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(1.廣東工業(yè)大學 機電工程學院，廣東 廣州 510006；2.佛山諾威科技有限公司，廣東 佛山 528225)

0 引言

高孔隙率三維開孔微結構多孔鉭憑借其低彈性模量、通孔結構和良好的生物相容性等優(yōu)越特性，在骨生物醫(yī)療領域有著重要的應用前景[1]。而如何構造與人體骨骼彈性模量相近的多孔鉭模型，是多孔鉭應用于骨生物醫(yī)療領域的關鍵所在。若植入體彈性模量過大，會對骨組織產生應力屏蔽效應，影響骨組織的正常發(fā)育，因此需獲得不同孔隙率下鉭的彈性模量。近年來，許多學者和專家對多孔模型的力學性能做了大量的理論分析和數(shù)值計算模擬工作。Vander Burg等[2]建立以規(guī)則胞體結構為基礎的Voronoi隨機模型。由于Voronoi隨機模型可以較好的近似模擬實際微結構的三維空間結構，因此，大多數(shù)學者都是基于Voronoi隨機模型來研究多孔材料的力學性能[3-4]。探討了結構不規(guī)則的Voronoi隨機模型對彈性性能的影響。盧子興等[5]還利用隨機模型計算了拉伸變形過程中的應力—應變曲線。Li等[6]對具有不規(guī)則胞孔和不同壁厚的蜂窩材料進行了動態(tài)性能模擬研究。上述研究多數(shù)模擬空間閉胞單元，采用殼單元構成有限元模型進行數(shù)值分析。而實際多孔鉭微結構為開孔結構，由許多縱橫交錯的微桿件連接而成。

本文針對鉭微結構特點，采用三維Voronoi隨機分布模型，構造孔洞隨機分布且相互連通的微結構模型，其結構與多孔鉭微結構近似。微結構邊界桿并采用梁單元，能更加精確模擬受載后的微結構的變形情況。為獲得相同微結構下的不同孔隙率，在保持微結構單元中心不變的情況下，改變梁單元截面尺寸，調節(jié)模型的孔隙率。對不同孔隙率下的有限元模型進行準靜態(tài)載荷作用下的有限元模擬分析，辨識不同孔隙率下的多孔鉭與等效彈性模量之間的關系，并與實驗結果對比，驗證上述方法的精度。

1 模型的建立

1.1 多孔鉭微結構構造

多孔鉭微結構為三維開孔形態(tài)(圖1)，空間結構為許多縱橫桿件相互連接的形式，當制造工藝穩(wěn)定時，各桿件直徑大致相同。根據(jù)其結構特點，本文采用空間三維隨機Voronoi方法。通過隨機種子點(即孔洞)的分布，確定微結構形式[4]，原理圖如圖2所示。對比圖1和圖2兩組圖片可以看出兩者在三維空間結構上均為通孔連桿結構，且孔洞大小都是隨機分布，具有高度相似性。

圖1 多孔鉭微結構CT圖片 圖2 Voronoi構造模型

本文所采用工藝構造的多孔鉭模型是用孔密度為40ppi海綿作為多孔鉭3D打印的基體，并通過燒結獲得最終模型，且燒結后模型會有30%的收縮。且根據(jù)實驗數(shù)據(jù)結果得出，當模型邊長的孔洞結構數(shù)量超過6個，整體模型的彈性模量趨于穩(wěn)定。

結合Voronoi幾何空間結構的構造原理和現(xiàn)有多孔鉭的制作工藝。通過數(shù)學換算的關系推導出，利用Voronoi模型在5 mm×5 mm×5 mm的空間內隨機生成1423個種子，可以構造出跟實際多孔鉭接近的三維空間模型。

1.2 模型孔隙率計算

孔隙率，是指塊狀材料中孔隙體積與材料在自然狀態(tài)下總體積的百分比，是微孔材料的重要表征參數(shù)。在本文的研究中，根據(jù)模型的實際結構特點先計算模型的實體體積所占比率，從而確定模型的孔隙率。模型實體所占比例，可以根據(jù)單元邊的長度、及其直徑，計算獲得。根據(jù)模型的邊界長度、桿件總長以及梁單元截面半徑，可由式(1)計算出模型的孔隙率，式(2)可以根據(jù)給定孔隙率計算出對應梁單元所需設置的半徑。

(1)

(2)

其中，S為模型孔隙率；l桿為桿件的總長度，mm；r為桿件橫截面的半徑，mm；a為模型的邊長，mm。

圖3和圖4顯示了在同一微結構下改變模型內部桿件的半徑大小獲得不同孔隙率模型的對比圖。

圖3 孔隙率為60%的模型 圖4 孔隙率為90%的模型

1.3 等效彈性模量辨識

在生物骨修復體領域，修復體彈性模量必須跟骨組織的彈性模量接近，如若兩者相差較大(一般情況是修復體彈性模量遠大于骨組織彈性模量)，會產生應力屏蔽效應。使得骨組織受力減小，影響其正常生理環(huán)境，隨著時間的推移會引來骨組織病變，甚至脆斷等危險。所以辨識多孔模型的彈性模量顯得尤為重要。

