柳 偉，余云燕，2

（1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 甘肅省軌道交通力學(xué)應(yīng)用工程實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730070）

樁基作為一種強(qiáng)度高、承載力大、穩(wěn)定性好、能適應(yīng)各種復(fù)雜地質(zhì)條件的深基礎(chǔ)形式，廣泛應(yīng)用于高層建筑、鐵路、橋梁、公路、港口碼頭等。其振動(dòng)特性一直是科學(xué)以及工程應(yīng)用中廣受關(guān)注的問題[1-3]。

張海順基于ANSYS分析了高架橋-地鐵站-樁-土相互作用復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的自振特性，樁土相互作用用黏彈性邊界單元模擬，需要考慮較多因素以至于過分理想化造成模型模擬失真[4]。周勇軍利用能量法推導(dǎo)了高墩連續(xù)剛構(gòu)橋縱向振動(dòng)基頻的計(jì)算公式，結(jié)果較準(zhǔn)確，但過多依賴規(guī)范，對(duì)于高階自振頻率的計(jì)算局限性更大[5]。Morfidis研究了三參數(shù)彈性地基上Timoshenko梁的振動(dòng)特性，但并未考慮實(shí)際工程中阻尼的影響[6]。彭麗等采用復(fù)模態(tài)方法求解了黏彈性三參數(shù)地基梁的橫向自振特性，得到的頻率方程以超越方程形式表達(dá)，在特征值分析時(shí)，需花費(fèi)更多的時(shí)間，且沒有分析衰減系數(shù)對(duì)自振特性的影響[7-8]。而波動(dòng)理論為解決上述問題提供了一條有效的途徑?；貍魃渚€矩陣法（Method of Reverberation-Ray Matrix，簡稱MRRM）由Pao等于1998年提出，用于分析在沖擊荷載作用下框架結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)波動(dòng)響應(yīng)，并通過實(shí)驗(yàn)得到了有效的驗(yàn)證[9]。截止目前，回傳射線矩陣法已成功應(yīng)用于空間桿系結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析中，這種方法具有明顯的高精度和低耗時(shí)，然而針對(duì)埋置結(jié)構(gòu)的自振特性研究工作還很少[10-12]。

本文將回傳射線矩陣法推廣至樁土系統(tǒng)的振動(dòng)分析中，運(yùn)用回傳射線矩陣法及求根法，求解樁頂固定并部分樁體埋入彈性地基中時(shí)樁的自振特性，并與有限元分析軟件SAP2000的計(jì)算結(jié)果比較，同時(shí)，分析了樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基中時(shí)土體彈簧系數(shù)及土體阻尼系數(shù)對(duì)樁基自振頻率和振型的影響。

1 問題的提出與求解

樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基中時(shí)樁-土的計(jì)算模型如圖1（a）所示，在推導(dǎo)過程中作出如下假定

（1）樁土相互接觸緊密，且土體變形已經(jīng)穩(wěn)定。

（2）樁基為有限長的彈性材料，其軸向位移為u(x,t)，撓度為v(x,t)=vb(x,t)+vs(x,t)，其中vb(x,t)是由彎矩引起的撓度，vs(x,t)是由剪力引起的撓度；樁基總長、埋置長度、外露長度分別為l、l12、l23；彈性模量、剪切模量、密度、橫截面面積、截面剪切系數(shù)、橫截面慣性矩分別為E、G、ρ、A、k'、Iz。

（3）基于Timoshenko梁理論的Winkler地基模型，樁側(cè)土對(duì)樁的縱向作用簡化為并聯(lián)的線性彈簧ku和線性黏滯阻尼器βu耦合；樁側(cè)土對(duì)樁的橫向作用簡化為并聯(lián)的線性彈簧kv和線性黏滯阻尼器βv耦合；樁底土對(duì)樁的豎向作用簡化為并聯(lián)的線性彈簧kt和線性黏滯阻尼器βt耦合。

建立整體坐標(biāo)系，將單樁基礎(chǔ)劃分為2個(gè)單元3個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)的編號(hào)如圖1（a），對(duì)單樁基礎(chǔ)的每個(gè)單元JK引入2個(gè)局部右手坐標(biāo)系(x,y)KJ和(x,y)JK,原點(diǎn)分別在節(jié)點(diǎn)J和節(jié)點(diǎn)K，如圖1（b）所示。

圖1 樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基時(shí)樁-土的計(jì)算模型及局部坐標(biāo)系

