何麗華

一、緣起

2017年11月1日至2日，江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室在鹽城中學(xué)舉辦了2017年江蘇省初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)，筆者在區(qū)、市、省各級(jí)比賽（均是借班上課）中，一路過關(guān)斬將，獲得佳績。比賽路上，有個(gè)人創(chuàng)作的努力，有頭腦風(fēng)暴的洗禮，有同伴互助的溫暖，有專家引領(lǐng)的震撼，帶來的不僅僅是榮譽(yù)，更多的是“醒腦”后的深度思考，故撰文與同行交流。

二、思考

（一）教材分析。

1.教材的地位作用。

蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊第10章“分式”，主要研究分式的概念、求值、基本性質(zhì)、運(yùn)算和分式方程等內(nèi)容。如圖1，分式章節(jié)的研究既是社會(huì)生活實(shí)際的需要（分式、分式方程等問題），又是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要（是繼整式之后對(duì)代數(shù)式的進(jìn)一步研究，也是對(duì)整式運(yùn)算的完善），也為后面研究反比例函數(shù)、二次根式等知識(shí)打下基礎(chǔ)和鋪墊。

2.對(duì)教材的理解認(rèn)識(shí)。

“放眼長遠(yuǎn)看全局”，起始課對(duì)全章來說起到了提綱挈領(lǐng)的作用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)（分式）的整體性和系統(tǒng)性（如圖2），需要培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)地思考：為何學(xué)——怎樣學(xué)——學(xué)什么；需要培養(yǎng)學(xué)生整體地把握“分式”章節(jié)簡單內(nèi)容和結(jié)構(gòu)框架。

（二）學(xué)情分析。

1.學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。

學(xué)生已有列代數(shù)式的經(jīng)驗(yàn)，已掌握了分?jǐn)?shù)、整式的相關(guān)知識(shí)，但還不能“順利地提取知識(shí)”和“有條理地梳理知識(shí)”，而且對(duì)知識(shí)的主動(dòng)遷移能力較弱。

2.現(xiàn)有的“生活現(xiàn)實(shí)”。

對(duì)于認(rèn)知主體——學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情較高、思維活躍，也初步具備了獨(dú)立思考、探究問題的能力，但鑒于現(xiàn)有的學(xué)情思考，如何從學(xué)生現(xiàn)有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和“生活現(xiàn)實(shí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)呢？確定了本節(jié)課的認(rèn)知路徑：會(huì)思考——會(huì)做題——會(huì)回顧——會(huì)梳理——會(huì)遷移——會(huì)反思。

（三）設(shè)計(jì)理念。

1.設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)框圖。

2.核心活動(dòng)思考。

根據(jù)前面的“教材分析”和對(duì)“學(xué)情分析”的思考，把分式章節(jié)內(nèi)容分成三個(gè)主要板塊進(jìn)行類比探究學(xué)習(xí)：

（1）概念類比——完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“心臟”，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)源泉。經(jīng)歷分式概念形成過程，感受學(xué)習(xí)分式的必要性（數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要、數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的關(guān)系），滲透建模思想，培養(yǎng)學(xué)生“從具體到抽象”“從特殊到一般”的思維能力。

（2）結(jié)構(gòu)類比——完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“骨架”，幫助學(xué)生建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)框架。經(jīng)歷分式與分?jǐn)?shù)、整式的結(jié)構(gòu)類比，在觀察、思考、猜想、歸納等活動(dòng)中初步理解分式的整體研究思路和整章內(nèi)容結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識(shí)和能力。

（3）內(nèi)容類比——完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“血肉”，幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)歷分式與分?jǐn)?shù)、整式的內(nèi)容類比，初步理解分式研究學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，感受類比學(xué)習(xí)的基本方法，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.板書設(shè)計(jì)規(guī)劃。

由于本章新知識(shí)多、雜，新舊知識(shí)聯(lián)系多，采用“框架式”和“對(duì)比式”“貼紙移動(dòng)式”結(jié)合的板書設(shè)計(jì)，能有效地整合知識(shí) ，體現(xiàn)知識(shí)整合的內(nèi)容、思路和方法及其邏輯過程。

三、實(shí)踐

活動(dòng)一：概念類比研究。

（一）創(chuàng)境激趣。

問題：今年王偉同學(xué)年齡是15歲，我的年齡是36歲，6年之后王偉同學(xué)年齡與我的年齡之比為_________________________。

（二）生活實(shí)際的建模。

1.一塊長方形玻璃的面積是2平方米，長為3米，則寬為______________________米；

2.在物理課堂上，一輛勻速行駛的小車3秒行駛了s分米，它的速度為______________________分米/秒；

3.如果兩塊面積為3公頃、2公頃的梯田分別產(chǎn)棉花m千克、n千克，那么這兩塊梯田每公頃產(chǎn)棉花______________________千克。

