何東山

（咸陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

在固體物理學(xué)中，馬德隆常數(shù)是描述晶體結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要特征參數(shù)，通過馬德隆常數(shù)便可以計(jì)算出晶體的庫侖結(jié)合能。NaCl晶體一個(gè)原包的平均庫侖結(jié)合能可以表示為[1]

其中求和部分是取決于晶體結(jié)構(gòu)的無量綱負(fù)值，將其記作-α，其中α被稱作馬德隆常數(shù)，其表達(dá)式為

根據(jù)式(2)便可以計(jì)算出馬德隆常數(shù)，但是對(duì)于三維情況，上述級(jí)數(shù)收斂很慢。本文通過對(duì)一維和二維NaCl晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算分析，給出了減小計(jì)算量和加快收斂速度的方法，并計(jì)算了三維NaCl晶體的馬德隆常數(shù)。

1 一維NaCl晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算

1.1定義算法

一維NaCl晶體是指Na+離子和Cl-離子在一條直線上等間距排列，其馬德隆常數(shù)為

式（3）的嚴(yán)格結(jié)果為2ln2[2]，如圖1所示，虛線表示α1隨計(jì)算項(xiàng)數(shù)N增加時(shí)的變化規(guī)律，實(shí)線表示α1的準(zhǔn)確值。根據(jù)式(3)，用Mathematica軟件給出了α1(N )的圖形，從圖（1）中可以看出隨著求和項(xiàng)數(shù)N增加時(shí)，α1在準(zhǔn)確值上下擺動(dòng)，且擺動(dòng)幅度大致相同，項(xiàng)數(shù)N越大時(shí)擺動(dòng)幅度越小，最終趨于準(zhǔn)確值。

圖1 定義法計(jì)算一維NaCl晶體馬德隆常數(shù)

1.2改進(jìn)算法

從圖1中可以看出當(dāng)項(xiàng)數(shù)N增加1時(shí)，結(jié)合能增加一個(gè)Na+離子或Cl-離子，因此馬德隆常數(shù)在準(zhǔn)確值兩側(cè)擺動(dòng)，如果將公式修正為

圖2修正算法計(jì)算與定義算法對(duì)比

則收斂速度會(huì)大大加快。如圖2所示，虛線表定義法得到的馬德隆常數(shù)α1收斂情況，實(shí)線表示修正算法給出的馬德隆常數(shù)α1'收斂情況。圖中給出了修正算法計(jì)算與定義算法對(duì)比，可以看出修正算法的收斂速度遠(yuǎn)大于定義算法。根據(jù)對(duì)稱性n取正值部分的求和與n取負(fù)值的求和部分相等，因此在式(4)中，將求和取為從1到N，將求和的計(jì)算量減小為式(3)的一半，這在一維情況下不是很明顯，對(duì)于三維情況，可以減小很大計(jì)算量。

2 三維NaCl晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算

根據(jù)定義二維NaCl晶體馬德隆常數(shù)α2為

根據(jù)對(duì)稱性，以參考離子為原點(diǎn)，則四個(gè)象限對(duì)原點(diǎn)的貢獻(xiàn)相同，二維馬德隆常數(shù)應(yīng)為四個(gè)象限的貢獻(xiàn)加上兩個(gè)坐標(biāo)軸上的貢獻(xiàn)（即一維馬德隆常數(shù)α1），因此式（5）可以重新寫為

式(5)中求和為4N2項(xiàng)，而式(6)中求和約為N2項(xiàng)。根據(jù)定義三維NaCl晶體馬德隆常數(shù)α3為

同理根據(jù)對(duì)稱性將上式寫為

通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)二維、三維馬德隆常數(shù)與一維類似，隨著項(xiàng)數(shù)的變化，其值在準(zhǔn)確值兩側(cè)擺動(dòng)，因此將公式修正為

若利用式(7)和(9)計(jì)算三維馬德隆常數(shù)則求和項(xiàng)共2×(2 N)2=16N3項(xiàng)，同理利用晶體的對(duì)稱性可以將計(jì)算量減小在N很大時(shí)式(11)的求和項(xiàng)數(shù)約為N3項(xiàng)，相比定義法，式(11)大大減小了計(jì)算量，并加快了收斂速度。如圖3所示，虛線表示定義法得到的三維馬德隆常數(shù)a3，實(shí)線表示修正算法給出的三維馬德隆常數(shù)a3'，修正算法更快的趨于穩(wěn)定值，可見修正算法加快了計(jì)算的收斂速度。

圖3修正算法計(jì)算與定義算法對(duì)比

3計(jì)算結(jié)果與分析

利用Mathematica軟件，計(jì)算了一維至三維的馬德隆常數(shù)，見表1。

表1不同維度NaCl晶體馬德龍常數(shù)計(jì)算結(jié)果

從計(jì)算結(jié)果可以看出，NaCl晶體各個(gè)維度的馬德隆常數(shù)都隨著項(xiàng)數(shù)n的增加而增加，項(xiàng)數(shù)n很大時(shí)馬德隆常數(shù)增加的速度減慢，最終趨于一穩(wěn)定值。項(xiàng)數(shù)n越大計(jì)算得到的精度越高，因此表1中當(dāng)項(xiàng)數(shù)n增加到400時(shí)增加了結(jié)過的有效位數(shù)。但是計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)隨著項(xiàng)數(shù)n的增加，計(jì)算機(jī)每次計(jì)算所花的時(shí)間迅速增加，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，本文中計(jì)算到項(xiàng)數(shù)n=400為止。作為比較表1中列出了其他文獻(xiàn)給出的各個(gè)維度的馬德隆常數(shù)?？梢园l(fā)現(xiàn)本文計(jì)算結(jié)果與其他文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果吻合。三個(gè)維度的比較表明，隨著維數(shù)的增加馬德隆常數(shù)也增加，這驗(yàn)證了離子晶體馬德隆常數(shù)隨著晶體配位數(shù)的增加而增大的性質(zhì)[5-6],本文計(jì)算了簡單晶的馬德隆常數(shù)，對(duì)于復(fù)雜晶體通常計(jì)算方法更加復(fù)雜[7-10]。

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