梁天添，王 茂

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001）

廣義系統(tǒng)，又稱描述系統(tǒng)或奇異系統(tǒng)，首先由著名學(xué)者H. H. Rosenbrock于20世紀(jì)70年代提出[1]，該系統(tǒng)的顯著特征是在系統(tǒng)動態(tài)空間方程中可能存在奇異矩陣E。對于一些實(shí)際系統(tǒng)，諸如電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[2]、約束機(jī)械系統(tǒng)[3]、飛行器模型系統(tǒng)[4-5]，由于廣義系統(tǒng)比空間描述方法具有更好的表述特性，該系統(tǒng)模型已得到越來越多的關(guān)注。針對廣義系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題，先前的學(xué)者研究提出了諸如觀測器設(shè)計(jì)等的有效解決方法[6-11]。但對于實(shí)際系統(tǒng)而言，噪聲的存在是一個(gè)不可避免的挑戰(zhàn)性問題。由于眾所周知的原因，卡爾曼濾波方法能夠有效解決有噪聲系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題。但當(dāng)系統(tǒng)量測發(fā)生異常時(shí)，卡爾曼濾波誤差協(xié)方差矩陣可能發(fā)生變化，導(dǎo)致狀態(tài)估計(jì)值與動態(tài)模型值產(chǎn)生較大偏差。目前，針對量測丟失情況下的廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題，現(xiàn)有解決方法仍然較少，本文正是基于該背景提出了一種研究方法。

基于卡爾曼濾波的有噪聲廣義系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題，已有的研究工作能夠保證該方法在廣義系統(tǒng)上的可行性[12-17]。對于一般的廣義系統(tǒng)模型，文獻(xiàn)[12]提出了一種“雙重方法”（dual approach），以推導(dǎo)出最優(yōu)濾波器和相應(yīng)的Riccati方程的“3塊”（3-block）形式。文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步提出基于遞歸重構(gòu)算法的離散時(shí)間廣義系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)方法，該方法通過將估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為未來動態(tài)模型不影響當(dāng)前狀態(tài)的新的估計(jì)問題以實(shí)現(xiàn)一般離散時(shí)間廣義系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)。文獻(xiàn)[14]針對衛(wèi)星姿態(tài)控制模型執(zhí)行器故障診斷問題，設(shè)計(jì)了故障診斷廣義卡爾曼濾波器，具體做法為：將衛(wèi)星執(zhí)行器故障視為增廣廣義系統(tǒng)中新增狀態(tài)向量，并設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器觀測其狀態(tài)，其實(shí)質(zhì)仍是廣義系統(tǒng)的卡爾曼濾波問題。文獻(xiàn)[15]基于H∞濾波，針對含有未知輸入的矩形廣義系統(tǒng)（rectangular descriptor systems）設(shè)計(jì)了H∞廣義卡爾曼觀測器(HDKE)。文獻(xiàn)[16]針對含有未知噪聲協(xié)防差的廣義系統(tǒng)設(shè)計(jì)了自校正全階卡爾曼濾波器（self-tuning full-order Kalman filter）并推導(dǎo)其相應(yīng)的廣義 Riccati方程。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[17]針對含有未知量測噪聲協(xié)防差的多傳感器廣義系統(tǒng)設(shè)計(jì)了自校正全階加權(quán)量測數(shù)據(jù)融合卡爾曼濾波器（self-tuning full-order weighted measurement fusion Kalman filter）。但是，已有的研究方法均無法避免在 Riccati方程中求解奇異矩陣E，導(dǎo)致后續(xù)求解過程非常繁瑣。

對于轉(zhuǎn)化得到的非奇異離散系統(tǒng)，當(dāng)觀測量出現(xiàn)異常時(shí)，由于量測殘差發(fā)生變化，將導(dǎo)致卡爾曼濾波估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣發(fā)生變化，進(jìn)而影響狀態(tài)估計(jì)效果。文獻(xiàn)[17]針對量測丟失情況下的不確定線性離散時(shí)間系統(tǒng)，提出了基于最優(yōu)上界的魯棒濾波方法，該上界能夠確?？柭鼮V波增益矩陣的收斂。本文在文獻(xiàn)[18]已有研究基礎(chǔ)上，針對量測丟失情況下的一類非線性廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題，提出了基于最優(yōu)上界的魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波（REKF）方法，提出的最優(yōu)上界用以保證轉(zhuǎn)換得到的非線性一般離散時(shí)間系統(tǒng)動態(tài)模型新增不確定性在卡爾曼濾波誤差協(xié)方差矩陣中有效收斂。