設(shè)計(jì)意圖：“猜我的年齡有多大？”——“師生年齡問題”——“一般化思考”——“生活問題”——“物理問題”——“生產(chǎn)問題”等一系列問題拉近了三種“距離”：師生之間的距離，生活和數(shù)學(xué)之間的距離，數(shù)學(xué)知識(shí)（分?jǐn)?shù)、整式與分式）之間的距離；學(xué)生明白“為何學(xué)”分式——社會(huì)生活實(shí)際的需要，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（三）歸納概括。

1.概念歸納：這些式子有何共同點(diǎn)？能否用一個(gè)一般的式子表示出來？

板書：（1）形如[AB]，（2）A、B是整式，（3）且B中含有字母。

2.概念辨析。

判斷下列各式中，哪些是分式？

3.概念精致。

問題：如何把一個(gè)分式變回原來的分?jǐn)?shù)和整式呢？

設(shè)計(jì)意圖：“概念歸納——概念辨析——概念精致”這三個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，巧妙的引導(dǎo)讓學(xué)生第一次理解分式既有分?jǐn)?shù)的“形”的特征，又有整式的“式”的痕跡；同時(shí)也感受到數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)（分式和分?jǐn)?shù)、整式）之間的區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生“從具體到抽象”“從特殊到一般”“從一般到特殊”的思維能力。

活動(dòng)二：結(jié)構(gòu)類比研究。

問題1：有關(guān)“分?jǐn)?shù)”你知道哪些知識(shí)。

問題2：有關(guān)“整式”你知道哪些知識(shí)。

問題3：觀察分?jǐn)?shù)和整式的研究思路（或結(jié)構(gòu)），猜想一下“分式”的研究思路是怎樣的？

設(shè)計(jì)意圖：（1）問題1、2的設(shè)計(jì)目的：引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)和整式的相關(guān)內(nèi)容，喚醒已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，為問題3中構(gòu)建知識(shí)的同化和順應(yīng)做好鋪墊。（2）教法緣由。為什么要利用“以題想綱”“目錄研究”和“框架整理”的方式幫助學(xué)生回顧知識(shí)呢？一是心理學(xué)研究表明：“在記憶提取時(shí)，回憶的線索具有重要價(jià)值，線索回憶效果好于自由回憶，分類回憶好于隨機(jī)回憶。”因此利用“以題想綱”“目錄研究”和“框架整理”為知識(shí)回顧提供腳手架，便于學(xué)生順利地提取、整理知識(shí)；二是重“怎樣學(xué)”（學(xué)習(xí)方法）的指導(dǎo)?！笆谥贼~不如授之以漁”，教是為了不教，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，積累學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)。（3）重“為何學(xué)”的引導(dǎo)和感悟。對(duì)整式內(nèi)容的“目錄研究”，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、提出——“為何七年級(jí)不安排整式除法的學(xué)習(xí)”，進(jìn)一步感悟“為何學(xué)”分式。不僅是社會(huì)生活實(shí)際的需要，而且也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，發(fā)展學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題的意識(shí)和能力。（4）重整體把握“學(xué)什么”的框架。讓學(xué)生經(jīng)歷分式與分?jǐn)?shù)、整式的結(jié)構(gòu)類比，初步把握分式的整體研究思路和整章內(nèi)容結(jié)構(gòu)。

活動(dòng)三：內(nèi)容類比研究。

類比活動(dòng)1：求值的探究。

（1）整式的求值：已知a=2，求a-1的值；

（2）分式的求值：已知a=2，求[aa-1]的值。

類比活動(dòng)2：基本性質(zhì)的探究。

填空：（1）[46=2（）]=[（）18]；

（2）[ab=2a（）=（）-3b]=[（）bm=a（m+2）（ ）]。

感悟提升：在類比學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)該關(guān)注什么？你有何感悟和收獲？

設(shè)計(jì)意圖：類比活動(dòng)1采用“對(duì)比”的教學(xué)形式，感受整式、分式求值過程的相同點(diǎn)——方法都一樣（代入、求值）；不同點(diǎn)——分式需考慮分母是否為0。類比活動(dòng)2繼續(xù)采用“對(duì)比”的教學(xué)形式，感受分式、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的異同。兩個(gè)活動(dòng)都采用“對(duì)比”的教學(xué)形式，利于學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)。一方面，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的“自然生長”過程，理解了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系；另一方面，學(xué)生通過“感悟提升”，理解并關(guān)注類比學(xué)習(xí)的關(guān)鍵——不同點(diǎn)和相同點(diǎn)。

