胡海浪，殷晨波，周俊靜，賈文華

(1. 南京工業(yè)大學 車輛與工程機械研究所，江蘇 南京 211800; 2. 南京工程學院，江蘇 南京 211167)

0 引言

液壓挖掘機作為土石方施工機械，在各種工程建設領(lǐng)域所起到的作用越來越明顯，在工程機械中占有十分重要的地位[1]。為實現(xiàn)挖掘機的智能化，提高挖掘機自助挖掘能力，需確定合理的挖掘作業(yè)軌跡規(guī)劃。國內(nèi)外學者圍繞插值函數(shù)，提出諸多軌跡規(guī)劃方法。如朱世強等7次樣條曲線插值函數(shù)，該方法減振效果明顯，但計算復雜，效率低[2]；劉涼等提出采用5次多項式插值法，能夠保證加加速度平穩(wěn)，但必須已知路徑點速度及加速度[3]；Macfarlane提出最小脈動和脈動連續(xù)軌跡規(guī)劃方法[4]。對于挖掘機工作裝置的運動學分析，國內(nèi)外學者一般采用作圖法、矢量代數(shù)法和桿組分析法等。運動學仿真多采用MATLAB/SimMechanics、Pro/E和ADAMS等工具[5]，但其建模方法較為復雜。

考慮到挖掘機工作裝置與機械手較為相似[6]，本文采用機械手運動仿真用的MATLAB/Robotics Toolbox工具箱對某21t級挖掘機工作裝置進行軌跡規(guī)劃及運動仿真，得出挖掘機工作裝置姿態(tài)角、液壓油缸長度以及鏟斗齒尖位移變化曲線。

1 建立運動坐標系

為了描述相鄰桿件之間平移和轉(zhuǎn)動的關(guān)系，Denavit和Hartenberg提出了一種為關(guān)節(jié)鏈中的每一桿件建立附加坐標系的方法[7]。D-H矩陣法是為每個關(guān)節(jié)處的桿件建立四階齊次變換矩陣，表示其與前一桿件坐標系的關(guān)系。本文運用D-H方法，在圖1中建立挖掘機工作裝置運動坐標系。

圖1 挖掘機工作裝置運動學坐標系

每個桿件分別用參數(shù)ai、θi、di、αi描述。其中ai表示zi-1軸與zi軸沿xi軸方向的距離；di表示xi+1軸與xi軸沿zi軸方向的距離；αi表示從軸zi到軸zi+1繞軸xi+1旋轉(zhuǎn)的角度;θi表示從xi+1軸到xi軸繞zi旋轉(zhuǎn)的角度。本文所選挖掘機結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 SY215挖掘機工作裝置D-H參數(shù)

2 運動學分析

2.1 正運動學

挖掘機工作裝置具有4個自由度，需要在四維空間才能唯一表示出來。按選取描述變量不同可分為：以回轉(zhuǎn)馬達轉(zhuǎn)角和三組液壓缸長度所表示的驅(qū)動機構(gòu)空間；回轉(zhuǎn)平臺與底座之間、動臂與回轉(zhuǎn)平臺之間、斗桿與動臂之間、鏟斗與斗桿之間夾角所表示的關(guān)節(jié)空間；鏟斗齒尖在基坐標系中的位置以及鏟斗姿態(tài)角所表示的位姿空間。

如圖1所示，建立挖掘機工作裝置運動學坐標系。根據(jù)機器人運動學可知，空間任意坐標系中向量均可以通過齊次變換矩陣T轉(zhuǎn)換到另一坐標系中，如坐標系i相對于坐標系i-1的變換矩陣[8]為：

(1)

將連桿坐標系變換矩陣相乘，可得鏟斗齒尖的坐標系中相對于基坐標系的變換矩陣為:

(2)

其中：c0=cosθ0；c123=cos(θ1+θ2+θ3)；s0=sinθ0；s123=sin(θ1+θ2+θ3)，依次類推。

令P4為鏟斗齒尖在坐標系O4x4y4z4中的坐標，則鏟斗齒尖在極坐標系中坐標P0為:

(3)

(4)

鏟斗姿態(tài)角β為:

β=θ1+θ2+θ3

(5)

