陳國(guó)宗?全紅盈

一、概述

圓錐曲線(xiàn)是歷年高考命題的重點(diǎn)與難點(diǎn)，而定點(diǎn)定值問(wèn)題又始終在圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題中占有一席之地，該問(wèn)題對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題能力，知識(shí)綜合運(yùn)用能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與技巧要求較高.學(xué)生普遍存在計(jì)算不完或者計(jì)算不對(duì)的現(xiàn)象.為此，本文將介紹平移齊次化方法解決一類(lèi)定點(diǎn)定值問(wèn)題，以提高運(yùn)算的效率與準(zhǔn)確率.

二、例題分析

例1，已知 為拋物線(xiàn) 上異于原點(diǎn) 的兩點(diǎn)，設(shè) 分別為直線(xiàn) 的斜率且 .證明：直線(xiàn) 的斜率為定值.

解：設(shè)直線(xiàn) 與拋物線(xiàn)的交點(diǎn) ，

設(shè)直線(xiàn) 的方程為 .

由 聯(lián)立得： 即

變形得：

又 ，即 即

直線(xiàn) 的斜率 .

點(diǎn)評(píng)：①上述解法的巧妙之處在于將條件中 與 的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于 （視為整體）的一元二次方程的兩根關(guān)系.

②將直線(xiàn) 的方程設(shè)為 是為了聯(lián)立拋物線(xiàn)方程后方便將方程中的各項(xiàng)補(bǔ)齊為二次式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的一元二次方程.

例2，如圖1所示，已知橢圓 的右焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 及點(diǎn) 都在橢圓 上，若直線(xiàn) 與直線(xiàn) 的傾斜角互補(bǔ).

（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線(xiàn) 的斜率為定值.

解：（1）依題意 ，化簡(jiǎn)得

解得 或 （舍去）

故橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .

（2）分別平移 軸，建立以 為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系 ，如圖2所示

在直角坐標(biāo)系 下：已知 ，設(shè)

設(shè)直線(xiàn) 方程為

易知橢圓 的方程為

變形得：

由

聯(lián)立得：

化簡(jiǎn)變形得：

直線(xiàn) 與直線(xiàn) 的傾斜角互補(bǔ)，故

即

直線(xiàn) 的斜率為 .

易知直線(xiàn)在平移前后斜率不變，綜上所述：直線(xiàn) 的斜率為定值 .

點(diǎn)評(píng)：一是上述解法的核心在于對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行平移，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程齊次化，最后轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的一元二次方程的兩根關(guān)系問(wèn)題.故我們稱(chēng)上述方法為平移齊次化.

二是一般地，設(shè) 為圓錐曲線(xiàn) 上一點(diǎn)，由點(diǎn) 引傾斜角互補(bǔ)的兩弦 ，利用平移齊次化方法證明直線(xiàn) 斜率為定值的基本步驟為：

①平移坐標(biāo)軸，建立以 為原點(diǎn)的新平面直角坐標(biāo)系 .

②在直角坐標(biāo)系 下，求得圓錐曲線(xiàn) 的方程為 ，并將直線(xiàn) 方程設(shè)為 .

③聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程齊次化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的一元二次方程兩根關(guān)系問(wèn)題.

三是解題過(guò)程中應(yīng)注意到圓錐曲線(xiàn) ： 的常數(shù)項(xiàng)為0，以及直線(xiàn)平移前后斜率不變的一般規(guī)律.

事實(shí)上，利用平移齊次化方法我們還可以得到一個(gè)更為一般的結(jié)論：設(shè) 為二次曲線(xiàn)（圓、橢圓、雙曲線(xiàn)） 上一點(diǎn)，由點(diǎn) 引傾斜角互補(bǔ)的兩弦 ，則直線(xiàn) 的斜率為定值 ，證明留給讀者.

三、結(jié)束語(yǔ)

以上是本人對(duì)平移齊次化方法在定點(diǎn)定值問(wèn)題中的一些見(jiàn)解，通過(guò)文中的幾則實(shí)例，我們可以感受到該方法摒棄常規(guī)、獨(dú)辟蹊徑、解法高效.這也啟發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該要有敢于創(chuàng)新、勇于突破的精神，而非墨守成規(guī)、千篇一律.