孫 瑜，顧海波＊，張艷輝，王仁正

（1.新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017；2.巴楚縣第二中學(xué)，新疆 巴楚 843800）

文章考慮帶有初值條件類型的Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程：

其中是Hilfer分?jǐn)?shù)階微分算子，f∶R+×R→R是給定的連續(xù)函數(shù)是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分。

分?jǐn)?shù)階微積分也被稱為廣義或任意階微積分，主要是針對任意階微分方程進(jìn)行積分和導(dǎo)數(shù)相關(guān)理論及應(yīng)用的研究。分?jǐn)?shù)階微積分在科學(xué)和工程等多種領(lǐng)域得到實(shí)踐應(yīng)用，在控制、系統(tǒng)與信號處理方面尤為突出。

幾個(gè)世紀(jì)以來，研究者已經(jīng)對整數(shù)階微分方程有了深入的探索，并建立了極為系統(tǒng)和嚴(yán)密的理論體系。相對于整數(shù)階微分方程的研究，分?jǐn)?shù)階微分方程相關(guān)理論的研究發(fā)展緩慢。然而，近些年來隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在眾多領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)踐，方程模型大量涌出，研究者依據(jù)整數(shù)階微分方程的研究思路和方法，對分?jǐn)?shù)階微分方程有了更為深入的探究。

因此，文章研究了Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程解的延拓性，全文由三個(gè)部分組成。第一部分列出文章中所需要的定理、引理、注記。第二部分中應(yīng)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，證明解的局部存在性。第三部分，延續(xù)了經(jīng)典微分方程連續(xù)性定理的研究思想和方法，進(jìn)一步討論Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題延拓定理及分?jǐn)?shù)階微分方程解的全局存在性。

1 預(yù)備知識

本章列出一些有用的定義、引理、定理等。

設(shè)-∞＜a＜b＜∞，且C[a,b]、AC[a,b]和Cn[a,b]是連續(xù)空間，則分?jǐn)?shù)階微分方程在[a,b]上是n次連續(xù)的。

定義1.1 令α∈(0,1)且f(t)在[]a,b是可積的，Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

如果 f(t)∈C[a,b]，Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

定義1.2 函數(shù)f(x)的Hilfer分?jǐn)?shù)階微積分定義為

注1.3［1］β=0和β=1時(shí)，Hilfer導(dǎo)數(shù)分別為Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。

注1.5 設(shè)C[a,b]是所有連續(xù)函數(shù)定義在[a,b]的Banach空間。規(guī)定設(shè) C1-γ[]a,b其中γ∈(0,1]，規(guī)定易證明C1-γ[]a,b也是一個(gè)Banach空間。

引理1.6［3］設(shè)g∈C[c , b]且g在C上是連續(xù)的，則

引理1.7［5］設(shè)α＞0, β＞0，

引理1.8［12］［列緊集］令U是[0 , T]上的一個(gè)子集，則U是列緊集當(dāng)且僅當(dāng)：

（i）{x1-γy(x):y∈U}是一致有界；

（ii）{x1-γy(x):y∈ U}在[0，T]上是等度連續(xù)的。

定理1.9［18］［Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理］令U是Banach空間X上的一個(gè)閉的、凸的、非空的子集，若T：U→U是一個(gè)完全連續(xù)映射，則T在U上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

定理 1.10［12］設(shè) f是定義在(a,b] ×R→R上的函數(shù),對任意y∈[a,b] 有 f(·,y(·))∈[a , b],則y∈[a,b]是方程（1）的解當(dāng)且僅當(dāng)y滿足下列混合積分方程

其中Γ(·)是伽馬函數(shù)。

2 分?jǐn)?shù)階微分方程解的局部存在性研究

在有些情況下，函數(shù)f(x,y(x))存在奇異性，本節(jié)應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理，得到一個(gè)方程（1）新的解的局部存在性定理。

為了方便起見，先列出下列的假設(shè)：

（H）設(shè)方程（1）中的 f∶R+×R→R是連續(xù)函數(shù)，且存在一個(gè)常數(shù)0≤γ＜1，使得(By)(x)=xσf(x,y(x))是從C1-γ[0，X]到C[0，X]上的一個(gè)連續(xù)有界映射，其中X是一個(gè)正數(shù)。

定理2.1 假設(shè)條件（H）成立，則對于取定0＜h＜X，方程（1）至少有一個(gè)解y∈C1-γ[0 , h].

證明：設(shè)

此時(shí)算子B是有界的，這里存在一個(gè)常數(shù)M，使得

再設(shè)

顯然可知，Dh是一個(gè)非空、有界緊的凸子集。

一方面，h≤X，把Dh和C1-γ[0，h] 視為E和C1-γ[0，X]的約束條件。

特別地，對算子作如下定義：

由（H）和引理可知T(C1-γ[0，h] )?C1-γ[0，h].

