王豐效

WANG Fengxiao

喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 喀什 844000

College of Mathematics and Statistics,Kashigar University,Kashi,Xinjiang 844000,China

1 引言

坡代數(shù)是由控制論專家曹志強提出的[1]，關(guān)于坡代數(shù)的相關(guān)概念和理論在曹志強與Kim和Roush合著的專著[2]中給出了詳細的介紹。坡代數(shù)及坡代數(shù)上的矩陣理論在自動機理論、控制論、神經(jīng)系統(tǒng)等領(lǐng)域有著很好的應(yīng)用前景。1965年，Zadeh創(chuàng)立了模糊集的理論[3]。Rosenfeld提出了模糊子群的概念[4]，標(biāo)志著模糊代數(shù)研究進入了一個新的領(lǐng)域。隨后模糊集的理論被廣泛應(yīng)用于代數(shù)系統(tǒng)，并取得了豐富的研究成果。Jun等將模糊集的理論應(yīng)用于坡代數(shù)，給出了坡代數(shù)的模糊子坡代數(shù)和模糊理想的概念，得到了坡代數(shù)的模糊子坡代數(shù)和模糊理想的若干等價條件和性質(zhì)[5]。文獻[6]和[7]討論了坡代數(shù)的直覺模糊理想和坡代數(shù)的T-模糊理想。隨后，許多學(xué)者對坡代數(shù)進行了一系列的研究，取得了豐富的研究成果[8-11]。文獻[12]將模糊集的概念推廣到區(qū)間值模糊集（Interval-Valued fuzzy set，I-V模糊集），文獻[13]討論了半群的I-V模糊理想，文獻[14]研究了N（2，2，0）代數(shù)的I-V模糊子代數(shù)，文獻[15]研究了布爾代數(shù)的I-V模糊理想。本文將I-V模糊集的概念應(yīng)用到坡代數(shù)，給出了坡代數(shù)的I-V模糊理想的概念，并討論了其相關(guān)基本性質(zhì)，為今后深入研究坡代數(shù)創(chuàng)造了必要條件。

定義1[2]設(shè)X是一個集合，若+和*是X上的兩個二元運算，且對任意x,y,z∈X滿足以下條件：則稱(X,+,*)為坡代數(shù)。

設(shè)(X,+,*)為坡代數(shù)，在X上定義關(guān)系≤如下：對任意x,y∈X,x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x+y=y，則≤是X上的一個偏序關(guān)系。

定義2[2]設(shè)(X,+,*)和(Y,+,*)是坡代數(shù)，f:X→Y為映射。若對于任意x1,x2∈X，有：

成立，則稱 f:→Y為從X到Y(jié)的同態(tài)。

定義3[6]設(shè)(X,+,*)是坡代數(shù)，A是X上的模糊集，若對于任意x,y∈X有：

A(x+y)∧A(x*y)≥A(x)∧A(y)則稱A是X的模糊子坡代數(shù)。

定義4[6]設(shè)(X,+,*)是坡代數(shù)，A是X的模糊子坡代數(shù)，并且若x≤y有A(x)≥A(y)，則稱A是X的模糊理想。

稱aˉ=[a-,a+]?[0,1]為區(qū)間數(shù)，用 D[0,1]表示區(qū)間數(shù)的集合。對于D[0,1]中的兩個元素可以定義加細極小（記為γmin），并且規(guī)定D[0,1]中元素的大小。D[0,1]中元素，規(guī)定：

設(shè)X是非空集合，X上的一個區(qū)間值模糊集（I-V模糊集）定義為：

2 坡代數(shù)的I-V模糊理想

定義5設(shè)(X,+,*)是坡代數(shù)，Aˉ是X上的I-V模糊集，并且滿足：

如無特殊說明，在不致引起混淆的情況下，X總表示一個坡代數(shù)。

由區(qū)間數(shù)的大小定義可知：

從而

3 坡代數(shù)的I-V模糊理想的直積和同態(tài)像

引理1設(shè)(X,+,*)和(Y,+,*)是兩個坡代數(shù)，在X×Y上定義兩種運算加法+和乘法*如下：對任意(x1,y1),(x2,y2)∈X×Y ，規(guī)定：

則X×Y關(guān)于上述兩種運算構(gòu)成一個坡代數(shù)。

并且若(x1,y1)≤(x2,y2)，這里(x1,y1)≤(x2,y2)是指x1≤x2，y1≤y2，因此有：

先證明如果(x1,y1)≤(x2,y2)，則：

事實上，由于：

定理4設(shè)(X,+,*)和(Y,+,*)是兩個坡代數(shù)，f:X→Y為同態(tài)滿射，并且映射 f單增。如果是X的I-V模糊理想，則 f(Aˉ)是Y 的I-V模糊理想。其中

證明 對于任意的y1,y2∈Y，由于 f是X到Y(jié)的同態(tài)滿射，故存在x1,x2∈X，使得：

若 x1≤x2，f(x1)=y1,f(x2)=y2，映射 f單增，所以y1≤y2。故

4 結(jié)束語

本文將區(qū)間值模糊集的思想和概念應(yīng)用于坡代數(shù)，給出了區(qū)間值模糊理想概念，討論了坡代數(shù)的區(qū)間值模糊理想的相關(guān)性質(zhì)以及坡代數(shù)區(qū)間值模糊理想的同態(tài)像的相關(guān)性質(zhì)，得到了一些有意義的結(jié)論。這些結(jié)論不但有助于進一步把握坡代數(shù)的模糊結(jié)構(gòu)特征，而且也有助于促進區(qū)間值模糊集理論與坡代數(shù)理論間的相互融合。同時，本文所運用的研究方法對于其他代數(shù)系統(tǒng)類似問題的研究具有一定的借鑒意義。

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