本文內(nèi)容安排如下：第1節(jié)提出一類廣義非線性連續(xù)-離散系統(tǒng)模型，引入?yún)?shù)并使用歐拉離散方法，將該廣義系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為非奇異一般系統(tǒng)；第2節(jié)針對轉(zhuǎn)換得到的非線性一般系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)慣性測量元件的量測丟失時(shí)，提出擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）方法以實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的線性化；由于第1節(jié)中的轉(zhuǎn)換方式，導(dǎo)致在得到的非線性一般離散系統(tǒng)動態(tài)模型中存在新增不確定性，為解決該問題，第3節(jié)提出基于有限上界的REKF算法，以保證該不確定項(xiàng)不影響卡爾曼濾波增益矩陣收斂性，并能有效實(shí)現(xiàn)非線性廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)在慣性測量元件在量測丟失情況下的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)；第 4節(jié)提出仿真算例以驗(yàn)證該方法有效性；第5節(jié)得出結(jié)論。

1 問題描述

首先考慮正常情況下一類非線性廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)：

本文中，系統(tǒng)狀態(tài)x假定滿足如下關(guān)系式：

對于系統(tǒng)(1)，由于在動態(tài)模型中可能有奇異矩陣E，在卡爾曼濾波誤差協(xié)方差計(jì)算時(shí)處理非常困難。為解決該問題，本文引入?yún)?shù)，將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為非奇異一般矩陣進(jìn)行處理。

其中，T和N的通解[T N]可由式(4)求解得到：S為任意矩陣，代表設(shè)計(jì)自由度。

考慮本文提出的連續(xù)-離散系統(tǒng)模型，由于系統(tǒng)動態(tài)模型為連續(xù)變量，量測方程為離散變量，方程(3)不能直接使用。所以首先考慮將廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為非奇異一般離散系統(tǒng)模型。

對于任意x(t)，基于式(3)，存在如下關(guān)系：

對式(5)使用歐拉離散化方法，則式(5)可重新表示為：

Ck為量測矩陣C在tk時(shí)刻采樣值。采樣間隔值τ取值充分小，以保證高階項(xiàng)O(τ2) 忽略不計(jì)。

量測方程可表示為：

經(jīng)以上處理，系統(tǒng)(1)可重新表示為：

式(7)可重新表示為：

考慮式(9)，式(8)可重新表示為：

式中，wk、vk分別為均值為 0且相互獨(dú)立的高斯白噪聲，其誤差協(xié)方差矩陣分別表示為：

定義：

將式(11)代入式(10)中，式(10)可重新表示為：

以下假設(shè)用以保證廣義系統(tǒng)卡爾曼濾波可行性。

2 觀測量丟失時(shí)擴(kuò)展卡爾曼濾波

當(dāng)系統(tǒng)(1)觀測量丟失時(shí)，其等價(jià)系統(tǒng)(12)可重新表示為：

其中，kδ∈R為已知正標(biāo)量，kη、wk、vk相互獨(dú)立。

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(13)的狀態(tài)估計(jì)，本節(jié)提出魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波（REKF）算法，其中，擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）的形式同樣適用于REKF算法。

系統(tǒng)(13)存在如下形式濾波器：

估計(jì)誤差和誤差協(xié)方差矩陣可表示為：

為找到最優(yōu)上界Pk，使式(20)成立：

預(yù)測誤差和預(yù)測誤差協(xié)方差可表示為：

將系統(tǒng)(13)中動態(tài)模型方程代入(21)可得：

G∈Rn×n用以調(diào)節(jié)濾波器參數(shù)。

考慮式(24)和式(25)，式(23)可重新表示為：

ΔEk可進(jìn)一步處理為：

其中，kα與kβ類似，假設(shè)kα滿足如下不等式：

將式(28)代入式(27)可得：

將式(30)代入式(22)可得：

考慮系統(tǒng)(13)中量測方程， 并將式(17)代入式(18)可得：

將式(32)代入式(19)可進(jìn)一步得到：

考慮式(2)，式(33)可進(jìn)一步表示為：

當(dāng)Kk取得極值時(shí)∑k取得最大值，則有：

由式(35)可得：

盡管從推導(dǎo)可以得到卡爾曼濾波誤差協(xié)方差矩陣，由于式(25)與式(28)存在，kβ、kα未知，很難直接求解∑k。為解決該問題，提出引理1。

引理1[18]：已知矩陣其中TD D≤I，X是正定矩陣，如果存在任意α＞0使得：

成立，則以下不等式成立：

基于引理1，式(31)可重新表示為：

其中，μ和λ為已知的設(shè)計(jì)參數(shù)。

從REKF算法推導(dǎo)過程可知，對于量測丟失情況下的廣義連續(xù)離散系統(tǒng)(1)，其等價(jià)系統(tǒng)(13)的狀態(tài)估計(jì)REKF算法濾波流程如下：