另一方面，由（3）式知，對任意x∈C1-γ[0，h]，有

其中，則可得到TDh?Dh,即T是Dh→Dh上的一個(gè)映射。接下來證明T是一個(gè)完全連續(xù)映射，共分為兩個(gè)步驟完成。

步驟1 證明算子T是連續(xù)的。

設(shè)yn,，則

由B的連續(xù)性，可知，所以當(dāng)n→∞時(shí)，由此可得T是連續(xù)的。

步驟2 證明算子T是等度連續(xù)的。

令y∈Dh且0≤x1＜x2≤h，對任意ε＞0,當(dāng)x→0+，有

這里存在一個(gè)0＜σ1＜h，使得對于x∈[0 , σ1]

在這種情況下，對任意x1,x2∈[0 , σ1]，可得

對于0≤s＜η1，有

另一方面

因?yàn)門Dh?Dh，所以{x1-γ(Ty)(x):y∈Dh}是一致有界的，由引理可知，TDh是準(zhǔn)緊的，因?yàn)門是等度連續(xù)的，由不動(dòng)點(diǎn)定理和引理，方程（1）存在局部解，證畢。

3 分?jǐn)?shù)階微分方程解的延拓定理研究

本章研究方程（1）解的延拓，進(jìn)一步討論解的全局存在定理。嘗試從普通微分方程入手，研究分?jǐn)?shù)階微分方程的延拓定理。

3.1 初值問題解的延拓定理Ι

首先，給出以下定義。

定義3.1.1 令定義在（0，λ）上的y(x)和定義在（0，）上的)都是方程（1）的解，如果，則對任意x∈(0,λ)有y(x)))是y(x)的延拓，或者說y(x)能延拓到（0，）上。方程解y(x)的不可延拓區(qū)間稱為y(x)的最大存在區(qū)間。

為了得到初值問題的延拓定理，應(yīng)該知道以下引理。

引理3.1.2 設(shè)0＜γ≤1,λ＞0,h＞0,0≤σ＜1，則

在[λ，λ+h]是連續(xù)的。

現(xiàn)在，在上述條件下給出下列定理。

定理3.1.3 （初值問題解的延拓定理Ι）假設(shè)（H）的條件已經(jīng)滿足，則y=y(x)在x∈(0,λ)上是不可延拓的充要條件是：對某些τ∈和任意有界閉子集D?[τ,+∞)×R，存在一個(gè)∈[τ,λ)，使得

證明：“?”反證法

假設(shè)y=y(x)是可延拓的，則方程（1）存在定義在(0)(上的一個(gè)解，則對 x∈(0,λ)，使得y(x)=yˉ(x)，即，定義y(λ))，顯然可知是[τ，∞)×R上的緊子集，然而，不存在^∈[τ,λ) ,使得()?A，故反面成立，即y(x)是不可延拓的。

“?”不可延拓證明過程分為兩步。

假設(shè)存在一個(gè)緊子集D?[τ,+∞)×R，使得{(x,y(x)):x∈[τ,λ) } ?D在D上是緊致的，其中λ＜+∞，由（H）

知，這里存在一個(gè)N＞0，使得

構(gòu)造算子：

和

容易看出Q(s,x)和P(x)在[2τ,λ]×[2τ,λ] 和[2τ,λ]上是一致連續(xù)的。

對于?x1,x2∈[2τ,λ)，x1＜x2，有

由Q(s,x)的一致連續(xù)性和P(x)的柯西收斂準(zhǔn)則，使得存在。

步驟2 證明y(x)是連續(xù)的。

定義算子

此時(shí)，y∈C[λ,λ+1]由引理可知Z(C[λ，λ+1])?C[λ，λ+1].

其中，得到(Zy)(x)在Dh是完全連續(xù)的。

由于對任意y∈ Dh，有(Zy)(λ)=y1(λ)和

因此ZDh?Dh.接下來要證明Z是一個(gè)完全連續(xù)映射，證明過程共分為兩步完成。

（1）證明算子Z是連續(xù)的。

由于f在Dh上的連續(xù)性，當(dāng)n→0，有，因此，當(dāng)n→∞時(shí)。由此可得Z是連續(xù)的。

（2）證明ZDh是等度連續(xù)的。

由引理知道S(x)在[λ，λ+h]上是連續(xù)的，對?y∈Dh,λ≤x1≤x2≤λ+h.則有

由于S(x)在[λ，λ+h]上是一致連續(xù)的，可得{(Zy)(x)∶y∈Dh}是等度連續(xù)的,因此，Z是完全連續(xù)的映射。由不動(dòng)點(diǎn)定理，Z有不動(dòng)點(diǎn).

此時(shí)

3.2 初值問題解的延拓定理Ⅱ

定理3.2（初值問題解的延拓定理Ⅱ）

假設(shè)（H）的條件已滿足，則y=y(x)在x∈（0，λ）不可延拓的充要條件是.其 中

證明：“?”反證法證明

“?”反證法證明

由于{y(xn)}的有界性，{y(xn)}有一個(gè)收斂數(shù)列，具有普遍性。

令

可得

對任意給定的ε＞0，存在X∈(0,λ)，使得| y (x)-y?|＜ε,x∈(X，λ) .

＞τ，對于n≥n0，有

此處的P(x)在定理3.1.3的證明中已定義。

由于P(x)在[xn0,λ]上的連續(xù)性，則對足夠大的n≥n0，有

應(yīng)用定理3.2中不可延拓的充要條件，能夠快速得到方程（1）解的全局存在性相關(guān)推論.

推論3.3（分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的全局存在性定理）假定如果條件（H）成立，令y(x)是方程（1）在(0,λ)上的一個(gè)解，如果對取定τ＞0，y(x)定義在[τ，λ)上是有界的，則λ=+∞。

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