由此便得出關(guān)節(jié)向量空間向鏟斗位姿空間的正向變換。

不考慮挖掘機回轉(zhuǎn)運動時，根據(jù)式(4)可得出如圖2所示挖掘機工作裝置包絡圖，鏟斗齒尖理論上可以到達包絡圖邊界內(nèi)的所有區(qū)域。

圖2 挖掘機工作裝置包絡圖

2.2 逆運動學

對于運動學逆問題求解，主要有3種方法：迭代法、解析法和幾何法。根據(jù)挖掘機工作裝置的結(jié)構(gòu)特性本文應用幾何法逆向求解液壓缸長度與挖掘機工作裝置各關(guān)節(jié)角度的關(guān)系。

以鏟斗液壓缸為例，建立圖3所示的鏟斗結(jié)構(gòu)簡圖。

圖3 鏟斗結(jié)構(gòu)簡圖

圖3中A為動臂與斗桿鉸點；B為鏟斗油缸與斗桿鉸點；C為鏟斗油缸、連桿和搖桿鉸點；D為連桿與鏟斗鉸點；E為搖桿與斗桿鉸點；F為鏟斗與斗桿鉸點；G為鏟斗齒尖。則液壓缸長度為：

(6)

∠BEC=∠BEF-∠CED-∠DEF

(7)

(8)

(9)

(10)

∠DFE=π-θ3-∠DFG-∠AFE

(11)

式中，λ3為鏟斗油缸長度，θ3為鏟斗關(guān)節(jié)角度，lBC為BC兩點之間的距離，同理，其余各物理量幾何參數(shù)如表2所示。

表2 鏟斗逆運動學分析中各桿件參數(shù)

根據(jù)式(6)-式(11),可求得鏟斗油缸長度與鏟斗關(guān)節(jié)角的逆向運動學關(guān)系。同理可得動臂油缸長度λ1與動臂關(guān)節(jié)角度θ1、斗桿油缸長度λ2與斗桿關(guān)節(jié)角度θ2的對應關(guān)系，如圖4所示。

圖4 油缸長度與關(guān)節(jié)角度關(guān)系圖

3 運動學仿真

3.1 Robotics Toolbox運動學建模

Robotics Toolbox是澳大利亞科學家Corke開發(fā)的基于MATLAB的機器人學工具箱，其提供了機器人學研究中許多函數(shù)，如正運動學、逆動力學和Jacobi矩陣。同時該工具箱還可以建立機器人桿件三維模型，并對其進行軌跡規(guī)劃仿真[9]。

根據(jù)表1中挖掘機D-H參數(shù)，利用link([alpha A theta D sigma ,‘standard’])函數(shù)建立挖掘機工作裝置運動學模型。其中，link函數(shù)中standard代表采用標準的D-H參數(shù);參數(shù)alpha代表扭轉(zhuǎn)角αi;參數(shù)A代表桿件長度ai;參數(shù)theta代表關(guān)節(jié)角θi;參數(shù)D代表橫距di;參數(shù)sigma代表關(guān)節(jié)類型：0代表旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，1代表移動關(guān)節(jié)。挖掘機4個關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，所以本文中sigma均為0。

L0=link([pi/2,90,0,1877,0],'standard')；

%回轉(zhuǎn)平臺模型

L1=link([0,5700,0,0,0],'standard')；

%動臂關(guān)節(jié)模型

L2=link([0,2925,0,0,0],'standard')；

%斗桿關(guān)節(jié)模型

L3=link([0,1334,0,0,0],'standard')；

%鏟斗關(guān)節(jié)模型

然后用link.qlim函數(shù)限定各關(guān)節(jié)角度變化范圍，Li.qlim=[θimin,θimax],θimin與θimax分別表示表1中θi的最小角和最大角所對應的的弧度值。再用robot函數(shù)excavator=robot({L0L1L2L3})建立模型，運行drivebot(excavator)程序，得出如圖5所示該挖掘機模型工作裝置的運動調(diào)節(jié)界面和圖6所示挖掘機工作裝置三維視圖。

圖5 挖掘機工作裝置運動調(diào)節(jié)界面

圖6 挖掘機工作裝置三維結(jié)構(gòu)簡圖

本文不考慮挖掘機的回轉(zhuǎn)運動，即令θ0恒等于0，基于此，為了觀察更直觀，可以用view(0,0)函數(shù)將圖6三維視圖轉(zhuǎn)化為基坐標系xoz平面內(nèi)的二維視圖，用axis函數(shù)限定x軸與z軸坐標范圍。

