徐澤遠(yuǎn)，伊國興，謝陽光，魏振楠

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 中國航空工業(yè)集團公司西安自動飛行控制研究所，西安 710065）

半球諧振陀螺由于具有高精度、高可靠性、抗干擾能力強以及長壽命的優(yōu)點，非常適合應(yīng)用在長時間工作的場合[1-2]。因此，高精度半球諧振陀螺的研究對于慣性技術(shù)的發(fā)展，特別是長壽命高精度陀螺的發(fā)展是尤為重要的。半球諧振陀螺有很多應(yīng)用，比如用于航空導(dǎo)航、衛(wèi)星導(dǎo)航定位、精密定位、石油勘探、深海探測等等。作為載體導(dǎo)航系統(tǒng)的重要慣性元器件之一，半球諧振陀螺的性能將直接影響慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的性能，甚至影響載體的性能和使用。所以研究哪些因素影響半球諧振陀螺的性能和精度具有重要意義。

對于半球諧振陀螺的研究，主要集中在它的隨機誤差[3-5]、溫度漂移[6-7]、有限元分析[8]和壽命預(yù)測[9]等方面。而在陀螺的實際應(yīng)用中，環(huán)境因素的影響也是不容忽略的，如溫度場、磁場、外載荷等，其中外載荷中重力加速度以及載體運動加速度不可避免地作用到陀螺本身[10]，實際測試結(jié)果表明，這樣亦能使陀螺產(chǎn)生漂移。而半球諧振陀螺是一種高精度陀螺，所以對于加速度造成的影響是不能被忽略的。近幾年，越來越多的研究集中在半球諧振陀螺的控制方式上，這些控制方式又很難去實現(xiàn)，甚至?xí)硇碌母鼮閺?fù)雜的問題，而半球諧振陀螺的振幅和速率控制系統(tǒng)會直接影響到陀螺精度。加速度對于半球諧振陀螺性能的影響可以直接反映在陀螺內(nèi)部的振幅控制系統(tǒng)和速率控制系統(tǒng)上，為此開展加速度對半球諧振陀螺控制系統(tǒng)的影響分析具有十分重要的實際應(yīng)用價值。

半球諧振陀螺主要是通過控制系統(tǒng)的激勵電極施加電壓使諧振子諧振起來達(dá)到其固有頻率。從動力學(xué)的角度分析，外界加速度的作用下會使得諧振子產(chǎn)生變形，與正常工作的諧振子形變相比，這是有害變形。加速度造成的變形會使得諧振子與外基座激勵電極的相對位置發(fā)生變化，這就使得諧振子的電極板與激勵電極的電極板之間的相對位置和相對距離產(chǎn)生變化，使得激振力和反饋力產(chǎn)生偏差，從而造成振幅和速率激勵電極的控制電壓誤差，由此帶來陀螺輸出的漂移。為此本文分析了加速度對振幅控制系統(tǒng)和速率控制系統(tǒng)的影響。

1 諧振子的變形方程

在建模過程中，將中面半徑為R、厚度為h的傘形的諧振子結(jié)構(gòu)簡化為半球形進行建模，則半球諧振子上電極的邊界方向θ和φ構(gòu)成中面的主坐標(biāo)系，如圖1所示。取激勵電極面積范圍內(nèi)任意一點B，直線OB與變形后的諧振子中面相交于點A′，此處OB=Rf，假設(shè)OA′=Rd，則電容間隙表達(dá)式為[10]：

為求出式(1)中Rd，需要了解諧振子變形后的曲面方程。諧振子中面上物質(zhì)點A變形后，移動到A′點，則點A′對應(yīng)的位移矢量q′與點A對應(yīng)的位移矢量q和變形矢量W的關(guān)系如圖1所示。

圖1 激勵電極結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of the actuator

直線與諧振子中面相交滿足如下方程[10]：

式中：A2為振幅，?為振型角[10]，U2、V2、W2振型方程為瑞利-里茨函數(shù)，其中，

式中，p(t)、q(t)為與時間相關(guān)的待定量。

加速度作用下諧振子變形方程形式如下[10]：

式中：A1為加速度作用下諧振子變形幅值，ψ為加速度作用的方位，U1、V1、W1為瑞利函數(shù)。瑞利里茨函數(shù)通用形式如下：

2 振幅和速率反饋控制系統(tǒng)

