張 洪，陳一鳴，王通德

（1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122；2.國(guó)網(wǎng)電力科學(xué)研究院 江蘇南瑞恒馳電氣裝備有限公司，江蘇 無(wú)錫 214161）

在柔性機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模中，采用拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程是最常用的方法之一。它將連桿視作有限自由度的系統(tǒng)，通過(guò)拉格朗日方程推算出動(dòng)力學(xué)方程[1]；國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此做了大量研究[1-10,13-15]。Matsuno等在拉格朗日方程的基礎(chǔ)上結(jié)合補(bǔ)充Hamilton原理進(jìn)行建模[2]；Spong在對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂建模時(shí)提出，將關(guān)節(jié)的柔性簡(jiǎn)化描述為一個(gè)線性的彈黃，其產(chǎn)生的彈性力與關(guān)節(jié)的柔性變形形成相應(yīng)的線性關(guān)系，并且彈簧的比例系數(shù)為關(guān)節(jié)的彈性系數(shù)[4-6]；Bridges等對(duì)Spong模型進(jìn)行了補(bǔ)充與完善，考慮了非線性與外界不確定干擾等影響因素，建立更為準(zhǔn)確的關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型[7]。但是上述研究都比較片面，沒(méi)有考慮連桿柔性、關(guān)節(jié)柔性與電機(jī)電壓繞組特性之間的耦合特性，模型缺乏統(tǒng)一性與通用性。

本文首先引入耗散能[8]描述軸承間黏性阻尼，引入關(guān)節(jié)等效形變描述彈簧勢(shì)能，對(duì)柔性關(guān)節(jié)進(jìn)行建模；同時(shí)將連桿簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，采用模態(tài)假設(shè)法描述連桿柔性，將物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)，并通過(guò)拉格朗日方程建立動(dòng)力學(xué)方程；編寫4階5級(jí)定步長(zhǎng)Runge-Kutta算法程序，對(duì)模型進(jìn)行仿真求解，計(jì)算出不同情況下，連桿末端軸向、徑向形變與關(guān)節(jié)等效變形來(lái)論證引入電機(jī)繞組電壓的必要性，對(duì)比分析電機(jī)繞組電壓、關(guān)節(jié)柔性、連桿柔性間的耦合關(guān)系。

1 動(dòng)力學(xué)建模

本文在Spong模型基礎(chǔ)上，綜合考慮了關(guān)節(jié)間的摩擦、彈簧的非線性以及電機(jī)轉(zhuǎn)子的耦合影響，建立如圖1所示的物理模型，它由直流電機(jī)、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、摩擦阻尼、非線性彈簧、連接法蘭和連桿組成。

圖1 柔性關(guān)節(jié)物理學(xué)模型

1.1 柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型

電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)角為qm，經(jīng)過(guò)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)（傳動(dòng)比為N）輸出的剛體名義轉(zhuǎn)角為qn。將傳送軸等效為扭轉(zhuǎn)彈簧模型，輸出的角度為θ。關(guān)節(jié)等效形變即表示為

關(guān)節(jié)形變使非線性彈簧產(chǎn)生的勢(shì)能為

式中：K1、K2分別代表等效扭轉(zhuǎn)彈簧的線性彈性系數(shù)和非線性彈性系數(shù)。電機(jī)動(dòng)能可以表示為

式中：Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣。法蘭動(dòng)能表示為

式中：Jh是電機(jī)軸連接法蘭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因此，關(guān)節(jié)動(dòng)能可以表示為

考慮到除了受到有勢(shì)力作用之外，還有黏滯阻尼的作用，稱之為耗散能，則電機(jī)耗散能表示為

式中：Bm為電機(jī)軸承阻尼矩陣。法蘭耗散能則表示為

式中：fL為與電機(jī)軸連接法蘭相關(guān)的靜態(tài)動(dòng)態(tài)摩擦系數(shù)矩陣。因此，關(guān)節(jié)耗散能則表示為

