彭磊 孟虹宇

函數(shù)的凸性把握函數(shù)在區(qū)間上的整體性態(tài)，不僅可以更加科學地、準確地描述函數(shù)的圖像，而且有助于對函數(shù)的分析。凸函數(shù)是一種重要的幾何性質，在泛函分析、數(shù)學規(guī)劃及數(shù)理經濟學等應用數(shù)學領域都有很多的應用。通過對凸函數(shù)的定義、性質的描述，主要研究其在不等式證明中的應用，討論幾個重要的不等式。

1 凸函數(shù)的定義

定義：設 在區(qū)間I上有定義，若 ，有

， ，稱 為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

若（B）式“ ”改為“<”時，則稱 為I上的嚴格凸函數(shù)。

2 凸函數(shù)的性質

性質1：若 在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對 則： 時， ； 時， 。

性質2：若 ， 在區(qū)間I上為凸函數(shù)，對 則： 為區(qū)間I上的凸函數(shù)； 為區(qū)間I上的凹函數(shù)。

3 應用凸函數(shù)的定義證明不等式

例如：

證： 設 則 為凸函數(shù)。

取

由定義有

即得：

4 Jensen不等式的應用

（Jensen不等式）若 為[ ]上的凸函數(shù)，則對任意的 有

例如：證明不等式 其中 均為正數(shù)。

證： 設 則有

可見， 為嚴格凸函數(shù)。

根據(jù)Jensen不等式有 ，

則

又因 ，所以

5 Young不等式的應用

（Young不等式）設 ， 則有：

例如：求證：

證明： 令

所以有

當

從而有

6 H?lder不等式的應用 （H?lder不等式）

（積分形式）： ， ， 在 上可積，有

例如： 設 和 為 上的正值連續(xù)函數(shù)，則

證：令

由Schwartz不等式，得

則 為凹函數(shù)，所以 以 的定義帶入此式，即得證。

7 凸函數(shù)的總結

通過對凸函數(shù)的定義和性質理解，來利用函數(shù)的凸性來證明不等式，是一種常用和非常有效的方法。通過對凸函數(shù)對應不等式的證明，我們認識到，利用凸性來證明凸函數(shù)，關鍵是找到合適的凸函數(shù)，而且同一不等式，可通過不同的凸函數(shù)來可以使難度較大且證明過程復雜的問題轉化成證明比較容易，在豐富證明不等式方法，簡化不等式證明過程中發(fā)揮了一定的作用。

（作者單位：內江職業(yè)技術學院）