2.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

外基座上均勻分布的 16個激勵電極，間隔為22.5°，如圖2所示。此處用于振幅控制的激勵電極有4個，用于速率反饋的激勵電極有4個，其余8個電極用于頻率控制和正交控制。根據(jù)諧振子二階諧振狀態(tài)的對稱性，組建振幅、速率反饋控制系統(tǒng)。結(jié)合實際工程設(shè)計，8個激勵電極的雙差分方式結(jié)構(gòu)復(fù)雜[10]，在加工制造上會帶來很多問題，在工程實踐上不具有可行性，由此設(shè)計了以下三種控制方式：

1）將0°激勵電極F1作為振幅激勵電極，與0°檢測電極P1共同構(gòu)成了振幅反饋控制系統(tǒng)；將45°激勵電極F2作為速率激勵電極，與45°檢測電極P2共同構(gòu)成了速率反饋控制系統(tǒng)。如圖2所示。這是最基本的振幅和速率反饋控制系統(tǒng)。

圖2 反饋控制系統(tǒng)控制方式IFig.2 Scheme I of feedback control system

2）將F1、F5信號差分作為振幅激勵電極，將P1、P3信號差分作為振幅檢測電極，共同構(gòu)成了振幅反饋控制系統(tǒng)；將激勵電極F2、F6信號差分作為速率激勵電極，將P2、P4信號差分作為振型角檢測電極，共同構(gòu)成了速率反饋控制系統(tǒng)。如3圖所示。

圖3 反饋控制系統(tǒng)控制方式IIFig.3 Scheme II of feedback control system

3）將激勵電極 F1、F3并聯(lián)作為振幅激勵電極，將P1、P5并聯(lián)作為振幅檢測電極，共同構(gòu)成了振幅反饋控制系統(tǒng)；將激勵電極F2、F4并聯(lián)作為速率控制電極，將P2、P6并聯(lián)作為振型角檢測電極，共同構(gòu)成了速率反饋控制系統(tǒng)。如4圖所示。

圖4 反饋控制系統(tǒng)控制方式IIIFig.4 Scheme III of feedback control system

2.2 多電極激勵諧振子的動力學(xué)特性

由諧振子的變形方程解析解形式已知，建立了多激勵電極作用下諧振子的動力學(xué)方程：

其中，0ε為真空介電常數(shù)，動力學(xué)參數(shù)m0=-0.0027。

當(dāng)諧振子進入二階諧振穩(wěn)定狀態(tài)時，

其中，2ω為諧振子二階諧振頻率，t為時間。

當(dāng)采用控制方式I時，

當(dāng)采用控制方式II時，

當(dāng)采用控制方式III時，

進一步，

為進一步討論控制特性，以方案I為例進行說明，當(dāng)表頭不存在結(jié)構(gòu)誤差時，將表1中數(shù)據(jù)代入式(16)得：

從式(18)可以看出，通過調(diào)整fm、fa的比值可以使?= 0 ，此時式(15)中b=0，式(15)化簡為

當(dāng)諧振子振型角被鎖定在零位時，式(19)(20)代表了振幅控制及速率控制系統(tǒng)的規(guī)律?？梢钥闯?，兩個控制系統(tǒng)沒有耦合，但實際上兩個系統(tǒng)是存在耦合的。

3 加速度對激勵電極的影響分析

3.1 誤差分析

在陀螺正常工作狀態(tài)，振幅控制及速率控制保證了a=constant，b=0，此時式(15)簡化為

進一步推導(dǎo)：

也可推導(dǎo)成：

對比式(20)與式(22)可以發(fā)現(xiàn)，激勵系數(shù)Sc0、Ss0、Sc45、Ss45會導(dǎo)致陀螺常值漂移及標(biāo)度因數(shù)誤差。對比式(19)與式(23)可以看出，Sc0、Ss0、Sc45、Ss45會影響振幅激勵電極的控制精度，導(dǎo)致振幅的漂移。