綜合耗散能的拉格朗日方程表達(dá)式為

式中：T為系統(tǒng)動(dòng)能，V為系統(tǒng)勢(shì)能，D為系統(tǒng)耗散能，QF為廣義力。

取廣義坐標(biāo)變量q=(qm,θ)T，將式(2)、式(5)和式(8)代入式(9)，可得柔性關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：u為電機(jī)電流驅(qū)動(dòng)力矩；Twg、Tfs為驅(qū)動(dòng)電機(jī)與連桿間的耦合力矩向量，其表達(dá)式如下

1.2 柔性桿動(dòng)力學(xué)模型

選取柔性連桿截面為矩形，各變量定義如圖2所示。

圖2 柔性連桿懸臂梁模型

在電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)軸法蘭中心處O建立慣性坐標(biāo)系Oxy，連桿初始方向?yàn)閄軸。圖中θ是虛擬剛性臂的旋轉(zhuǎn)角度，M1是柔性連桿的質(zhì)量，V1、V2分別是連桿相對(duì)于虛擬剛性臂的軸向振動(dòng)和連桿與虛擬剛性臂的徑向振動(dòng)，wc是連桿的徑向振動(dòng)V1引起的軸向伸縮量。L是連桿長(zhǎng)度，d是連桿上點(diǎn)到關(guān)節(jié)距離。連桿上的任意點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系Oxy下的坐標(biāo)為

式中：耦合變形量wc的表達(dá)式為

將式(13)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得到該點(diǎn)的速度分量為

采用假設(shè)模態(tài)法描述柔性桿的變形，其表達(dá)式為

式中：φx(x) 、φy(x)分別為梁的軸向振動(dòng)和徑向振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)的行矢量，A(t)、B(t)分別為軸向振動(dòng)和徑向振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)矢量。由此可得柔性連桿的動(dòng)能表達(dá)式為

式中：ρ是連桿密度，S是連桿橫截面積。不計(jì)重力勢(shì)能，柔性連桿和連接法蘭勢(shì)能可以表示為

式中：Iz為連桿截面慣性矩。取廣義坐標(biāo)變量q=(θ、AT、BT)T，將式(18)和式(19)代入式(10)，可得柔性連桿的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：M′為柔性連桿廣義質(zhì)量矩陣。考慮到wc是徑向變形V2的2階小量，因此可以舍去與wc相關(guān)的高階小量。得到系統(tǒng)的一次近似剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，表達(dá)式為

式中：M23、M32、K11、K12、K13、K21、K22、K31、K33、C11、C12、C13、C21、C23、C31、C32、Q3等值皆為0或0矩陣。fs為空氣阻力，其表達(dá)式為

式中：k為比例系數(shù)，一般與空氣密度有關(guān)；S1為桿件與空氣接觸面積。

1.3 系統(tǒng)綜合動(dòng)力學(xué)方程

綜合關(guān)節(jié)柔性與連桿柔性本質(zhì)上就是動(dòng)能、勢(shì)能與耗散能的疊加與廣義力的合并，因此，聯(lián)立式(10)和式(21)可得

式(32)為柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿綜合動(dòng)力學(xué)方程，其中電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩u表達(dá)式為

式中：M為電機(jī)力矩矩陣；I為電流向量。由式(33)可以看出，電流I和電機(jī)力矩矩陣M的大小會(huì)對(duì)動(dòng)力學(xué)方程產(chǎn)生影響。因此，在對(duì)系統(tǒng)做動(dòng)力學(xué)建模時(shí)候，必須要考慮電流I與柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿的耦合作用。將電壓繞組方程與式(34)聯(lián)立求解，即可得出系統(tǒng)的綜合動(dòng)力學(xué)方程。電壓繞組方程為[10-11]

