黃輝

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?第二類曲面積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點，也是高等數(shù)學(xué)七類積分計算中最難的一種，就一道例題給出三種不同的解法，使學(xué)生加深對第二類曲面積分的了解，找到適合自己的方法.

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?第二類曲面積分;公式法;高斯公式;兩類曲面積分關(guān)系

[中圖分類號] ?O172.2-4 ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? [文章編號] ?2096-0603（2018）27-0137-01

在高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)占有重要地位，而第二類曲面積分的計算是高等數(shù)學(xué)七類積分計算中最難的一種，同時也是各高校期末考試試題及考研試題中的必考題型.因為在計算時既要考慮投影又要考慮曲面的側(cè)，很多學(xué)生初學(xué)時往往掌握不好，本文就一道例題給出三種不同的解法，使學(xué)生加深對第二類曲面積分的了解，找到便于理解適合自己的解題方法.

例 計算I=■xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限部分的前側(cè).

分析一：直接利用公式法，即通過投影將第二類曲面積化成二重積分來計算.簡單來說是“一換二定三算”.“一換”指換被積函數(shù)，將被積函數(shù)換成由曲面方程所表示的函數(shù);“二定”指由曲面的側(cè)來決定符號是“+”還是“-”;“三算”指計算投影在相應(yīng)坐標(biāo)面上的二重積分.

解法一：∑在xoy面上的投影為一條圓弧，即■zdxdy=0，

I=■xdydz+ydzdx，

由∑：x2+y2=1關(guān)于x，y的輪換對稱性有

■xdydz=■ydzdx，

則I=■xdydz+ydzdx=2■xdydz=2■■dydz=2■dz■■dy

=2·3·■■dy■6■■·costdt=6■cos2tdt=6·■·■=■.

分析二：利用高斯公式來計算.需要注意的是使用高斯公式計算第二類曲面積分時，積分曲面∑必須是封閉的，如果∑不封閉，我們要先補面使之變成封閉的，然后才能應(yīng)用高斯公式計算.補面時通常選取平行于坐標(biāo)面的有向平面，并使該有向平面的側(cè)與積分曲面的側(cè)保持一致，即同指向所圍成封閉曲面的外側(cè)或內(nèi)側(cè).最后計算原曲面積分時還要減去補的有向平面上積分.

解法二：作輔助平面∑1∶z=0（x2+y2≤1，x≥0，y≥0）取下側(cè);

∑2∶z=3（x2+y2≤1，x≥0，y≥0）取上側(cè);∑3∶y=0（0≤x≤1，0≤z≤3）取左側(cè);∑4∶x=0（0≤y≤1，0≤z≤3）取后側(cè)，則∑+∑1+∑2+∑3+∑4構(gòu)成封閉曲面，設(shè)其所圍成的空間區(qū)域為Ω，由高斯公式有

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■（1+1+1）dv=3VΩ=3·■·π·3=■，

而∑1，∑2在yoz面和zox面投影為零，即

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■zdxdy=■0dxdy=0，

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■zdxdy=■3dxdy=3■=3·■π=■，

∑3在yoz面和xoy面的投影為零，而∑4在zox面和xoy面的投影為零，有

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■ydzdx=■0dzdx=0，

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■xdydz=■0dydz=0，

則I=■xdydz+ydzdx+zdxdy=■-■xdydz+ydzdx+zdxdy=■-0-■-0-0=■.

注：在使用高斯公式時除了要關(guān)注曲面∑是否封閉外，還要注意以下幾點：（1）P，Q，R在Ω上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);（2）如果在內(nèi)有使P，Q，R一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的點，則應(yīng)在Ω內(nèi)先挖去該點，然后再應(yīng)用高斯公式;（3）有向曲面∑要取向外側(cè)，如取向內(nèi)側(cè)時要變符號.

分析三：利用兩類曲面積分之間關(guān)系將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化

為第一類曲面積分進(jìn)行計算，該解法須先求出曲面的法向量再表示出法向量的方向余弦.

解法三：∑∶x2+y2=1，則■={2x，2y，0}，從而

cosα=■，cosβ=■，cosγ=0，

則

I=■xdydz+ydzdx+zdxdy=■（x·■+y·■+z·0）dS

=■（■+y·■）dS=■■dS=■dS=S∑

=■·2π·3=■.

對第二類曲面積分的求解，主要就是利用公式法，高斯公式或兩類曲面積分之間的關(guān)系，同時配合積分曲面的對稱性、輪換性，被積函數(shù)的奇偶性等解題技巧，將積分式進(jìn)行簡化處理求出曲面積分的最終值.以上解題方法各有利弊，大家可以靈活選擇一種適合自己且掌握起來相對容易的方法.

參考文獻(xiàn)：

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)七版）[M].北京：高等教育出版社，2017.