3.2 軌跡規(guī)劃

挖掘機軌跡規(guī)劃是根據(jù)具體的作業(yè)要求，計算出預期的運動軌跡以及各關(guān)節(jié)角度變化趨勢。軌跡規(guī)劃主要包括2種方法：點到點規(guī)劃PTP(point to point)、連續(xù)路徑規(guī)劃CP(continuous path motion)。Robotics Toolbox提供的ctraj、jtraj和trinterp函數(shù)可以實現(xiàn)笛卡爾規(guī)劃、關(guān)節(jié)空間規(guī)劃和變換插值。

本文采用jtraj函數(shù)來實現(xiàn)挖掘機各關(guān)節(jié)連續(xù)路徑規(guī)劃仿真。首先選取軌跡規(guī)劃起點與終點，起點選用最大挖掘高度A，終點選用最大挖掘深度B。使用view(0,0)將工作裝置三維結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)為xz平面二維結(jié)構(gòu)簡圖，通過調(diào)節(jié)圖5中關(guān)節(jié)角度滑塊可以直觀得出最大挖掘高度點與最大挖掘深度點對應的關(guān)節(jié)角變量，分別為qA=[0，1.033 2，-0.607 4，0.907 6]，qB=[0，-0.795 8，-0.775 2，0]。

使用plot命令進行運動仿真，命令如下:

t=[0:0.05:10] %產(chǎn)生時間向量

qA=[0,1.0332,-0.6074,0.9076]；

qB=[0,-0.7958,-0.7752,0]；

%輸入起止點關(guān)節(jié)坐標.

[q qd qdd] =jtraj(qA,qB,t);

%軌跡規(guī)劃命令

再運行程序plot(t,q(：，i))，i=2、3、4，就可得出各關(guān)節(jié)角度變化曲線，如圖7所示。

根據(jù)已規(guī)劃的關(guān)節(jié)角度軌跡以及逆運動學分析，可以在Matlab中求解出挖掘機各工作裝置相應液壓缸的長度變化曲線，如圖8所示。

再根據(jù)軌跡規(guī)劃好的角度變化，采用正運動學求解函數(shù)S=fkine(excavator，q)，可求得挖掘機模型鏟斗齒尖在x、z方向上位移量，如圖9所示。

圖7 關(guān)節(jié)角度變化曲線

圖8 油缸長度變化曲線

圖9 鏟斗齒尖在x、z方向的位移

4 仿真結(jié)果分析

通過調(diào)節(jié)圖5中滑塊位置，可以直觀看出該型號挖掘機最大挖掘高度約為9.3 m，最大挖掘深度約為6.5 m，最大挖掘半徑約為9.5 m，滿足中型挖掘機作業(yè)空間要求，說明了該型號挖掘機工裝裝置尺寸參數(shù)設計的合理性。

在運動仿真過程中，從圖6中觀察到挖掘機鏟斗由最大挖掘高度運動到最大挖掘深度時各個關(guān)節(jié)的運動情況(運動過程是動態(tài)的，文中無法顯示這一過程)，由圖7可以看出各個關(guān)節(jié)運動情況正常。圖8得出在運動過程中，動臂油缸由3.15 m縮為1.87 m，斗桿油缸由2.075 m伸長到2.17 m，鏟斗油缸由1.68 m伸長到2.08 m，油缸伸縮速度穩(wěn)定。圖9得出挖掘機模型末端在作業(yè)空間內(nèi)位置變化平緩，且在運動起始和終止位置速度和角加速度均趨向于零，理論上沒有較大的沖擊。

5 結(jié)語

1) 在機器人理論基礎上，對某21t級中型挖掘機進行了正、逆運動學分析。在MATLAB 2010a環(huán)境下，運用Robotics Toolbox編寫程序語句，對挖掘機工作裝置進行運動學建模和作業(yè)空間測定，該方法建模簡單，可直觀獲取挖掘機作業(yè)空間。

2) 對挖掘機工作裝置進行點到點軌跡規(guī)劃，得出各關(guān)節(jié)姿態(tài)角、油缸長度以及鏟斗齒尖平滑連續(xù)的運動曲線。

3) 運動仿真結(jié)果表明所得出的挖掘機各關(guān)節(jié)運動速度和角加速度變化平穩(wěn)，油缸伸縮速度穩(wěn)定，鏟斗齒尖運動變化平緩，挖掘機在工作過程中沒有較大的沖擊。驗證了該型號挖掘機各關(guān)鍵部位桿件參數(shù)設置的合理性，為挖掘機軌跡規(guī)劃和運動學仿真提供了一種簡便的方法，并為挖掘機自主挖掘研究奠定了運動學基礎。

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