邱 超，王平安，蘇 茹，劉建元

(西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院， 陜西 西安 710055)

地震作用對邊坡穩(wěn)定性的影響很大[1]。尤其是在山區(qū)和丘陵地帶，由地震作用導(dǎo)致的邊坡失穩(wěn)具有數(shù)量多和危害大等特點(diǎn)[2]，因此，地震作用下的邊坡穩(wěn)定性分析一直是巖土工程界的重要課題之一[3-4]。

地震荷載作用下的邊坡穩(wěn)定性問題一直是巖土工程中的研究難點(diǎn)[5]。目前，地震荷載作用下邊坡穩(wěn)定性分析方法主要有：擬靜力法[6-9]、滑塊分析法[10]、動力時程分析法[11-12]、有限單元法[13]以及離散元法[14]等。由于擬靜力法具有有效與易于操作等特點(diǎn)，因而逐漸被廣泛學(xué)者采用。在邊坡穩(wěn)定性分析的擬靜力法研究當(dāng)中，通常在土條上施加地震力，來分析邊坡的穩(wěn)定性。運(yùn)用不同的邊坡穩(wěn)定性分析方法，對應(yīng)著不同的擬靜力分析的形式，鄧東平等[15-16]采用任意滑動面搜索方法，對地震作用下邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行擬靜力分析。鄧東平等[17]采用擬靜力分析方法分析了不同滑動面型式下邊坡的穩(wěn)定性。Ausilio E等[8]應(yīng)用運(yùn)動極限分析定理，采用擬靜力法分析了加筋土坡的穩(wěn)定性。陳昌富等[18]通過對土條進(jìn)行水平條分，運(yùn)用遺傳算法對邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行了擬靜力分析。在將水平條分法應(yīng)用到分析加筋土坡的穩(wěn)定性分析過程當(dāng)中[19-21]，都假定邊坡潛在滑動面不經(jīng)過坡角，不是針對一般的邊坡滑動面，鄧東平等[22]采用水平條分與斜條分相結(jié)合的方法很好地解決了水平條分法的缺陷。但是對于均質(zhì)土坡而言，水平條分和斜條分需要分開計算，且土條劃分寬度嚴(yán)重影響計算的精度與工作量。因此，有必要對地震作用下邊坡滑動面經(jīng)過坡角這一情況進(jìn)行地震作用下邊坡穩(wěn)定性分析。

本文采用解析計算的方法，通過引入豎向中心角，將水平條分和斜條分統(tǒng)一起來計算，大大減少了計算量。基于擬靜力分析法，采用積分的方法建立了地震作用下邊坡安全系數(shù)的解析表達(dá)式。編制了相關(guān)的程序?qū)Φ卣鹱饔孟逻吰路€(wěn)定性問題進(jìn)行了優(yōu)化求解，并且分析了水平荷載作用系數(shù)、豎向荷載作用系數(shù)以及比例系數(shù)對邊坡安全系數(shù)與邊坡潛在滑動面的影響。

1 基本假定

1.1 基本假定

如圖1所示，均質(zhì)邊坡，潛在滑動面為圓弧滑動面，滑動面圓心O，半徑r0，邊坡高度H，坡角θ，土體重度γ，內(nèi)摩擦角φ，黏聚力c。x0、y0分別為邊坡滑動面圓心的橫、縱坐標(biāo)。D、F分別為過C、A兩點(diǎn)豎直線與潛在滑動面的交點(diǎn)。μ為G點(diǎn)的橫坐標(biāo)，α1、α2、η1、η、β分別為G、F、D、E、B對應(yīng)于O點(diǎn)的豎向中心角，φ為邊坡滑動面上任意一點(diǎn)對應(yīng)于O點(diǎn)的豎向中心角，順時針為正。在分析問題之前做如下幾點(diǎn)基本假定：