在局部坐標(biāo)系下，12、23單元中縱波、撓曲波方程可統(tǒng)一寫為

將式（1）、式（2）直接進(jìn)行Fourier變換并整理得

其中：C1為橫波波速，為縱波波速，

求解式（3）、式（4）得

總撓曲位移

式中：a1(ω)、a2(ω)、a3(ω)為待定的入射波波幅；d1(ω)、d2(ω)、d3(ω)為待定的出射波波幅；k1、k2、k3為波數(shù)，即

其中：當(dāng)j=1時(shí)，對(duì)應(yīng)23單元的波數(shù)；當(dāng)j=2時(shí)，對(duì)應(yīng)12單元的波數(shù)。

式中n=E/k′G。

軸力、剪力、彎矩和轉(zhuǎn)角在頻域中的表達(dá)式為

在頻域中，對(duì)所有節(jié)點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系下的力平衡和位移協(xié)調(diào)條件，經(jīng)過整理得

式中：aJ、dJ表示J點(diǎn)入射波和出射波波幅向量，SJ為節(jié)點(diǎn)J的局部散射矩陣，sJ為局部源矢量。

對(duì)于節(jié)點(diǎn)1、3只連接一個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)2連接兩個(gè)單元，故S1、S3是3階方陣，S2是6階方陣。

在整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系下，以頻域中節(jié)點(diǎn)2為例，如圖2所示。

列出節(jié)點(diǎn)2處的位移協(xié)調(diào)及力平衡條件

將式（11）代入式（9），整理合并為

圖2 節(jié)點(diǎn)2處的整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系

將所有節(jié)點(diǎn)的aJ、dJ、SJ、sJ組集到整體矩陣中，得到整體坐標(biāo)系下的整體散射矩陣S和整體源矢量s，即

結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)是指結(jié)構(gòu)受到擾動(dòng)離開平衡位置后不再受外力影響的振動(dòng)過程。因此，結(jié)構(gòu)在自振過程中，波源矩陣s=0，即

注意到，在同一桿件中，對(duì)一端而言的入射波和對(duì)另一端而言的出射波之間存在一相位關(guān)系。以縱波為例，從節(jié)點(diǎn)J來看，一個(gè)出射波由桿件JK的J點(diǎn)產(chǎn)生后，沿著該桿件向K點(diǎn)傳播，其表達(dá)式為

由桿件的節(jié)點(diǎn)K來看，此波屬于出射波,其表達(dá)式為

由局部坐標(biāo)系的定義可知，有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系

將式（16）代入式（14）、式（15），整理成廣義的形式為

lJK表示桿件JK的長度。

將向量aJk(ω)、dKJ(ω)組集到總體入射波波幅向量a和總體出射波波幅向量d中，有

由于與d只是各元素的相對(duì)位置有所變化，故引入U(xiǎn)，以調(diào)節(jié)中各元素在總體坐標(biāo)系中的相對(duì)位置，得

將式（18）代入式（13）可求解埋置結(jié)構(gòu)的自振特性方程為

其中：R=SPU，稱為回傳射線矩陣。

針對(duì)黏彈性地基，需考慮土體阻尼對(duì)振動(dòng)衰減作用，自振頻率為復(fù)數(shù)，且，在彈性地基中ω=ω(n)，其中ω(n)即為樁基的自振頻率，δ(n)為衰減系數(shù)。

d(ω)有非零解的條件為|I-R(ω)|=0 ，是關(guān)于ω的非線性復(fù)數(shù)超越方程。由線性代數(shù)理論可知

式中：det[I-R]表示矩陣[I-R]的模，adj[I-R]表示[I-R]的伴隨矩陣，E表示與[I-R]同階的單位矩陣。

則

在如圖（3）所示的極坐標(biāo)ρ-0-θ下 ，令，θ=arctan(δ(n)/ω(n))，由dρ和dθ組成的每個(gè)局域運(yùn)用迭代法（黃金搜索法和二分法[11]）進(jìn)行迭代求解，用二分法搜索出行列式實(shí)部和虛部變號(hào)的點(diǎn)，再用黃金分割法搜索行列式模的極小值點(diǎn)，adj|I-R(ω)|的每一個(gè)非零列可看做樁土系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)非零出射波幅向量d(ω)。當(dāng)行列式的模小于預(yù)先給定的誤差時(shí)，停止迭代，則結(jié)構(gòu)的自振頻率為ω(n)=ρcosθ，衰減系數(shù)為δ(n)=ρsinθ，通過式（18），可求得a(ω)，將a(ω)、d(ω)代入式（5）、式（8），可求出結(jié)構(gòu)在頻域里的軸向、橫向位移表達(dá)式，將位移歸一化，可求解樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基中時(shí)樁基的振型曲線。

