紀(jì)柱欣

不等式初等證明是中學(xué)教學(xué)的一個非常重要的內(nèi)容，也是難點之一。在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等式關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在于現(xiàn)實的世界里，但人們對于不等式的認(rèn)識要比方程要遲得多。直到17世紀(jì)以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個重要的組成部分。

同時在研究數(shù)學(xué)的不等式的初等證法過程中，不等式的初等證明問題需要多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)。在本文中，列舉了一些不等式的初等證法的常用方法、一些利用函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)凹凸性證明不等式的方法和利用一些著名不等式證明不等式的方法。希望通過這些方法的學(xué)習(xí)，我們可以很好的認(rèn)識數(shù)學(xué)的一些特點。從而開拓一下我們的數(shù)學(xué)視野，深化一下我們對不等式的初等證法的認(rèn)識，以便于可以站在更高的角度來研究數(shù)學(xué)不等式。

一、不等式的初等證法的常用方法

3.放縮法

在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍棄一些正項（或負(fù)項）而使不等式的各項之和變小（或變大），把和（或積）里的各項換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達(dá)到證明的目的，值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。

4.數(shù)學(xué)歸納法

對于含有的 不等式，先證明當(dāng)n取第一個值 （例如 ）時，不等式成立。再去假設(shè) 時，不等式成立。最后證明 時，不等式也成立。一般情況下，在證明第二步時候要充分利用 時不等式成立的條件，以 時的不等式為基礎(chǔ)，進(jìn)行合理放縮，不等式兩邊同時乘以一個數(shù)，等一系列變換，證明 時，不等式也成立，從而證明不等式對n取第一個值以后的自然數(shù)都成立。

二、利用函數(shù)證明不等式的初等證法

1.利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題時，根據(jù)所證不等式問題的具體情況，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，并將原問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，從函數(shù)的增減性進(jìn)行分析，從而解決所求的問題。

2.利用函數(shù)凹凸性證明不等式

函數(shù)的凹凸性證明不等式，是通過構(gòu)造輔助函數(shù)f（x），求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合其凹凸性利用定理的推論及定義的應(yīng)用進(jìn)行分析，從而解決所求的問題。

總之證明初等不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法；要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點，從而使問題巧妙解決。