圖1滑動面參量示意圖

(1) 對于水平條和斜條而言，土條豎直方向的荷載等于上覆荷載，在地震作用下上覆荷載等于(1+kv)Wi；水平荷載等于khWi。

(2) 邊坡滑動面為圓弧，且邊坡潛在滑動面上安全系數(shù)相同。

(3) 邊坡土體滿足摩爾-庫侖屈服準(zhǔn)則，即

τf=σtanφ+c

(1)

式中：τf、σ分別為邊坡破壞時，滑動面上的切應(yīng)力和正應(yīng)力。

1.2 條間力假定

在邊坡穩(wěn)定性分析當(dāng)中，采用水平條分法與斜條分法結(jié)合起來分析邊坡。對于一般滑動面的邊坡，對邊坡腳趾以上的土體，采用水平條分；對邊坡腳趾以下的土體，采用斜條分；水平土條和斜土條受力示意圖見圖2(a)和圖2(b)。根據(jù)Shangholi M等[19]對條間力的假定，水平土條條間力有如下關(guān)系：

(2)

式中：Vj、Vj-1分別為豎向條間力；Hj、Hj-1分別為水平條間力；Gj、Gj-1分別為條塊def和abe的重力。

為了得到斜土條條間力的關(guān)系，對塊體GhqA和sghq進(jìn)行受力分析，見圖3(a)和圖3(b)。由靜力平衡關(guān)系得：

(3)

由式(3)反解出Xk、Ek，有：

(4)

圖2 水平土條、斜土條受力分析

圖3土條受力分析

本文在分析邊坡穩(wěn)定性分析過程當(dāng)中，采用Bishop對條間力的假定，于是條間力有如下關(guān)系：

(5)

式中：Ek、Ek-1為條塊sghq所受的水平條間力；Xk、Xk-1為條塊sghq所受的豎向條間力。

將式(5)帶入式(4)中有：

(6)

式中：Vk、Vk-1為斜條塊Ggh上、下兩個底面的正向力；Hk、Hk-1為條塊Ggh上、下兩個底面的切向力；Gk，Gk-1分別為塊體GhqA、GgsA的重力。δk、δk-1分別為斜條塊上、下兩個底面與水平方向的夾角，逆時針為正。

2 安全系數(shù)解析計算

由圖2(a)和圖2(b)考慮條塊水平向與豎向靜力平衡，有：

(7)

Nk=Hk-1sin(δk-1+φ)-Vk-1cos(δk-1+φ)-Hksin(δk+φ)+Vkcos(δk+φ)+Wkcosφ

Tk=-Hk-1cos(δk-1+φ)-Vk-1sin(δk-1+φ)+Hkcos(δk+φ)+Vksin(δk+φ)+Wksinφ

(8)

式中：Wj、Wk分別為水平條和斜體的重力。Nj、Tj分別為水平條上的切向力和法向力，Nk、Nk-1分別為斜條上的切向力和法向力。將式(2)、式(6)分別帶入到式(7)、式(8)中，得到如下關(guān)系：

(9)

考慮地震荷載作用下的邊坡穩(wěn)定性，對條塊進(jìn)行受力分析，有：

Ticosφ-Nisinφ-khWi=0

Tisinφ+Nicosφ-(1+kv)(Wi+Gi-Gi-1)=0

(10)

反解出Ti、Ni，有：

(11)

式中：kh為水平荷載作用系數(shù)；kv為豎向荷載作用系數(shù)。

根據(jù)，安全系數(shù)等于抗滑力與下滑力之比，有：

(12)

式中：li為土條底面長度；n為劃分的土條數(shù)。

為了更加精確的分析邊坡穩(wěn)定性，采用積分的辦法代替條分，由圖1得到(Gi-Gi-1)與Wi的表達(dá)式分別為：

Gi-Gi-1=

(13)

(14)

聯(lián)立式(13)、式(14)有：

(15)

注意到，邊坡滑動面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為：

(16)

由圖1幾何關(guān)系，豎向中心角，可以表示為：

(17)

反解出x0，y0，r0，有：

(18)

聯(lián)立式(12)、式(13)、式(14)、式(15)、式(18)，安全系數(shù)可以表示為：

(19)

