吳禹謀

摘 要：幾何學有著悠久的歷史，至今仍然是最重要的數(shù)學學科之一。微分幾何是幾何學中一個以無窮小分析方法為特征的分支。著名的數(shù)學家高斯、黎曼、嘉當?shù)热耍紝ξ⒎謳缀螌W的發(fā)展做出過重大的貢獻。另一方面，微分幾何學也是現(xiàn)代物理學思想的重要源泉。曲率是微分幾何學中的一個重要概念，在這篇論文中，我們嘗試從數(shù)學與物理學兩個角度，對這個概念做初步的探討。

關(guān)鍵詞：《三體》曲率驅(qū)動；曲率問題

1 曲率的數(shù)學直觀認知

微分幾何學是利用微積分的理論研究歐氏空間的幾何性質(zhì)的一個幾何學分支。古典微分幾何著重研究三維歐氏空間中的曲線和曲面，而現(xiàn)代微分幾何開始研究更一般的歐氏空間——流形。微分幾何學與拓撲學等其他數(shù)學分支有緊密的聯(lián)系，對物理學的發(fā)展也有重要影響。愛因斯坦的廣義相對論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數(shù)學基礎(chǔ)。

在這篇論文中，我們主要嘗試從數(shù)學與物理學兩個不同的角度，對微分幾何學中的一個非常重要的概念——曲率，嘗試做一個初步的探討。我們的論文的結(jié)構(gòu)如下，在這一節(jié)中，我們將主要從數(shù)學的角度去理解曲率這個概念。因為嚴格定義曲率，需要相當篇幅的多元微積分的預備知識作為基礎(chǔ)，所以這里我們更強調(diào)的是一種數(shù)學的直觀定義，這也反映出微分幾何學這個學科——對圖形直觀性地強調(diào)——本身所蘊含的特性。關(guān)于曲率最嚴格準確的定義，我們推薦感興趣的讀者參看參考文獻[1]。在下一節(jié)中，我們將會從物理學與工程技術(shù)的不同的應用場景的角度，去探討曲率這個概念，在其中所發(fā)揮的作用。從物理學的角度，我們尤其強調(diào)的是它在現(xiàn)代宇宙學中的作用，而在工程技術(shù)的角度，我們會去探討它在地球物理勘探中的應用。最后的一節(jié)中，我們將基于前兩節(jié)所討論的曲率的理論層面的知識，來給出一個有趣的實驗。

歐氏空間中的一個曲面上有兩個重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點到另一點的路徑是無數(shù)的，但這兩點間最短的路徑只有一條，叫做從一點到另一點的測地線。在微分幾何學里，一個中心的問題便是要探討怎樣判定曲面上的一條特定的曲線是這個曲面的一條測地線，此外也還需要討論測地線的其他幾何性質(zhì)。另一方面，討論曲面在每一點的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。

在微分幾何學的思想中，利用單變量與多變量的數(shù)學分析的基本思想，我們可以在充分小的數(shù)值內(nèi)忽略那些高階無窮小的變量，于是一些復雜的非線性等量關(guān)系可以變成簡單的線性關(guān)系。這種思想便是微分幾何中所特有的技術(shù)方法。

從偉大的數(shù)學家高斯在微分幾何的工作開始，由于數(shù)學家們對高維歐氏空間中的曲線、曲面的局部幾何性質(zhì)，與整體內(nèi)蘊幾何性質(zhì)的研究，使得微分幾何學同拓撲學等基礎(chǔ)數(shù)學中更為抽象的數(shù)學分支有了緊密的聯(lián)系。這些現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學的重要領(lǐng)域和微分幾何互相影響，使得微分幾何學本身也已經(jīng)成為了現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學里的中心課題之一。另一方面，微分幾何在物理學與工程技術(shù)問題上也慢慢地產(chǎn)生了重大的應用。

