抑制超調(diào)，但會消滅緩慢信號，引進高頻干擾；積分調(diào)節(jié)對于沒有級聯(lián)的系統(tǒng)能消除靜態(tài)誤差，但會使系統(tǒng)的控制速度變慢，且積分系數(shù)過大，系統(tǒng)會出現(xiàn)超調(diào)，積分系數(shù)過小，雖能抑制超調(diào)，但控制速度減慢，反而不利于已有串聯(lián)積分的系統(tǒng)保持穩(wěn)定。針對具體的系統(tǒng)及控制要求，合理調(diào)節(jié)PID控制參數(shù)，可獲得滿意的控制效果。

參考文獻

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