類比活動(dòng)3：分式運(yùn)算的探究。

類比學(xué)習(xí)：根據(jù)黑板的知識(shí)框架思考。

（1）分式的運(yùn)算與誰的運(yùn)算比較“類似”？

（2）請利用下面式子舉例說明（或自己舉例）。

設(shè)計(jì)意圖：再一次讓學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”的過程。學(xué)生在自主探究基礎(chǔ)上合作討論，最后展示交流，教師適時(shí)追問。在生生、師生等多維互動(dòng)過程中，不斷地明確、明晰分式運(yùn)算的內(nèi)容，加深對(duì)知識(shí)之間聯(lián)系的理解；也再一次感受類比學(xué)習(xí)的基本方法，激發(fā)了興趣，積累了經(jīng)驗(yàn)。

類比活動(dòng)4：分式方程的探究。

暢所欲言：面對(duì)一個(gè)陌生的方程，怎樣用類比方法學(xué)習(xí)它呢？說說你的想法。

回到生活：今年王偉同學(xué)年齡是15歲，我的年齡是36歲，多少年之后王偉同學(xué)年齡與我的年齡之比為1：2？

設(shè)計(jì)意圖：（1）“暢所欲言”環(huán)節(jié)的目的就是“完全放開”讓學(xué)生設(shè)計(jì)“學(xué)習(xí)分式方程的學(xué)習(xí)路徑”，再一次提升“類比學(xué)習(xí)”的自主能力。（2）從開頭的“猜年齡”到結(jié)尾的“算年齡”，遙相呼應(yīng)，相得益彰，讓學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)（分式）學(xué)習(xí)的價(jià)值所在——“問題來源于實(shí)際，又回到實(shí)際中去”。（3）4個(gè)類比活動(dòng)的兩個(gè)特點(diǎn)：①整體性：整體地把握分式章節(jié)的大致內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法；②層次性：學(xué)程設(shè)計(jì)從“扶”（類比活動(dòng)1、2）到“半扶半放”（類比活動(dòng)3），再到“完全放開”（類比活動(dòng)4），讓學(xué)生拾階而上，步步為營，逐步掌握“感受——理解——簡單運(yùn)用”的類比學(xué)習(xí)方法。

活動(dòng)四：課堂小結(jié)提升。

1.請你選擇感興趣的1至2個(gè)問題反思一下本節(jié)課的內(nèi)容。

（1）本節(jié)課，你學(xué)到了哪些知識(shí)？

（2）本節(jié)課，讓你感受最深的是什么？

（3）課后你準(zhǔn)備對(duì)哪方面進(jìn)行進(jìn)一步研究？

（4）還有哪些困惑？此外你還知道了什么？

2.練習(xí)反饋。

概念再精致：知識(shí)結(jié)構(gòu)——類比填空。

數(shù)式：

設(shè)計(jì)意圖：（1）“課堂小結(jié)”的價(jià)值在于“編筐編簍，全在收口”。新穎的小結(jié)方式，可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的意識(shí)，讓學(xué)生針對(duì)自己的切身體會(huì)進(jìn)行小結(jié)，這樣能充分尊重個(gè)體差異，為每一個(gè)學(xué)生都創(chuàng)造在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì)。（2）“概念再精致”的目的是利于學(xué)生對(duì)已學(xué)的眾多“數(shù)”與“式”相關(guān)概念進(jìn)行有序的編碼、儲(chǔ)存，同時(shí)避免了數(shù)學(xué)概念理解中“只見樹木不見森林”的現(xiàn)象。

四、反思

本單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)著力體現(xiàn)讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，它們之間存在千絲萬縷的聯(lián)系。著力點(diǎn)在于理順相應(yīng)（分?jǐn)?shù)、整式、分式）關(guān)系，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，深層次加工整合，建立新舊知識(shí)、信息之間的聯(lián)系，經(jīng)歷分式知識(shí)整體地、深度地生長過程，進(jìn)行主動(dòng)、聯(lián)系、有意義的深度學(xué)習(xí)。

（一）關(guān)注學(xué)生整體地認(rèn)知。

系統(tǒng)論認(rèn)為，系統(tǒng)整體功能不等于構(gòu)成它的諸要素功能的簡單相加，而是大于構(gòu)成它的諸要素功能之和。單元教學(xué)設(shè)計(jì)正是基于對(duì)系統(tǒng)功能觀的認(rèn)識(shí)。單元教學(xué)起始課一開始就應(yīng)從宏觀上整體、系統(tǒng)地認(rèn)知“分式”這一章。