圖5 彈性模量辨識原理圖

本文對應多孔模型彈性模量辨識原理為：在圖5所示的模型上表面施加正應力，測量模型上表面受力時向下的變形量。根據(jù)施加載荷、變形量以及模型結構尺寸，由(3)式計算等效彈性模量。

(3)

式中，E為模型等效彈性模量，Pa；FN為施加給模型的載荷力，N；L為模型的邊長，m；Δl為模型的形變量，m；A為模型的等效橫截面積，m2。

2 基于有限元仿真辨識

2.1 基體材料的設置

本文多孔鉭模型的微孔結構為40ppi，但是在微結構連桿上，仍然存在尺度更小的微孔(孔徑約為30 μm)。這些微孔使得鉭徑的彈性模量變小，根據(jù)鉭CT掃描灰度信息，可測得其彈性模量約為70 GPa。故本文將此多孔模型基體材料的彈性模量設為70 GPa，泊松比0.3。

2.2 邊界條件和載荷施加

圖6 邊界條件設置

在模型上表面中心位置取參考點，參考點與模型上表面設置接觸為耦合，限定模型底面節(jié)點的自由度。最后在模型參考點處施加載荷大小為3 N，方向垂直向下的力，如圖6所示。

2.3 仿真驗證與結果分析

2.3.1 ABAQUS有限元仿真結果數(shù)據(jù)

根據(jù)前面有限元仿真分析，記錄相同載荷不同孔隙率下模型的各項仿真結果數(shù)據(jù)。

圖7 模型孔隙率跟模型變形之間的關系圖

1)孔隙率與變形關系

隨著孔隙率增高，梁單元直徑尺寸變小，受力更易彎曲，體現(xiàn)在模型上就是同等載荷下模型的形變量會增加，且高孔隙率下模型的型變量會急劇增加，如圖7所示。

圖8 模型孔隙率跟彈性模型之間的關系圖

2)孔隙率與等效彈性模量關系

隨著孔隙率增高，梁單元直徑變小，受力更易變形。會使得模型的等效彈性模量減小，如圖8。

2.3.2 孔隙率與彈性模量關系辨識

不同微結構的多孔模型，彈性模量與孔隙率具有不同的辨識公式。如具有隨機結構的各種同向性閉孔泡沫材料，Christensen[7]已經給出了彈性模量預測公式。對14面體閉孔模型，Simone和Gibson[8]給出彈性模量擬合公式。Roberts和Garboczi[9]采用數(shù)字圖像技術建立實體模型，計算擬合的彈性模量公式。

本文根據(jù)實體模型的結構特點，選取Roberts和Garboczi[9]以及盧子星[10]對彈性模量的擬合公式，公式形式：

(4)

通過仿真數(shù)據(jù)回歸分析，計算得出：c=0.153，b=1.355代入公式得出模型孔隙率跟彈性模量關系為：

(5)

式中，s為模型孔隙率。

根據(jù)仿真結果以及公式的辨識結果，再對比試驗數(shù)據(jù)(表1)。給出三者隨孔隙率變化的關系圖，如圖9?？煽闯?，模型在中等孔隙率為55%～65%的時候三者數(shù)值基本吻合。

表1 孔隙率與彈性模量實驗數(shù)據(jù)

圖9 各數(shù)據(jù)對比結果

2.3.3 誤差分析

圖10 辨識公式與實驗結果的絕對誤差

通過2.3.2得出的模型孔隙率跟彈性模量之間的辨識關系式。給定不同孔隙率，利用公式算出模型對應的等效彈性模量。對比實驗結果跟公式辨識結果之間的絕對誤差如圖10?？梢钥闯?，在給定孔隙率為55%～65%實驗結果下，辨識公式與實驗結果的絕對誤差不超過0.23 GPa，跟實驗的結果基本一致，從而驗證了實驗結果的合理性。

3 討論

本文主要探討同一微結構下模型孔隙率跟等效彈性模量之間的關系。通過有限元力學分析，辨識不同孔隙率下多孔模型的等效彈性模量。通過對實驗結果數(shù)據(jù)的分析，驗證所辨識多孔模型等效彈性模量與孔隙率關系，與實驗結果一致。

通過分析比較實驗數(shù)據(jù)跟實際數(shù)據(jù)，此次研究結果發(fā)現(xiàn)模型在中等孔隙率的時候的辨識公式比較接近實際結果，可為多孔質模型的實體構造提供一定的科學依據(jù)。

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