《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011版）》指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過程，感悟模型思想?！毙W(xué)階段作為模型思想教學(xué)的初級階段，應(yīng)當(dāng)抓住合適的時機、利用適當(dāng)?shù)膬?nèi)容、采取恰當(dāng)?shù)姆绞阶寣W(xué)生來體驗和感悟模型思想，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程。對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，建模的過程實際上就是學(xué)生的學(xué)習(xí)活動經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程；對于建模教學(xué)的過程而言，實際上就是從現(xiàn)實生活或具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，通過動手操作、觀察、分析、推理等數(shù)學(xué)活動完成模型的構(gòu)建，對模型進行分析、檢驗的過程。

一、通過實驗操作建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

一個數(shù)學(xué)模型的建立，往往需要對事物關(guān)系進行多層次的發(fā)現(xiàn)，多批次的實驗，獲得一些數(shù)據(jù)或認識。小學(xué)生由于年齡及心理的差異，愛玩、好動，抽象思維差，思維正處在具體形象為主的階段。例如，在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”這一課時，三角形的三邊關(guān)系是需要學(xué)生建構(gòu)關(guān)于三角形邊的模型結(jié)構(gòu)，而這個關(guān)系學(xué)生往往不容易發(fā)現(xiàn)，如果教師采用直接口述的方式，會不利于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。對此，教師可以借助直觀實物引導(dǎo)學(xué)生開展實驗操作活動，經(jīng)歷建構(gòu)模型的過程，豐富學(xué)生動手操作的體驗。教學(xué)中筆者設(shè)計了一系列的實驗操作活動：

環(huán)節(jié)一：提出問題。學(xué)生完成下面的實驗操作活動：任意選三根小棒，是不是都能圍成一個三角形？

在8cm、5cm、4cm、2cm四根小棒中，任選三根小棒搭一搭，看是不是任意的三根小棒都能圍成三角形？ （表1）

表1

結(jié)論：任意三根小棒_____________（一定/不一定）能圍成三角形。

學(xué)生通過實驗發(fā)現(xiàn)：任意選三根小棒不一定能圍成三角形。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么8cm、5cm、2cm以及8cm、4cm、2cm不能圍成三角形？學(xué)生會說：5cm和2cm搭的時候夠不著，4cm和2cm搭的時候也是這樣的。進而引導(dǎo)得出猜想：兩條邊的長度加起來要比第三條邊長。

環(huán)節(jié)二：要想圍成一個三角形，三根小棒中兩條邊的長度加起來是不是要比第三條邊的長？帶著這樣的問題完成下面的實驗。 （表2，P10）

學(xué)生在實驗的過程中發(fā)現(xiàn)：因為5cm和3cm合起來剛好等于8cm，圍不成三角形；8cm、5cm合起來是13cm，也圍不起來；8cm、5cm的和比14小，也圍不起來；其余的情況都可以圍成三角形。從而進一步確信自己的猜想：要想圍成三角形，任意兩條邊的長度和要大于第三邊。

表2

1.從圍成三角形的三根小棒中任意選出兩根，將它們長度的和與第三根比較，結(jié)果怎樣？

□+□○□ □+□○□ □+□○□

2.自己任意畫兩個三角形，先量一量（用毫米做單位，標(biāo)出長度），再算一算。

① □+□○□ ② □+□○□□+□○□ □+□○□□+□○□ □+□○□

結(jié)論：_______________________________

環(huán)節(jié)三：是不是三角形的任意兩條邊長度之和都大于第三邊？再次通過對已有三角形邊的長度的測量操作進行驗證。

經(jīng)過三個環(huán)節(jié)的實驗操作，學(xué)生的認識逐步深刻，從而建立起了三角形三邊關(guān)系的模型，即：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

二、引用符號語言幫助建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)語言有三種常用的表現(xiàn)形態(tài)，即文字語言形態(tài)、符號語言形態(tài)和圖形語言形態(tài)。在小學(xué)教學(xué)中，隨著年級的升高，圖形、符號語言形態(tài)呈逐步增多的趨勢。在數(shù)學(xué)建模過程中，要引導(dǎo)學(xué)生嘗試用圖形、符號等語言進行抽象建構(gòu)、表達模型。如“蘇教版”六年級“解決問題的策略——假設(shè)”教學(xué)，問題中有兩種未知量，需要通過假設(shè)化歸為一種未知量，從而解決問題。而假設(shè)的關(guān)鍵是如何進行數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而完成數(shù)量關(guān)系的重新建構(gòu)。教學(xué)時筆者嘗試讓學(xué)生用自己的畫圖經(jīng)驗逐步抽象出解決問題的數(shù)量關(guān)系模型。

