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        淺談阿波羅尼斯圓在高中幾何的應(yīng)用

        2018-05-09 06:03:06曾信源
        數(shù)理化解題研究 2018年4期
        關(guān)鍵詞:引例人民教育出版社阿波羅

        曾信源

        (浙江省溫州市龍灣中學(xué)高二(9)班 325024)

        阿波羅尼斯圓在我們的教材習(xí)題以及課外練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn),甚至有些難題如果我們能夠看到它背后命題的本質(zhì)是阿波羅尼斯圓,那么就會(huì)給我們解題帶來很大的方便.

        一、引例

        解析設(shè)點(diǎn)M(x,y),由條件直接列出等式,經(jīng)化簡(jiǎn)不難得到點(diǎn)M的軌跡方程是(x+1)2+y2=4,顯然點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓.

        這是我們數(shù)學(xué)必修2教材《圓的方程》的一道課后習(xí)題,如果把以上的題目推廣到一般情形那么就是阿波羅尼斯圓.其實(shí)在教材的復(fù)習(xí)參考題中,是以如下表述形式出現(xiàn)的:

        已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)M1,M2距離的比是一個(gè)正數(shù)m,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m≠1兩種情形).

        我們按照引例的方法建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系,就能得到這個(gè)圓的方程(m≠1).這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在平面幾何和立體幾何都有廣泛應(yīng)用.

        二、阿波羅尼斯圓在平面幾何的應(yīng)用

        解析這是2008年江蘇省的一道高考題,如果按照解三角形的知識(shí)去處理,運(yùn)算會(huì)顯得很繁瑣.如果這道題我們建系去解決,會(huì)發(fā)現(xiàn)本題的命題背景就是阿波羅尼斯圓.

        三、阿波羅尼斯圓在立體幾何的應(yīng)用

        圖1

        例3 如圖,平面α⊥平面β,α∩β=l,DA?α,BC?α,且DA⊥l于A,BC⊥l于B,AD=4,BC=8,AB=6,在平面β內(nèi)不在l上的動(dòng)點(diǎn)P,記PD與平面β所成角為θ1,PC與平面β所成角為θ2,若θ1=θ2,則△PAB的面積的最大值是 .

        圖2

        變式練習(xí)2 已知平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,CD⊥AD,且AB=1,AD=CD=2.

        ADEF是正方形,在正方形ADEF內(nèi)部有一點(diǎn)M,滿

        足MB,MC與平面ADEF所成的角相等,則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為( ).

        提示點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓,答案為C.

        總之,通過以上例題的深刻分析,我認(rèn)為在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,如果我們懂得去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律,那么我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)顯得格外輕松,從而能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦與魅力.

        參考文獻(xiàn):

        [1]人民教育出版社.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2教師教學(xué)用書[M].北京:人民教育出版社,2007.

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