在加速度作用下，諧振子與外基座的激勵電極發(fā)生相對位移，使得式(10)中積分域θ、φ以及初始電容間隙d的變化導(dǎo)致激勵系數(shù)Sc0、Ss0、Sc45、Ss45發(fā)生改變，產(chǎn)生陀螺角速率常值漂移和振幅漂移以及標(biāo)度因數(shù)誤差。由式(1)(3)(10)可以看出，分析加速度對振幅、速率控制系統(tǒng)的影響就是分析加速度參數(shù)1A、ψ與激勵系數(shù)Sc0、Ss0、Sc45、Ss45的對應(yīng)關(guān)系。

采用數(shù)值分析計算的方法建立仿真系統(tǒng)，研究加速度導(dǎo)致的激勵電極誤差，仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

3.2 振幅控制系統(tǒng)誤差

首先研究了加速度導(dǎo)致激勵系數(shù)的改變，激勵系數(shù)的改變直接導(dǎo)致了振幅控制因數(shù)誤差，根據(jù)力反饋陀螺工作原理，振幅控制電壓的改變表現(xiàn)為振幅的漂移。從式(23)可以看出，fa是與電壓有關(guān)的變量，而其它量都是受加速度影響的量，定義為振幅控制因數(shù)式(19)中的系數(shù)定義為Kac0，振幅控制因數(shù)誤差率為 δKac。

圖5 控制方式I振幅控制因數(shù)誤差率Fig.5 Amplitude control factor error rate of scheme I

圖6 控制方式II振幅控制因數(shù)誤差率Fig.6 Amplitude control factor error rate of scheme II

圖7 控制方式III振幅控制因數(shù)誤差率Fig.7 Amplitude control factor error rate of scheme III

解算出振幅控制因數(shù)，將其與諧振子未變形時的理想值對比即可得到控制方式I、II、III的振幅控制因數(shù)誤差率。

從圖5～7中可以看出，控制方式I的振幅控制因數(shù)誤差率最大為 0.3926%。這是最基本的控制方式，控制精度比較低，但是加速度引起的振幅控制誤差不到 4‰。控制方式 II的振幅控制因數(shù)誤差率為0.2779%。控制方式 III的振幅控制因數(shù)誤差率為6.692×10-4%。從以上三種控制方式的仿真結(jié)果來看，控制方式 III中加速度引起的振幅激勵電極誤差幾乎為零，選用控制方式III則認(rèn)為加速度對振幅控制系統(tǒng)沒有影響?？梢哉J(rèn)為，諧振子的振幅是穩(wěn)定的。

3.3 速率控制系統(tǒng)誤差

加速度導(dǎo)致激勵系數(shù)的改變，激勵系數(shù)的改變導(dǎo)致了速率控制因數(shù)改變，根據(jù)力反饋陀螺工作原理，控制電壓改變，表現(xiàn)為輸出角速率的漂移。

從式(22)可以看出，fm是與電壓有關(guān)的變量，而其它量都是受加速度影響的量，定義為速率控制因數(shù)速率控制因數(shù)誤差率δKrc、耦合因數(shù)Kcf、耦合因數(shù)誤差率δKcf、角速率輸出常值誤差Kce。式(20)中的系數(shù)定義為Krc0。

解算出加速度作用下的速率控制因數(shù)、耦合因數(shù)、常值誤差，將其與諧振子未變形時的理想值對比即可得到控制方式I、II、III的速率控制因數(shù)誤差率、耦合因數(shù)誤差率、常值誤差。

從圖8可以看出，控制方式I的速率激勵電極控制因數(shù)誤差率最大達(dá)到11.14%，說明加速度對陀螺速率激勵電極影響較大。而耦合控制因數(shù)誤差率最大為4.17×10-6%，加速度導(dǎo)致的控制系統(tǒng)間的耦合誤差較小，可以忽略不計。加速度造成的陀螺常值誤差為1.20×10-4(°/h)，雖然較小但是需要加以控制。從圖中可以看出，隨著加速度的增大，所有的誤差項都增大，加速度的作用方向角ψ的變化使得誤差呈周期性變化。控制方式I的控制精度最低，可以看出加速度導(dǎo)致的耦合誤差較小可以忽略不計。以下主要討論控制因數(shù)誤差和陀螺常值誤差。