例題：將720毫升果汁倒入1個大杯和6個小杯，正好倒?jié)M。小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

學(xué)生很快找到題目中的數(shù)量關(guān)系式：6個小杯容量＋1個大杯容量＝720毫升；小杯容量×3=大杯容量。這是含有兩個未知量的問題，學(xué)生很快想到將兩種杯子假設(shè)成一種杯子。如何將兩個未知量變成一個未知量，題目中的數(shù)量關(guān)系式又會怎樣變化？學(xué)生將他們的想法畫在了作業(yè)紙上。

先把題中的這兩個關(guān)系用圖表示出來，再在圖上表示假設(shè)成同一種杯子的示意圖。

展示學(xué)生的學(xué)習(xí)單，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)了畫線段圖、畫圓圈等方法。

（1）畫線段。

（2）畫圓圈。

通過畫圖將兩種杯子如何逐步抽象假設(shè)成一種杯子的過程變得直觀清晰；通過畫圖學(xué)生能夠更清楚地整合題目中的數(shù)量關(guān)系：“6個小杯容量＋1個大杯容量＝720毫升”“小杯容量×3=大杯容量”，建構(gòu)了9個小杯容量=720毫升或3個大杯容量=720毫升這樣簡單的數(shù)量關(guān)系模型。學(xué)生將假設(shè)用符號語言描述出來，將兩種未知量逐步抽象成一種未知量，從而建構(gòu)出只有一種未知量的數(shù)量關(guān)系式。

三、通過探尋關(guān)系建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是通過數(shù)學(xué)語言、符號和圖形等形式來刻畫、描述、反映特定的問題或具體事物之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型的價值體現(xiàn)在建立過程及以此去解決實際問題，在問題解決中自覺主動地尋求適應(yīng)需求的數(shù)學(xué)模型，才是學(xué)生真正具有模型意識的具體體現(xiàn)。

例如，在六年級教材中多次出現(xiàn)“圓與正方形關(guān)系”的內(nèi)容，學(xué)生往往就題論題，沒有形成建模意識，若題目稍加變化就會顯得束手無策。如果嘗試用數(shù)學(xué)建模的思想來指導(dǎo)解決此類問題，就能引導(dǎo)學(xué)生進入到數(shù)學(xué)的一個新天地。

例1：（如圖1）從一個面積是12平方厘米的正方形紙板上剪下一個最大的圓，求圓的面積。

按常規(guī)思路，求圓的面積需要半徑長度，顯然這道題不具備這樣的條件，那么就要引導(dǎo)學(xué)生思考：在正方形中剪一個最大的圓，這個圓與正方形的面積有什么關(guān)系？

這時筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧探究圓面積公式的過程（如圖2），可以發(fā)現(xiàn)正方形的邊長即為圓的半徑，那么，圓的面積就是正方形面積的π倍。引導(dǎo)學(xué)生思考將圖1中大正方形平均分成4份（如圖3），那么圓的面積就是1/4個大正方形面積的π倍，也就是說在正方形紙中剪一個最大的圓，這個圓的面積就是這個正方形面積的π/4倍。所以，圓的面積就是12×π/4=9.42（平方厘米）。

接著出示例2：（如圖4）在圓中剪一個最大的正方形，正方形的面積是10平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

通常求解正方形的面積，我們是用邊長×邊長得到的，而此題只是告訴我們正方形的面積是10平方厘米，正方形的邊長是無法得知的，那就需要探尋此時正方形面積與圓的面積的關(guān)系。

學(xué)生受前面解題經(jīng)驗的影響，會設(shè)法將正方形進行改變，將正方形平均分成四個相等的等腰直角三角形（如圖5）。那么，兩個等腰直角三角形就可以拼成邊長為r的小正方形（圖5中虛線部分），就可以看出圓面積是這個小正方形面積的π倍，從而得出圓面積就是這個大正方形面積的π/2倍。所以，圓的面積就是10×π/2=15.7平方厘米。

總之，建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用。但是，學(xué)生在建模過程中一定會遇到諸多的困難，教師應(yīng)鼓勵他們敢于質(zhì)疑、猜想、發(fā)表自己獨特的見解，使建構(gòu)活動更為豐富多彩。

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