勾明志，張 海

作為經(jīng)典微積分的一種推廣，分?jǐn)?shù)階微積分即是函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)與積分。由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子具有記憶和遺傳的特殊性質(zhì)，利用分?jǐn)?shù)微積分比整數(shù)階微積分更能精準(zhǔn)地描述動態(tài)系統(tǒng)的過程，目前與分?jǐn)?shù)階有關(guān)的常微分方程的研究已成為國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點問題[1-5]。時滯是普遍存在的現(xiàn)象，時滯問題往往會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定程度和性能。近年來，關(guān)于時滯的分?jǐn)?shù)階微分方程的研究也取得了進(jìn)展[6-7]。文獻(xiàn)[6]利用不動點定理的方法推導(dǎo)出非線性分?jǐn)?shù)階泛函微分方程解的存在性條件，對整數(shù)階常微分方程和泛函微分方程的初值問題進(jìn)行了相應(yīng)推廣。在文獻(xiàn)[7]中，Benchohra等討論了下列隱式分?jǐn)?shù)階泛函微分方程可積解的存在性，

其中 0＜α＜1,f:J×B×B→R ，CDαy(t)表示 y的Caputo型α階導(dǎo)數(shù)，B為拓?fù)淇臻g，

受文獻(xiàn)[6-7]的啟發(fā)，本文主要討論一類更廣泛的具有無窮時滯的隱式分?jǐn)?shù)階泛函微分方程可積解的存在性問題：

其中0＜β≤α＜1，f:J×B×B→R，CDαy(t)表示y的Caputo型α階導(dǎo)數(shù)，B為拓?fù)淇臻g，yt(θ)=y(t+θ),θ∈(-∞,0]。方程(2)中同時具有兩個不同的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)，運用分析技巧，分別利用Banach不動點定理和Schauder不動點定理獲得可積解的存在性條件，推廣了文獻(xiàn)[7]中的相應(yīng)結(jié)果。

下面介紹分?jǐn)?shù)微積分的概念和引理。

定義在區(qū)間J上的所有連續(xù)函數(shù)的Banach空間記為C(J,R)且范數(shù)定義為

令L1(J,R)記作區(qū)間在J上的Lebesgue可積函數(shù)且范數(shù)定義為‖u=∫T| u(t)|dt。0

定義1[3]設(shè) f∈L1( )[ ]a,b,R+，對?α∈R+稱

為 f(t)的 α 階分?jǐn)?shù)積分，其中 Γ(·)為Gamma函數(shù)Γ(z)=∫0+∞e-ttz-1dt,z＞ 0 。

定義2[3]設(shè) f∈L1([ a ,b],R+)，對?α∈(0 ,1]稱

為 f(t)的α階Caputo型分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)。

性質(zhì)1[3]令α,β＞0，t≥0，有如下性質(zhì)成立：

(1) 令I(lǐng)α:L1(J , R+)→L1(J , R+)，如果 f∈L1(J ,R+)有

(2)如果 f∈Lp( )J,R+,1≤p≤+∞，有

(3)分?jǐn)?shù)階積分算子具有線性性質(zhì)

引理1[8]（Banach不動點定理）設(shè)(x,ρ)是一個完備的距離空間，T是(x,ρ)到其自身的一個壓縮映射，則T在x上存在唯一的不動點。

引理2[7]（Schauder不動點定理）設(shè)E是一個Banach空間，Q是E的一個凸子集，T:Q→Q是列緊且連續(xù)，則T在Q上至少有一個不動點。

引理3[9]如果，0＜α＜1，則

引理4[7](Kolmogorov列緊準(zhǔn)則）令Ω?Lp(J,R),1≤p≤+∞，如果

(1)Ω在Lp(J,R)上有界；

(2)當(dāng)h→0時，uh一致收斂于u，u∈Ω，其中，則 Ω 在 Lp上是相對列緊的。

引理5[10]設(shè)0＜α＜1,y(t)∈C([ 0 , T])且f(t , y(t))∈C([ 0 , T]×C[0 ,T ] )，則y是分?jǐn)?shù)積分方程