圖8 控制方式I速率控制系統(tǒng)誤差率Fig.8 Rate control system error rate of scheme I

從圖9中可以看出，控制方式II可以使加速度導(dǎo)致的速率控制因數(shù)誤差率降到 7.91%，陀螺常值誤差下降到8.42×10-5(°/h)。可以看出，控制方式II從一定程度上減小了加速度對速率激勵電極的影響，并不能將誤差抑制到?jīng)]有影響的程度，但是將陀螺的常值誤差控制在了10-4(°/h)的范圍內(nèi)，以下不用討論加速度導(dǎo)致的陀螺常值誤差。

圖9 控制方式II速率控制系統(tǒng)誤差率Fig.9 Rate control system error rate of scheme II

從圖10中可以看出，控制方式III使速率控制因數(shù)誤差率最大值減小到 0.0164%，說明即使有加速度地影響，速率控制系統(tǒng)也能很好地控制陀螺的輸出。控制方式 III利用電極相對分布的互補優(yōu)勢比控制方式II的差分控制取得更好的控制效果，能更好地抑制加速度對速率激勵電極的影響。

圖10 控制方式III速率控制系統(tǒng)誤差率Fig.10 Rate control system error rate of scheme III

4 結(jié) 論

本文詳細(xì)研究了在多電極激勵條件下的HRG諧振子動力學(xué)特性，分析了加速度對控制系統(tǒng)激勵電極的影響。設(shè)計了三種反饋控制系統(tǒng)，分析了加速度導(dǎo)致的諧振子變形對三種反饋控制系統(tǒng)的影響，進而對陀螺輸出的影響。最終得出以下結(jié)論：

1）利用激勵電極作用下的諧振子動力學(xué)方程說明了控制方式III具有很好的反饋控制特性和魯棒性，加速度對振幅激勵電極影響很小。

2）加速度對控制方式I、II的速率激勵電極影響較大，在分析加速度導(dǎo)致HRG漂移時必須考慮對速率控制因數(shù)及陀螺常值誤差的影響。

3）通過合理配置激勵電極的方式，控制方式III較大程度上削弱了加速度對振幅、速率控制系統(tǒng)激勵電極的影響。相比于控制方式I、II，控制因數(shù)誤差減小為原來的10-3倍。

參考文獻（References）：

[1] Матвеев В А, Липатников В И, Алехин А В. Проектирование. Волнового твердотелъного гироскопа[M].Издателъство МГТУ имени Н. Э. Баумана, 1998: 1-66.

[2]Rozelle D M. The hemispherical resonator gyro: from wineglass to the planets[C]//The 19th AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting, 2009: 1157-1178.

[3]Wang X, Wu W Q, Luo B, et al. Force to rebalance control of HRG and suppression of its errors on the basis of FPGA[J]. Sensors, 2011, 11(12): 11761-11773.

[4]Song J W, Song H M, Lee Y J, et al. Design of oscillation control loop with coarse-precision mode transition for solid-state resonant gyroscope[J]. IEEE Sensors Journal,2016, 16(6): 1730-1742.

[5]Qi J Y, Ren S Q, Feng S W, et al. Random error analysis of hemispherical resonator gyro[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2009, 17(1): 98-106.

[6]Wang X, Wu W Q, Fang Z, et al. Temperature drift compensation for hemispherical resonator gyro based on natural frequency[J]. Sensors, 2012, 12(5): 6434-6446.

[7]周小剛, 汪立新, 佘嬙, 等. 半球諧振陀螺溫度補償與實驗研究[J]. 宇航學(xué)報, 2010, 31(4): 1083-1087.Zhou X G, Wang L X, She Q, et al. HRG temperature compensation and experiment research[J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(4): 1083-1087.

[8]Xu Z Y, Yi G X, Qi Z Y, et al. Structural optimization research on hemispherical resonator gyro based on finite element analysis[C]//The 35th Chinese Control Conference,Chengdu, China, 2016: 5737-5742.

[9]Dai C L, Pi D C, Fang Z, et al. A novel long-term prediction model for hemispherical resonator gyroscope’s drift data[J]. IEEE Sensors Journal, 2014, 14(6): 1886-1897.

[10]伊國興, 謝陽光, 王常虹, 等. 加速度對半球諧振陀螺振動檢測系統(tǒng)影響分析[J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報, 2013,21(5): 676-681.Yi G X, Xie Y G, Wang C H, et al. Analysis of acceleration influence on HRG vibration detection system[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2013, 21(5): 676-681.