式中：L、R、Kb分別代表電機(jī)的電感、電阻和反電動(dòng)勢(shì)矩陣；V代表輸入的電壓。因此，系統(tǒng)的綜合動(dòng)力學(xué)方程為

2 仿真分析

柔性機(jī)械臂取為細(xì)長(zhǎng)的鋁材質(zhì)桿，機(jī)械臂物理參數(shù)：桿長(zhǎng)為1 m，密度為2.77×103kg?m-3，彈性模量為6.9×1011Pa，截面慣性矩為3.0×10-10m4，截面積為4×10-4m2；機(jī)械臂機(jī)構(gòu)參數(shù)：電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.001 N?m?rad-1，法蘭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.174 N?m?rad-1，剛度系數(shù)K1為560 N?rad，K2為1.1×104N?rad3，軸承摩擦系數(shù)為0.005；電機(jī)電氣參數(shù)：電壓為12 V，電感為0.04 H，電阻為5 Ω，反動(dòng)電勢(shì)為0.002 V?(rad·s-1)-1。

利用MATLAB 4階5級(jí)定步長(zhǎng)Runge-Kutta算法，對(duì)拉格朗日方程進(jìn)行變換求解，假設(shè)初始無(wú)變形[12]，且，仿真時(shí)間為3 s，運(yùn)動(dòng)控制律為

本文分別根據(jù)連桿柔性（形變1）、關(guān)節(jié)和連桿柔性（形變2）、電機(jī)特性與關(guān)節(jié)及連桿柔性（形變3）3種情況來(lái)分析連桿末端形變的異同。

如圖3所示，桿件末端徑向的形變幅值呈現(xiàn)出周期性逐漸減小趨勢(shì)，其周期逐漸減少。當(dāng)僅考慮連桿柔性時(shí)幅值最大；考慮關(guān)節(jié)柔性時(shí)，由于一部分能量轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)等效彈簧勢(shì)能，因此幅值有所降低并且彈簧形變滯后性引起了相位的滯后；當(dāng)綜合考慮桿件、關(guān)節(jié)柔性與電機(jī)特性時(shí)，在電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度與電流的耦合作用下，幅值進(jìn)一步降低，當(dāng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩消失后，與形變2基本保持一致。

圖3 三種情況下桿件末端徑向形變對(duì)比

從圖4中可以看出，軌跡1因未考慮關(guān)節(jié)和電機(jī)影響，其軌跡振幅較大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離其他兩種軌跡，而軌跡2、軌跡3因電機(jī)因素干擾有所差別，因此考慮電機(jī)繞組特性是必要的。

由圖5、圖6可知，當(dāng)傳動(dòng)比越大，引起的連桿末端形變?cè)酱?，并且周期也隨之增大；在連桿上距原點(diǎn)d處增加附加重量，距離d越大，引起的連桿末端形變?cè)酱?，并且幅值衰減越慢，震蕩周期越長(zhǎng)，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。

圖4 3種情況下機(jī)械臂末端軌跡對(duì)比

圖5 不同傳動(dòng)比下連桿末端形變對(duì)比

圖6 不同距離附加重量工況下連桿末端形變對(duì)比

3 結(jié)語(yǔ)

基于拉格朗日原理建立了綜合考慮電機(jī)特性與關(guān)節(jié)、連桿柔性的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，并通過(guò)模態(tài)假設(shè)法簡(jiǎn)化方程。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可得：僅考慮連桿柔性時(shí)，模型不夠精確，并且誤差很大，當(dāng)綜合考慮電機(jī)特性和關(guān)節(jié)柔性時(shí)，其結(jié)果更為精確，證明了考慮電機(jī)特性和關(guān)節(jié)柔性在動(dòng)力學(xué)建模中的必要性，并且得出了傳動(dòng)比N和距離d對(duì)連桿末端振動(dòng)的影響規(guī)律，為以后的優(yōu)化工作提供理論基礎(chǔ)。

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