特別地，微分幾何學的主要研究技術(shù)大是來自于數(shù)學分析中的基本思想。正如我們上面所提到，微分幾何學發(fā)展的重要動機除了來自于它本身與現(xiàn)代基礎(chǔ)數(shù)學其他重要分支的互動外，也來自于物理學、天文學以及工程技術(shù)中所日益增長的需求。盡管微分幾何學主要研究的高維歐氏空間里面曲線、曲面的局部內(nèi)蘊幾何性質(zhì)，但同時它強烈地依賴于幾何圖形的直觀，以及由圖形本身所進行地類推的方法，即使從現(xiàn)代數(shù)學的角度看，也仍然有其特殊的重要性。

通過以上對微分幾何學的簡單地歷史回顧，我們很自然地看到，微分幾何學中的一個重要概念是曲率，我們現(xiàn)在就開始更具體地來討論這個概念本身。

我們已經(jīng)知道，微分幾何學是以高維的歐氏空間里面的光滑曲線與曲面作為基本的研究對象，所以整個微分幾何學是通過曲線的弧線長、曲線上一點的切線等等基本的概念所展開的。那么既然微分幾何學是研究曲線于曲面的幾何性質(zhì)，那么自然地平面曲線在一點的曲率和空間的曲線在一點的曲率等，就是微分幾何學中非常重要的內(nèi)容。

要計算曲線或曲面上每一點的曲率就要用到數(shù)學分析里面的微分的思想。直觀地說，曲率表示一條曲線的彎曲程度。曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，曲率越小，表示曲線的彎曲程度越小。從高維幾何圖形來說，曲率表示的是圖形表面的平坦程度

2 曲率的物理應用

都說數(shù)學物理聯(lián)系地很緊密，曲率便是個很好的例子。在動力學中，一般的，一個物體相對于另一個物體做變速運動時也會產(chǎn)生曲率。這是由于時空扭曲造成的。結(jié)合廣義相對論的等效原理，變速運動的物體可以看成處于引力場當中，因而產(chǎn)生曲率。

具體地，我們在這篇論文中主要從以下幾個方面探討曲率在物理的應用：引力場，曲率驅(qū)動，與曲率在地球物理勘探中的應用，例如層面形變，檢測斷層，研究故地貌，識別地質(zhì)體。

首先，我們把宇宙想象成一個沒有任何物質(zhì)的平滑的空間（類似于一個沙灘），然后往里面添加天體，根據(jù)實際經(jīng)驗可知，沙灘上堆放物質(zhì)是，物質(zhì)所在區(qū)域會下陷。宇宙也如此（如左下圖）而物質(zhì)的出現(xiàn)帶來了的引力，而引力又會以任何能量以無限彎曲的方式改變正?？臻g，從而使空間下陷，使原本平滑的空間變成了具有一定曲度的空間。而曲率便可以用于描述其下陷情況從而推算出天體的引力。

另一方面，按照愛因斯坦的廣義相對論的說法，在引力場中，時空的物理特性是由物體的質(zhì)量分布決定的，物體質(zhì)量的分布狀況使得時空的物理性質(zhì)變得不均勻，于是引起了時空的彎曲。因為一個有質(zhì)量的物體會對時空造成彎曲，而我們可以認為當賦予了速度之后，有質(zhì)量的物體質(zhì)量增加，于是時空彎曲的曲率就會變大了。

劉慈欣的著名的科幻小說《三體》中，曾經(jīng)提到過一種飛船驅(qū)動方式—曲率驅(qū)動。正如上面提到的，宇宙并不是平滑的空間，而是四處存在著曲率，且大小不等分布不均勻。曲率驅(qū)動則是依照著這種“地勢”提出來的。通過改變飛船后方的曲率（使其減?。?，那么飛船前后則存在曲率差，這種差則產(chǎn)生力帶動飛船高速運動。

