焦佳

本文以高等數(shù)學(xué)中極限的定義為載體，在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，提出了融入數(shù)學(xué)史、數(shù)形結(jié)合、滲透數(shù)學(xué)思想、引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等教學(xué)方法。在教學(xué)過程中，通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法幫助學(xué)生理解極限的定義，有意識地引導(dǎo)學(xué)生體會極限的含義，讓學(xué)生更深入地掌握極限的思想。

極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念，貫穿微積分學(xué)的始終，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)等定義都是建立在極限的基礎(chǔ)上。因此，對極限定義的準(zhǔn)確理解直接關(guān)系到后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

對于剛步入大學(xué)的學(xué)生，他們中的大部分人還沒有完全適應(yīng)大學(xué)的教學(xué)方法，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)仍以解題為主，很少關(guān)注數(shù)學(xué)思想。這也導(dǎo)致他們將主要精力放在計(jì)算上，缺乏去對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解。而極限的定義，具有較強(qiáng)的邏輯性，數(shù)學(xué)語言抽象。因此在教學(xué)中，為了讓學(xué)生能夠更深層次地理解極限的定義，從以下幾個方面入手：

1 融入數(shù)學(xué)史

數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科，與人們的生活、社會的發(fā)展息息相關(guān)。數(shù)學(xué)來源于生產(chǎn)、生活實(shí)踐，是從人們生產(chǎn)、生活的經(jīng)驗(yàn)中抽象概括出來的，同時生產(chǎn)、生活又是數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的廣闊天地。數(shù)學(xué)不僅凝結(jié)著人類認(rèn)識和改造客觀世界的成果，而且凝結(jié)著人類的主觀精神。數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，更富有自然、社會、歷史、人文等豐富的文化內(nèi)涵。

在極限教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的教育，一方面可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是一門怎樣的科學(xué)，提高學(xué)習(xí)的興趣；另一方面，講述數(shù)學(xué)史的過程也是講述數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的過程。通過數(shù)學(xué)史的融入，學(xué)生能更深層次地了解極限的來源，從而體會到數(shù)學(xué)思想在知識中的應(yīng)用。極限思想萌芽、發(fā)展、不斷完善的過程，使學(xué)生認(rèn)識到極限是為了求解實(shí)際問題而產(chǎn)生的，體會到極限在高等數(shù)學(xué)中的重要地位。

戰(zhàn)國《莊子·天下》中惠施說，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是，一尺長的木棍，每天截去它的一半，隨著不斷截去，留下的木棍長度“無限接近于零，但又不等于零”，千秋萬代也截不完。這體現(xiàn)出極限“無限趨近”的思想。在課堂教學(xué)中，可利用粉筆演示這句話的意思，讓學(xué)生對極限有初步的了解。用數(shù)列來描述，每日的截取量為 ，即可得到極限的定義，給定一個數(shù)列 ，隨著 無限增大， 無限地趨近于一個確定的常數(shù) ，則 稱為該數(shù)列當(dāng) 時的極限。

2 數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬分休?！敝v解極限定義時，采用數(shù)形結(jié)合的方法，能將抽象的函數(shù)具體到圖像上，學(xué)生理解起來更容易。教師可與學(xué)生一起作出圖像，觀察圖像的變化趨勢，從而得到極限的定義。學(xué)生在學(xué)習(xí)時會發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)概念，可以通過形的認(rèn)識，來發(fā)現(xiàn)質(zhì)的規(guī)律。通過對數(shù)學(xué)中形的理解，加深對高等數(shù)學(xué)概念的理解，這也是一種數(shù)學(xué)文化的積累。

3 滲透數(shù)學(xué)思想

魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，這正是運(yùn)用極限思想的實(shí)際例子。極限的思想和方法，可以使學(xué)生在分析問題時，看到事物發(fā)展的趨勢，從而抓住主要矛盾和矛盾的主要方面?；瘓A為方、化曲為直的極限思想，通過觀察有限分割、想象無限細(xì)分，根據(jù)變化趨勢想象終極狀態(tài)，不但使學(xué)生掌握了知識，而且進(jìn)行了變與不變、近似與精確、有限與無限、量變與質(zhì)變等辯證唯物主義教育。

笛卡爾說：“數(shù)學(xué)是使人變聰明的一門科學(xué)，而數(shù)學(xué)思想的教學(xué)則是傳導(dǎo)數(shù)學(xué)精神，形成世界觀不可缺少的條件?！睌?shù)學(xué)不僅是作為專業(yè)學(xué)習(xí)的工具，數(shù)學(xué)思維更應(yīng)該是大學(xué)生必備的素養(yǎng)，不但能利用數(shù)學(xué)知識解答專業(yè)和生活中所遇到的問題，還能把數(shù)學(xué)思想融入到日常生活和工作中。

在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，教師應(yīng)借助數(shù)學(xué)科學(xué)的文化價(jià)值，把蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識、技能中的價(jià)值觀念、審美情趣、思想方法和行為規(guī)范加以挖掘和提升，通過再現(xiàn)、重演數(shù)學(xué)知識中隱含的原始實(shí)踐和認(rèn)知活動，使學(xué)生接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，在獲得數(shù)學(xué)知識和技能的同時，在情感、學(xué)習(xí)態(tài)度、價(jià)值觀念等方面得到較好的發(fā)展。

4 引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

信息技術(shù)為數(shù)學(xué)課程提供了切實(shí)可行的方案、技術(shù)、方法和工具，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合，是將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)課程實(shí)施融為一體，以便更好地完成數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。基于信息技術(shù)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)苁挂恍┻^去只能通過思維、表象和想象領(lǐng)會的數(shù)學(xué)內(nèi)容，得到直觀地表示和處理。借助數(shù)學(xué)軟件，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決實(shí)際問題。極限是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生可通過改變參數(shù) 的值，計(jì)算機(jī)隨時顯示 隨 變化的動態(tài)過程，觀察 的變化。在此過程中，學(xué)生親自參與、反復(fù)實(shí)踐，體驗(yàn)“無限趨近”，理解極限概念。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、描述、猜想、實(shí)驗(yàn)、思考、推理、應(yīng)用等等，讓學(xué)生目睹數(shù)學(xué)過程形象而生動的性質(zhì)，體驗(yàn)如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)過程，并從中感受到數(shù)學(xué)的力量，促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

（作者單位：天津鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院）