“眺望四周看局部”。分析學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)、整式與分式三者之間既不是上位概念又不是下位概念，而是并列關(guān)系，因此采用并列結(jié)合學(xué)習(xí)，非常好的方式就是類比學(xué)習(xí)。通過目標(biāo)問題（分式）與源問題（分?jǐn)?shù)、整式）各個(gè)方面（概念、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容等）類比研究，達(dá)到主體整體認(rèn)知運(yùn)用的相關(guān)性——即認(rèn)知操作中有認(rèn)知程序的部分包容和認(rèn)知方式的直接遷移。從而利于學(xué)生整體地把握“分式”章節(jié)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)框架，幫助學(xué)生直擊學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)及其蘊(yùn)涵的基本思想、方法，形成一個(gè)完整的知識(shí)鏈條和結(jié)構(gòu)體系。

（二）關(guān)注學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》特別強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果。從熟悉的年齡問題入手，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，由分?jǐn)?shù)、整式的實(shí)際問題一般化思考后“自然建立”數(shù)學(xué)模型——分式，設(shè)計(jì)起點(diǎn)低、立意高。學(xué)生通過分?jǐn)?shù)、整式、分式三者類比推理學(xué)習(xí)，運(yùn)用知識(shí)的遷移規(guī)律，從概念、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容三個(gè)方面進(jìn)行主動(dòng)、聯(lián)系、有意義的深度學(xué)習(xí)?！案拍铑惐妊芯俊弊寣W(xué)生感受了“尋找類比源”“特殊化與一般化”等學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；“結(jié)構(gòu)類比研究”讓學(xué)生初步理解“以題想綱”“目錄研究”等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法；“內(nèi)容類比研究”讓學(xué)生初步感悟類比學(xué)習(xí)的關(guān)注點(diǎn)——相同點(diǎn)和不同點(diǎn)等；整節(jié)課的類比學(xué)習(xí)活動(dòng)促進(jìn)了知識(shí)、能力和方法的遷移，幫助學(xué)生積累了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（三）關(guān)注知識(shí)的自然生長。

李尚志教授曾說：“一條重要的核心素養(yǎng)是舉一反三的能力，就是能利用舊知識(shí)解決新問題的能力，更高一點(diǎn)，利用舊知識(shí)生長新知識(shí)的能力?！标P(guān)注知識(shí)的自然生長，必須關(guān)注三個(gè)方面：為何要生長、怎樣生長、生長出什么？

為何要生長？“數(shù)學(xué)應(yīng)用”和“數(shù)學(xué)本身不斷發(fā)展”是數(shù)學(xué)學(xué)科的兩個(gè)重要特性，這兩個(gè)特性鑄就數(shù)學(xué)知識(shí)需要不斷適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)生活而促進(jìn)數(shù)學(xué)概念得以自然生長，概念內(nèi)涵得以發(fā)展延伸。通過“遙相呼應(yīng)的年齡問題”讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)需要；對(duì)整式內(nèi)容的目錄研究，進(jìn)而產(chǎn)生對(duì)整式知識(shí)結(jié)構(gòu)的思考——“為何七年級(jí)不安排整式除法的學(xué)習(xí)”，讓學(xué)生挖掘了數(shù)學(xué)內(nèi)涵的發(fā)展需要。從“學(xué)習(xí)有用”和“數(shù)學(xué)發(fā)展”兩個(gè)維度設(shè)計(jì)教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程，感受其應(yīng)用性和生長性，從而產(chǎn)生進(jìn)一步探求新知的迫切需要。

怎樣生長、生長出什么？在概念的形成時(shí)，讓學(xué)生感受到概念的生長關(guān)鍵—— “分式”概念定義（初中階段）的邏輯生長點(diǎn)是分?jǐn)?shù)的“形”特征、整式的“式”痕跡，完善了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“心臟”——概念；在知識(shí)結(jié)構(gòu)的架構(gòu)時(shí)，讓學(xué)生理解到“分式的結(jié)構(gòu)”既有“分?jǐn)?shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)”又有“整式的知識(shí)結(jié)構(gòu)”，即三者在內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征上具有結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)性——結(jié)構(gòu)要素的并聯(lián)對(duì)應(yīng)和結(jié)構(gòu)要素的近似性，同時(shí)也明白了“結(jié)構(gòu)生長”是“概念生長”的自然延伸，完善了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“骨架”——結(jié)構(gòu)；在分式內(nèi)容完善時(shí)，讓學(xué)生理解和掌握分?jǐn)?shù)、整式、分式三者之間既有相同點(diǎn)又有不同點(diǎn)，同時(shí)也再一次讓學(xué)生感悟到前兩者既是后者學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，又是后者學(xué)習(xí)的“類比源”，完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“血肉”——內(nèi)容。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)）