林麗娜

一、分類討論遵循原則

分類討論所包含的中心思想主要是指如何對(duì)問題進(jìn)行合理分類，要做到合理分類，首先需要遵循四個(gè)基本原則：

（一）同一性

進(jìn)行分類必須按照明確同一的標(biāo)準(zhǔn)，不能同時(shí)通過幾個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，否則思路會(huì)更加混亂。

例如：三角形主要分為銳角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、鈍角三角形

在對(duì)三角形進(jìn)行分類時(shí)，不能按照邊分的同時(shí)又按照角進(jìn)行分類，這樣很容易造成分類的混亂，從而影響解題思路。

（二）全面性

進(jìn)行分類討論時(shí)必須考慮全面，主要指分類后子項(xiàng)的外延之和應(yīng)等于母項(xiàng)的外延，而不能出現(xiàn)母項(xiàng)外延遺漏的現(xiàn)象。

例如，假如 為實(shí)數(shù)，

很明顯，分類后丟掉了 的情況，造成分類后子項(xiàng)的外延出現(xiàn)了遺漏，導(dǎo)致分類不完整。

（三）互斥性

分類后的每項(xiàng)都應(yīng)互不包含，達(dá)到相互排斥，如果分類后出現(xiàn)一些事物既屬于這個(gè)范圍，又同時(shí)屬于那個(gè)范圍，這樣就造成子項(xiàng)外延重疊的現(xiàn)象。

例如，若 為實(shí)數(shù)，

這里， 被兩個(gè)范圍同時(shí)包含，這也就是違背了子項(xiàng)外延互斥性的原則。

（四）逐級(jí)性

簡單的數(shù)學(xué)問題可能只需要一次分類，相反復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題則會(huì)需要多次進(jìn)行分類。多次進(jìn)行分類主要是因?yàn)楸挥懻摰膶?duì)象較為復(fù)雜，需要將首次分類后的子項(xiàng)重新進(jìn)行分類，直至滿足需要為止，從而達(dá)到能夠解決整個(gè)數(shù)學(xué)問題的目的。

例如，對(duì)方程 的解的討論，要進(jìn)行多次分類討論。先對(duì)a是否等于0進(jìn)行第一次分類討論，當(dāng)a=0時(shí)，方程為一元一次方程，有唯一解。但 時(shí)又要分為 進(jìn)行第二次分類討論。當(dāng) 時(shí)，又要對(duì)兩個(gè)根的大小進(jìn)行第三次分類討論。

二、不同問題中的分類討論

分類討論主要指的是將數(shù)學(xué)問題劃分為若干情況，然后逐一求解的過程。數(shù)學(xué)例題中求解過程的不確定性是引起分類討論的主要原因。如果問題中的條件不能夠使我們得到一個(gè)準(zhǔn)確的答案或者沒有辦法求解釋，這就表明需要運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解答。分類討論思想解題的根本實(shí)質(zhì)，主要指的是將整體這個(gè)大問題分解成幾個(gè)小問題來解決，化成小問題之后，就增加了問題的解題條件。這不僅與數(shù)學(xué)問題相關(guān)，還影響我們的現(xiàn)實(shí)生活，無論什么問題，都有可能因?yàn)橛幸欢ǖ淖償?shù)從而使得結(jié)果模糊，但是當(dāng)我們把變數(shù)一旦明晰化，就是增加了一個(gè)甚至多個(gè)解題條件，就可以得到確定的答案。

分類討論的基本要求是不重復(fù)、不遺漏。然而，初中數(shù)學(xué)中的分類討論問題往往是學(xué)生不容易掌握好的一類問題，從近幾年的中考閱卷中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解此類問題時(shí)，常常是不知道要進(jìn)行分類討論，或者知道了要分類討論卻考慮不周全，導(dǎo)致解答此類問題時(shí)得分率偏低。究其原因，主要是平時(shí)對(duì)“分類討論”的數(shù)學(xué)思想滲透不夠，學(xué)生對(duì)分類討論思想的運(yùn)用不熟練。以下就四個(gè)常見的問題，分別舉例說明。