式中：

sinα1

(20)

(21)

(22)

(23)

為了得到邊坡安全系數(shù)的最小值，以及對應(yīng)的邊坡潛在滑動面，本文應(yīng)用MATLAB軟件，編制了相關(guān)的優(yōu)化程序進(jìn)行求解，式(19)的安全系數(shù)為中心角α1、α2、η1、η、β的函數(shù)，該問題為非線性約束問題，約束條件為：

(24)

3 算例分析

為了驗(yàn)證本文方法和編制優(yōu)化程序的正確性，靜態(tài)條件下，對已有的典型算例進(jìn)行計算，對比結(jié)果見表1。由表1可知，本文方法與簡化Bishop法所獲得的安全系數(shù)很接近。說明不考慮地震效應(yīng)作用下，本文方法是有效的。

表1 安全系數(shù)結(jié)果對比

邊坡坡高H=8 m，坡角θ=15°，巖土參數(shù)為：γ=20 kN/m3，c=30 kN/m3，φ=10°。當(dāng)kv=0，kh分別取0.00、0.10、0.20、0.30，羅強(qiáng)等[23]采用對數(shù)螺旋滑動面時極限上限法計算得到的安全系數(shù)分別為4.400、3.120、2.390、1.920，鄧東平等[15]采用滑動面搜索新方法計算得到的安全系數(shù)分別為4.318、2.968、2.229、1.769，本文方法計算得到的安全系數(shù)分別為4.119、2.884、2.184、1.773。本文方法計算得到的安全系數(shù)與文獻(xiàn)[15]計算得到的安全系數(shù)十分接近，且略小一些。因而，說明本文方法分析邊坡穩(wěn)定性是安全有效的。

4 影響因素參數(shù)分析

一般情況下，在地震作用下邊坡穩(wěn)定性分析過程中，水平地震作用系數(shù)與豎直作用系數(shù)有如下關(guān)系：kv=ξkh(其中，ξ為kv相對于kh的比例系數(shù))。取邊坡參數(shù)為：邊坡坡高H=10 m，邊坡坡角θ分別為30°、45°和60°，重度為γ=18 kN/m3，黏聚力c為30 kPa，內(nèi)摩擦角為30°。為了分析地震作用下邊坡的穩(wěn)定性，對水平地震作用系數(shù)kh分別取0.05、0.10、0.15、0.20、0.25和0.30，比例系數(shù)ξ取-1.0、-0.5、0.0、0.5、1.0。不同θ值下，地震效應(yīng)對安全系數(shù)的影響見圖4，臨界滑動面見圖5。

從圖4和圖5可知，一定ξ值下，安全系數(shù)Fs隨著水平地震系數(shù)kh的增大而減小，當(dāng)kh一定時，邊坡臨界滑動面隨著豎向地震系數(shù)的減小，邊坡潛在滑動面逐漸變深，邊坡失穩(wěn)的范圍越來越大，且隨著kh的增大，這種趨勢越明顯。

5 結(jié) 論

(1) 采用水平條分與斜條分相結(jié)合的方法，對地震作用下邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行分析，通過引入豎向中心角，建立了安全系數(shù)的解析算式。通過編寫優(yōu)化程序，采用MATLAB中Fmincon函數(shù)對問題進(jìn)行優(yōu)化求解，與多個算例對比驗(yàn)證了本文方法和優(yōu)化程序的有效性。

圖4不同θ下地震效應(yīng)對安全系數(shù)的影響

(2) 一定ξ值下，安全系數(shù)Fs隨著kh的增大而減小，水平地震系數(shù)kh與比例系數(shù)ξ對邊坡潛在滑動面有著顯著的影響。當(dāng)kh一定時，邊坡臨界滑動面隨著比例系數(shù)ξ的減小，邊坡潛在滑動面逐漸變深，邊坡失穩(wěn)的范圍越來越大，且隨著kh的增大，這種趨勢越明顯。

圖5不同kh下地震效應(yīng)對邊坡潛在滑動面的影響

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