令式（1）、式（2）中βuj=0 ，βvj=0 ，同理可求解樁頂固定并部分樁體埋入彈性地基中時(shí)樁的自振特性。

圖3 極坐標(biāo)搜索示意圖

2 數(shù)值結(jié)果與分析

樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基中時(shí)樁-土的計(jì)算模型如圖1（a）所示，樁土相互作用用并聯(lián)的彈簧和黏壺來模擬，樁底為黏彈性支撐，l12=6 m，l23=4 m ，Iz=8.33×10-2m4，泊 松 比μ=0.18，截面面積A=1 m2，彈性模量E=2.5×1010Pa，密度

2.1 樁頂固定并部分樁體埋入彈性地基中時(shí)樁的自振特性分析

樁土相互作用用彈簧模擬，參考文獻(xiàn)[13]中數(shù)值，取縱向彈簧系數(shù)，橫向彈簧系數(shù)，樁底彈簧系數(shù)。根據(jù)回傳射線矩陣法和黃金分割法及二分法，編寫計(jì)算任意階數(shù)的自振頻率和振動(dòng)模態(tài)的MATLAB程序，并與有限元商業(yè)軟件SAP2000將單樁離散為40個(gè)單元的分析結(jié)果對(duì)比，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 樁頂固定并部分樁體埋入彈性地基時(shí)樁的前8階自振頻率

結(jié)果表明，基于回傳射線矩陣法，用黃金分割法和二分法求解自振頻率所得結(jié)果與SAP2000的計(jì)算結(jié)果非常接近，其相對(duì)誤差控制在1%之內(nèi)，進(jìn)而驗(yàn)證了回傳射線矩陣法求解埋置結(jié)構(gòu)自振頻率的有效性和計(jì)算精度。

振動(dòng)模態(tài)如圖4所示，從振型圖對(duì)比可知，利用回傳射線矩陣法和有限元方法求解的模態(tài)結(jié)果吻合很好，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了利用回轉(zhuǎn)射線矩陣法分析埋置結(jié)構(gòu)自振特性的有效性。

圖4 樁頂固定并部分樁體埋入彈性地基中時(shí)樁的前8階模態(tài)

2.2 樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基中時(shí)樁的自振特性分析

樁土相互作用用并聯(lián)的彈簧和黏壺來模擬，參考文獻(xiàn)[13]中數(shù)值，3種工況下土體彈簧和土體阻尼對(duì)樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基中時(shí)土體的計(jì)算參數(shù)如表2所示。

表2 黏彈性地基中土體的計(jì)算參數(shù)

通過回傳射線矩陣法和求根法計(jì)算得到前8階自振頻率和衰減系數(shù)如表3、表4所示。

隨著階數(shù)的增大，結(jié)構(gòu)的自振頻率逐漸增大，衰減系數(shù)逐漸減小。工況1的各階自振頻率略大于工況2的各階自振頻率，尤其是第5階之后，隨著階數(shù)的增大，頻率值增大的幅度更明顯，說明隨著土體彈簧系數(shù)增大，結(jié)構(gòu)的各階自振頻率也增大，尤其是高階頻率值增長明顯。這一結(jié)果與文獻(xiàn)[7]的結(jié)論一致；工況1、工況2的各階衰減系數(shù)相等，說明土體彈簧系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的衰減系數(shù)沒有影響。工況1的各階自振頻率小于工況3的各階自振頻率，說明隨著土體阻尼系數(shù)減小，結(jié)構(gòu)的自振頻率增大，特別是低階自振頻率增長明顯；工況1的各階衰減系數(shù)遠(yuǎn)大于工況3的各階衰減系數(shù)，說明隨著土體阻尼系數(shù)減小，結(jié)構(gòu)的衰減系數(shù)減小。

表3 3種工況下樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基時(shí)樁的前8階自振頻率

表4 3種工況下樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基時(shí)樁的前8階衰減系數(shù)

圖5展示了3種工況下樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基中時(shí)樁基的振型曲線。隨著階數(shù)的增大，工況1、2的振型曲線基本一致，表明土體彈簧系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的振型有一定的影響，但影響較?。还r1、3的振型曲線表現(xiàn)為低階振型受土體的影響大于高階振型，隨著階數(shù)的增加，各振型曲線趨于重合，表明土體阻尼系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的低階振型影響尤為明顯，對(duì)高階振型的影響較小。