（一）、絕對(duì)值問題

絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，在絕對(duì)值問題中主要是因?yàn)閿?shù)不確定正負(fù)即表示數(shù)的點(diǎn)不確定在原點(diǎn)的哪一側(cè)而需要進(jìn)行分類。

例1：已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍，兩點(diǎn)之間的距離為12，求這兩個(gè)數(shù)；

分析：因?yàn)閿?shù)軸上表示這兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)不確定位置，所以應(yīng)該分為在原點(diǎn)的同側(cè)或兩側(cè)，在這兩個(gè)分類中數(shù)都還要再分為正數(shù)或負(fù)數(shù)。

解：設(shè)甲數(shù)為m，乙數(shù)為n，由題意得：

（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)：

若m在原點(diǎn)左側(cè)，n在原點(diǎn)右側(cè)，即m<0，n>0，則 4n=12，所以n=3，m= -9。

若m在原點(diǎn)右側(cè)，n在原點(diǎn)左側(cè)，即m>0，n<0，則-4n=12，所以n=-3，m=9。

（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)同側(cè)：

若m、n在原點(diǎn)左側(cè)，即m<0，n<0，則 -2n=12，所以 n=-6，m=-18。

若m、n在原點(diǎn)右側(cè)，即m>0，n>0，則 2n=12，所以 n=6，m=18。

綜上所述：這兩個(gè)數(shù)為3，-9或-3，9或-6，-18或6，18。

（二）、應(yīng)用問題

在應(yīng)用問題中，分類討論主要是由于變量的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果。解決這類問題時(shí)，要做到分析清楚問題中變量在整個(gè)過程中會(huì)造成質(zhì)變的臨界點(diǎn)，即變量的不同取值會(huì)對(duì)問題產(chǎn)生哪些不同的結(jié)果，把它們一一羅列出來，系統(tǒng)地分類，才能正確求解。

（三）方程問題

方程知識(shí)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)及基礎(chǔ)，它涉及到一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程，分式方程等，這些不同類型的方程之間又可以互相轉(zhuǎn)化。解此類問題的關(guān)鍵是理清概念，在解題時(shí)應(yīng)注意概念的重要性。學(xué)生解此類問題的錯(cuò)誤往住是由于不細(xì)心審題，沒有弄清已知條件中的各種可能情況而急于解題所造成。只有審清了題意，全面、系統(tǒng)地考慮問題，才可以確定出各種可能情況的分類框架，分類時(shí)也能做到條理清楚，解答此類問題就不易造成漏解。

例2：已知方程 。是關(guān)于 的一元二次方程，求 的值。

分析題意可得，指數(shù) 可以取不大于2的所有自然數(shù)，即2、1、0。

解：（1）當(dāng) 時(shí)， 或 ，此時(shí)方程為 ；

（2）當(dāng) 時(shí)， 或 ，此時(shí)方程為

（3）當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)方程為

綜上所述， 的值為 ， ， ， 或

（四）、圓的問題

針對(duì)這種例題非常容易產(chǎn)生遺漏的現(xiàn)象，主要因?yàn)榭紤]不周全，聯(lián)想不到如何使用分類討論。正確解答此類問題的關(guān)鍵是必須熟悉符合條件的圖形的各種可能位置，緊扣條件，準(zhǔn)確地畫出圖形。解決此種例題的關(guān)鍵是擁有熟練的畫圖能力和空間想象能力，平時(shí)應(yīng)注意多操作、多探索，提高動(dòng)手能力和實(shí)踐能力。

三、概括

初中數(shù)學(xué)的全部知識(shí)點(diǎn)都會(huì)需要運(yùn)用分類討論思想，解題的關(guān)鍵首先要清楚分類的起因，知曉分類討論的對(duì)象以及分類的標(biāo)準(zhǔn)，按照所有可能出現(xiàn)的情況都要做好準(zhǔn)確的分類，然后再分別求解，最后歸納綜合，從而得到正確答案。數(shù)學(xué)中的分類討論思想不僅可以培養(yǎng)學(xué)生思維的連貫性和有序性，更能夠培養(yǎng)學(xué)生完整細(xì)致地分析問題的習(xí)慣和探索問題的能力，從而對(duì)養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)有較大益處。