1）一步預(yù)測及相應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣由式(18)及式(31)得到；2）狀態(tài)估計(jì)值及相應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣由式(19)及式(34)得到；3）基于最優(yōu)上界，卡爾曼濾波增益可由式(40)計(jì)算得到。

3 仿真分析

考慮如下廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)模型：

其中，w、v為隨機(jī)分布白噪聲，為保證采樣精確，慣性測量元件的采樣間隔設(shè)為τ=0.1s。

仿真初始條件選擇如下：

式(3)的T和N值：

顯然，T為非奇異矩陣。

為保證REKF算法魯棒性，μ、F、G取值如下：

為保證ΔE在魯棒算法中收斂性，λ、H、L取值如下：

得到的系統(tǒng)狀態(tài)如圖1所示。

圖1 x1及x2狀態(tài)Fig.1 States ofx1andx2

如上文所述，魯棒濾波算法優(yōu)越性在于其能夠保證卡爾曼濾波誤差協(xié)方差矩陣收斂性。本文針對如式(41)所示的系統(tǒng)，通過傳統(tǒng)EKF算法與REKF算法得到的狀態(tài)估計(jì)誤差進(jìn)行對比的方法，來驗(yàn)證所提出的REKF算法的優(yōu)越性。

仿真平臺：Intel(R) Core(TM) i5-3210M CPU@2.50 GHz，8 GB 內(nèi)存IBM計(jì)算機(jī)；

仿真軟件：Matlab軟件。

仿真采用Monte Carlo仿真方法，EKF和REKF算法每百次運(yùn)算時(shí)間如表1所示。

表1 每次運(yùn)算計(jì)算時(shí)間Tab.1 Calculation time

針對式(41)所示系統(tǒng)，由EKF及REKF算法得到的狀態(tài)估計(jì)誤差如圖2及圖3所示。

使用 EKF及 REKF算法得到的均方根誤差（RMSE）如表2所示。

圖2 x1估計(jì)誤差（EKF與REKF對比圖）Fig.2 Estimation error ofx1(EKF versus REKF)

圖3 x2估計(jì)誤差（EKF與REKF對比圖）Fig.3 Estimation error ofx2(EKF versus REKF)

表2 EKF及REKF均方根誤差Tab.2 Root mean square errors of EKF and REKF

從圖2及圖3可知，本文提出的REKF算法保證了新增不確定性ΔE在濾波誤差協(xié)方差矩陣中的收斂性，相較于EKF算法，能夠更好地對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。通過對比可知，相較于EKF算法，REKF算法對范數(shù)有界的廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)更具精確性。分析表1可知，盡管REKF算法在仿真時(shí)間上更長，但與EKF算法相比，仿真時(shí)間增加量為超過13%，證明REKF算法在提高了仿真精度的同時(shí)，對仿真時(shí)間影響較小。分析表 2可知，通過 REKF算法得到的RMSE僅為EKF算法得到的RMSE的1/5，進(jìn)一步證明了REKF算法對所提出的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的精確性。

4 結(jié) 論

針對慣性測量元件的量測丟失情況下的一類范數(shù)有界的有噪聲非線性廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)，提出一種基于魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波（REKF）算法的狀態(tài)估計(jì)方法。首先引入?yún)?shù)，使用歐拉離散化方法將理想狀態(tài)下的廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為非線性非奇異一般離散時(shí)間系統(tǒng)。其次，當(dāng)轉(zhuǎn)化的等價(jià)系統(tǒng)量測丟失時(shí)，提出擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）方法以解決非線性問題，針對使用的轉(zhuǎn)化方法所導(dǎo)致的新增不確定性，提出基于EKF算法的REKF算法，以保證新增不確定性不影響濾波誤差協(xié)方差矩陣收斂性。最后，提出仿真算例。仿真算例驗(yàn)證了對于量測丟失情況下的非線性廣義連續(xù)-離散系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題，提出的REKF算法相較于EKF算法具有更高的精確度。

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