的解，當(dāng)且僅當(dāng)y為分?jǐn)?shù)微分方程初值問題

的解。

現(xiàn)在來定義方程(2)的積分等價方程。令空間

引理6滿足初值問題(2)的等價分?jǐn)?shù)階積分方程為

和初始條件

證明 顯然，根據(jù)引理5，可得滿足初值問題(2)的等價積分方程為

和初始條件

令CDαyt=xt，可得

接下來計算

運用性質(zhì)1可得

運用引理3可得

把(7)式和(9)式代入(6a)可得到(5a)。

在文中作(A)和(B)兩項假設(shè)。

(A1)如果y:(- ∞,T ]→R且 y0∈B，則對?t∈J滿足下列條件：

(1)yt在B中，

(3) ||y()t≤H‖‖ytB，

其中H≥0的常數(shù)，K:J→[0 ,+∞ )為連續(xù)函數(shù)，M:[0 ,+∞ )→[0 ,+∞ )為局部有界函數(shù)，H，K，M，不依賴于y(·)。

(A2)對于函數(shù)y(·)在(A1)上，yt是一個在J上Banach空間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

(A3)空間B是完備空間。

(B)假設(shè)：f:J×B2→R，t∈J，且滿足下列基本性質(zhì)：

(B1)f:J×B2→R ，t∈J可測，在 t∈J中對任意的(u1,u2)∈B2且對所有的(u1,u2)∈B2連續(xù)。

(B2)存在常數(shù)k1＞0，k2＞0使得不等式

成立，其中 t∈J ，對 ?x,xˉ,y,yˉ∈B 。還需令 Kb=sup{| k (t)|:t∈J} 。

(B3)存在一個非負(fù)函數(shù)a(t)∈L1(J)和常數(shù)q1＞0，q2＞0，使得下列不等式成立

下面介紹本文的主要結(jié)果與證明過程。

分別運用Banach和Schauder兩種不動點推導(dǎo)方程(2)解的存在性條件。首先利用Banach不動點討論解的存在性。

定理 1 滿足假設(shè)(A1)～(A3)，(B1)，(B2)，若＜1，則初值問題(2)在區(qū)間( ]-∞,T上存在唯一解。

證明 方程(2)可轉(zhuǎn)化成不動點問題。定義算子N:Ω→Ω如下

用Banach不動點定理來證明算子N有唯一不動點，令x(·):(- ∞,T ]→R定義為如下函數(shù)

則x0=φ ；對于z∈L1(J ,R)，且z(0)=0 ，定義 zˉ為

如果y()·滿足分?jǐn)?shù)積分方程

和初始條件y(t)=φ(t )，t∈(- ∞,0] ，則 y(t)=x(t)+zˉ(t)，t∈[0 , T]，可知對于每個t∈[0 , T ]，有 yt=xt+zˉt，則z(·)滿足方程

令L0={z ∈L1(J ,R):z0=0} 和 ‖· ‖b是在L0上的半范數(shù)，定義為

L0為Banach空間其范數(shù)為‖·‖b，定義算子Q:L0→L0為

算子N有不動點就轉(zhuǎn)化成了算子Q有不動點，即要證的是Q:L0→L0是壓縮映射。

考察 z,z?∈L0，對?t∈，

其次用Schauder不動點來獲得解的存在性結(jié)果。

定理 2 滿足假設(shè)(A1)～(A3)，(B1)，(B3)，若，則滿足初值問題(2)的方程至少有一個解，其中y∈L1( )J,R。

證明 令P:L0→L0為定義在(5)中的映射

其中Mb=sup{| M (t)|:t∈J} 。

令Br={z∈L0,‖‖zb≤r}，顯然Br是非空、有界、凸閉集合。只需驗證算子P滿足Schauder不動點定理的條件，此證明過程分為3步。

（i）P是連續(xù)映射。

令zn為L0上的zn→z的函數(shù)列，則

因為 f為連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)n→+∞時

（ii）P是Br到其自身的映射。

令z∈Br。 f是一個連續(xù)函數(shù)，對于?t∈[ ]0,T，有

可得 ‖(P z) ‖L1≤r，即 PBr?Br。

（iii）P是列緊的。

PBr是相對列緊的，顯然PBr在L0上是有界的，即滿足Kolmogorov列緊準(zhǔn)則中的條件(1)。下面證明有關(guān)Kolmogorov列緊準(zhǔn)則中條件(2)。

在 L0中對?z∈Br，有

當(dāng) z∈Br?L0和假設(shè)(B3)成立，即 f∈L0，通過性質(zhì)1可得 Iαf∈L1(J,R)，有當(dāng)h→0，t∈J時，

故(P z)h一致收斂于(P z)。

根據(jù)Kolmogorov列緊準(zhǔn)則，PBr是相對列緊。由Schauder不動點定理，可知此映射至少有一個不動點，因而滿足

的方程(2)在Br中至少有一個解。

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