王文波

本文通過(guò)適當(dāng)?shù)睦诱f(shuō)明判斷函數(shù)解析性的困難，引入柯西—黎曼方程后判斷很簡(jiǎn)單，說(shuō)明柯西—黎曼方程的適用性。

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的主要研究對(duì)象，對(duì)復(fù)變函數(shù)解析性的分析和判斷就至關(guān)重要?？挛鳌杪匠淌脚袛嗪瘮?shù)解析性的有力工具，使用方便簡(jiǎn)單。在教學(xué)中如何引入柯西—黎曼方程，讓學(xué)生體會(huì)到柯西黎曼方程的妙處就至關(guān)重要。處理這部分內(nèi)容可以采取適當(dāng)?shù)睦樱谂袛嗪瘮?shù)的解析性時(shí)用其他方法來(lái)求解很困難，但是用柯西—黎曼方程來(lái)求解很容易?？聪旅娴睦樱?/p>

例 判斷 的解析性。

分析：在沒(méi)有講柯西—黎曼方程前，通常用導(dǎo)數(shù)的定義做。 是處處不不可導(dǎo)，也處處不解析。而導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值的增量除以自變量的增量的極限，只要證明極限不存在即可。一元實(shí)變函數(shù)里證明極限不存在的常用方法是左右極限不相等，此處類似，只要兩個(gè)方向的極限不相等即可證明。

解： ， ，

當(dāng) 沿平行于 軸的直線趨近于 ，設(shè) ，則 ， ，

當(dāng) 沿平行于 軸的直線趨近于 ，設(shè) ，則 ，

，

沿橫軸和縱軸方向的極限不相等，則極限不存在， 處處不可導(dǎo)，也處處不解析。

的解析性用導(dǎo)數(shù)的定義判斷比較麻煩，但是由于這個(gè)函數(shù)比較簡(jiǎn)單，判斷過(guò)程還算是比較順利的。如果函數(shù)復(fù)雜點(diǎn)就會(huì)復(fù)雜多了，比如 ，這個(gè)函數(shù)也比較簡(jiǎn)單，只是上題的函數(shù)取了下倒數(shù)，但是判斷起來(lái)麻煩多了。過(guò)程和上題類似，不過(guò)計(jì)算的時(shí)候還是有點(diǎn)困難的。

用極限的定義判斷函數(shù)的解析性，使用很不方便，此時(shí)可以告訴學(xué)生有一種非常簡(jiǎn)單的判別方法，就是用柯西—黎曼方程來(lái)判斷。

定理1 設(shè)函數(shù) 在定義域D內(nèi)，則 在D內(nèi)一點(diǎn) 可導(dǎo)的充要條件是： 可微，且在該點(diǎn)處滿足方程

（柯西—黎曼方程）

定理2 設(shè)函數(shù) 在定義域D內(nèi)，則 在D內(nèi)一點(diǎn) 解析的充要條件是： 可微（可微在此處可以換為偏導(dǎo)連續(xù)），且在該點(diǎn)處滿足方程

（柯西—黎曼方程）

用柯西—黎曼方程來(lái)判斷 的解析性： ，不滿足柯西—黎曼方程，故處處不解析，顯然，用柯西—黎曼方程來(lái)判斷解析性簡(jiǎn)單多了。

基金項(xiàng)目：武漢科技大學(xué)研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目。

（作者單位：武漢科技大學(xué)）