3 結(jié)語

將回傳射線矩陣法推廣至樁土系統(tǒng)的振動(dòng)分析中，求解了樁頂固定并部分樁體埋入彈性地基中時(shí)樁的自振特性，同時(shí)，分析了樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基中時(shí)土體彈簧系數(shù)及土體阻尼系數(shù)對(duì)樁基自振頻率和振型的影響。得出以下結(jié)論：

圖5 樁頂固定并部分樁體埋入黏彈性地基時(shí)樁的前8階模態(tài)

(1)應(yīng)用回傳射線矩陣法和有限元方法求解樁頂固定并部分樁體埋入彈性地基中時(shí)樁的自振頻率和振動(dòng)模態(tài)結(jié)果吻合很好，驗(yàn)證了利用回轉(zhuǎn)射線矩陣法分析埋置結(jié)構(gòu)自振特性的有效性和計(jì)算精度。

(2)隨著自振階數(shù)的增大，埋置結(jié)構(gòu)的自振頻率逐漸增大，衰減系數(shù)逐漸減小。

(3)隨著土體彈簧系數(shù)增大，埋置結(jié)構(gòu)的各階自振頻率增大，尤其是高階頻率值增長明顯，對(duì)衰減系數(shù)沒有影響，對(duì)埋置結(jié)構(gòu)的振型有一定的影響，但影響較小。

(4)隨著土體阻尼系數(shù)的減小，埋置結(jié)構(gòu)的各階自振頻率增大，特別是低階自振頻率增長明顯，衰減系數(shù)相應(yīng)減??；土體阻尼系數(shù)對(duì)埋置結(jié)構(gòu)的低階振型影響尤為明顯，對(duì)高階振型的影響較小。

(5)在實(shí)際工程中應(yīng)用回傳射線矩陣法時(shí)，只要輸入待定測試參數(shù)（楊氏模量、材料密度、埋置樁長、外露長度等），通過簡單的語言程序就可以求解埋置結(jié)構(gòu)的自振頻率和振動(dòng)模態(tài)，從而指導(dǎo)工程實(shí)踐。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙明華，楊晶，楊明輝.考慮樁土相互作用的變截面高墩自振頻率計(jì)算分析[J].巖石力學(xué)，2010，31(8)：2507-2518.

[2]陶磊，張俊發(fā)，陳厚群.考慮土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的冷卻塔地震響應(yīng)分析[J].振動(dòng)與沖擊，2016，35(23)：81-89.

[3]VAHID SHIRGIR,ALIGHANBARI,MOHSEN SHAHROUZI.Natural requency of single pier bridges considering soil-structure interaction[J].Journalof Earthquake Engineering,2016,20(6):611-632.

[4]張海順，姜忻良，張亞楠.高架橋-地鐵站-樁-土復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系地震反應(yīng)分析[J]. 工程力學(xué)，2013，30（Z）：53-58.

[5]周勇軍，張曉棟，宋一凡，等.高墩連續(xù)剛構(gòu)橋縱向振基頻的能量法計(jì)算公式[J].長安大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，33（3）：48-54.

[6]MORFIDIS K.Vibration of Timoshenko beams on threeparameter elastic foundation[J].Computers and Structures,2010,88:294-308.

[7]彭麗，丁虎，陳立群.黏彈性三參數(shù)地基梁橫向自由振動(dòng)[J]. 振動(dòng)與沖擊，2014，33(1)：101-105.

[8]彭麗，丁虎，陳立群.黏彈性三參數(shù)地基上Timoshenko梁橫向自由振動(dòng)[J]. 噪聲與振動(dòng)控制，2013，33（5）：107-111.

[9]PAO Y H,HEH D C,HOWARD S M.Dynamic response and wave propagation in plane trusses and frames[J].AIAAJournal,1999,37(5):594-603.

[10]郭永強(qiáng).回傳波射矩陣法的理論及其應(yīng)用[D].杭州：浙江大學(xué)，2008.

[11]繆馥星.框架振動(dòng)和瞬態(tài)響應(yīng)的回傳波射矩陣法研究[D].上海：上海交通大學(xué)，2009.

[12]李克磊，聶國華.基于回傳波射矩陣法的空間桿系結(jié)構(gòu)固有特性及結(jié)構(gòu)阻尼影響分析[J].力學(xué)季刊，2014，35(4)：578-588.

[13]KARGARNOVIN M H,YOUNESIAN D,THOMPSON D J,et al.Response of beams on nonlinear viscoelastic foundations to harmonic moving loads[J].Computers and Structures,2005,83(5):1865-1877.