在這一節(jié)的最后，我們簡要地探討一下曲率在地球物理勘探中的應用。我們知道，不同的地質(zhì)體的曲率特征會有所差異。地質(zhì)學家針對不同地區(qū)的斷層、窄河道、寬河道可以嘗試進行仿真試驗，根據(jù)仿真試驗的結(jié)果來分析與確定斷層、河道的識別原則。特別地，利用改進后的曲率算法計算了不同地區(qū)的最大正曲率與最小負曲率。并根據(jù)已有的識別原則對不同的地區(qū)的斷層及河道進行了識別，取得了非常好的效果。這些仿真試驗的結(jié)果表明，最大正曲率與最小負曲率的有效結(jié)合可以很好地識別斷層與河道，并且可以有效地修正了測試誤差。

3 實驗與討論

在這篇論文的最后一節(jié)中，我們將利用以上對曲率這個概念的理論層面的討論，特別是曲率驅(qū)動的原理，來完成一個類比于水面的張力的實驗。具體的實驗過程如下所述：

3.1 實驗目的

利用改變水的張力來類比于改變空間的曲率，從而探究物體的運動狀況。

3.2 材料準備

一只尾部帶孔的小紙船，一塊肥皂，幾枚回形針，一個正常規(guī)則的臉盆，一支記號筆，一個秒表。

3.3 實驗過程

（1）首先往臉盆里注水，容量達到半滿狀態(tài)。

（2）在臉盆邊緣中央位置做上記號，設(shè)為航線起點。靜置臉盆，使水面平靜。

（3）取回形針一枚在肥皂上刮下一小塊，將其塞入紙船小孔中（盡量使紙船不傾斜）。

（4）待水面平靜后，從起點處緩緩地放下紙船。在紙船與水接觸的瞬間開始計時。

（5）取回水船，待水面平靜后，將水船再次置于起點處，觀察水船運動情況。

（6）取回水船，待水面平靜后，將水船置于離不同于起點的臉盆邊緣處（要求離起點較遠（記為起點二），緩緩放下紙船。在紙船與水面接觸的瞬間開始計時。

（7）取回水船，注水，至裝滿臉盆（注意不能讓水溢出），重復上述4，5，6步驟，記錄數(shù)據(jù)，做成表格。

3.4 實驗結(jié)果及結(jié)論

（1）小船快速向前行駛一段距離之后停下，同時水變渾濁且快速擴散，取回，同航線再做，無明顯現(xiàn)象。改變航向，亦無明顯現(xiàn)象。

（2）加水，重復上述實驗，無明顯現(xiàn)象。

（3）結(jié)論：①肥皂水改變的小船后方的張力，使得小船前后存在張力差，是小船前進（類比曲率驅(qū)動可行）。②取回在做無明顯現(xiàn)象，說明在已改變張力的航線上已不能存在明顯的張力差即肥皂水已把水的張力降到最低。③改變航線亦無明顯現(xiàn)象說明肥皂水會快速擴散改變周邊水域張力（類比曲率驅(qū)動的啟動可能會永久地并向外擴散地改變周圍空間曲率）。④注入清水后亦無明顯現(xiàn)象說明此改變在一定程度上不可逆（類比曲率驅(qū)動的影響很難改變）。

3.5 誤差分析

（1）進行實驗時未等到水面完全靜止就開始實驗。

（2）將肥皂塊塞入紙船的過程中，質(zhì)量分布不均勻，使得紙船傾斜。

（3）第二次釋放的航線未與記號對齊。

（4）注水至滿的操作中，有水溢出。

（5）起點二與起點一相距較近。

3.6 實驗改進

（1）可將小紙船改為紙片（紙船質(zhì)量過大，現(xiàn)象不明顯）。

（2）可將肥皂塊改為濃度較高的肥皂水，實驗更易成功。

（3）將紙船改為防水材質(zhì)（如衛(wèi)生紙的膠紙外包裝）。

參考文獻：

[1]張筑生.數(shù)學分析新講，第三冊.第1版，北京：北京大學出版社，1990.