賀斐洋，史治宇

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016)

0 引言

轉(zhuǎn)向架是機(jī)車車輛最重要的組成部件之一，其結(jié)構(gòu)是否合理直接影響機(jī)車車輛的運(yùn)行品質(zhì)、動力性能和行車安全。轉(zhuǎn)向架技術(shù)是靠輪軌接觸運(yùn)行的現(xiàn)代機(jī)車得以生存發(fā)展的核心技術(shù)之一。轉(zhuǎn)向架主要用于承受動車組的質(zhì)量，并把輪軌接觸處產(chǎn)生的輪周牽引力傳遞給車架牽引列車前進(jìn)。當(dāng)路面不夠平整時緩沖路面帶給列車的沖擊；當(dāng)鐵軌轉(zhuǎn)彎時引導(dǎo)列車順利完成變向；當(dāng)列車進(jìn)站或者遇到緊急情況時能夠產(chǎn)生制動力令列車停止。因此獲得高精度的動車組轉(zhuǎn)向架有限元模型對試驗(yàn)和生產(chǎn)都能夠帶來重要的指導(dǎo)意義。本文利用轉(zhuǎn)向架模態(tài)試驗(yàn)的測試信息來修正初始有限元模型，使有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭g的誤差在給定范圍內(nèi)達(dá)到最小，為后續(xù)的頻響分析和疲勞分析提供了更加可靠的有限元模型，進(jìn)一步提高了仿真的準(zhǔn)確性。

根據(jù)修正對象的不同，模型修正方法可以劃分為矩陣型修正方法[1]和參數(shù)型修正方法[2]兩類。本文采用的修正方法是基于靈敏度分析的參數(shù)型修正法。其基本思路是通過構(gòu)造理論模型與實(shí)際模型之間在相同條件下動力特性的誤差，然后選擇修正參數(shù)進(jìn)行修正，使該誤差最小化來達(dá)到修正的目的。其中，基于模態(tài)頻率的修正方法修正精度較高，但試驗(yàn)?zāi)B(tài)技術(shù)通常只能獲得結(jié)構(gòu)低價模態(tài)特性，當(dāng)修正參數(shù)較多時，方程亞定，Chen[3]對此類問題進(jìn)行了研究?；诠逃姓裥偷男拚?，振型數(shù)據(jù)足夠但識別精度較差，因此振型在模型修正中使用較少?；谀B(tài)置信度(MAC)的修正方法對噪聲的敏感度小于振型，但可利用的數(shù)據(jù)數(shù)目同樣不超過識別的模態(tài)數(shù)。Dascotte[4]對方程的性態(tài)問題做了深入研究，F(xiàn)riswell等[5-6]對基于模態(tài)參數(shù)的模型修正方法各個方面問題進(jìn)行了研究，以推動模型修正技術(shù)向前發(fā)展。

本文通過MATLAB編程調(diào)用NASTRAN靈敏度計算分析結(jié)果，采用二次規(guī)劃優(yōu)化算法，以模型材料的彈性模量和模型各主要部分殼單元的厚度為修正對象進(jìn)行了模型修正。進(jìn)而獲得了高精度的動車組轉(zhuǎn)向架有限元模型。

1 模型修正理論

結(jié)構(gòu)的有限元模型總共有n個設(shè)計參數(shù)，其中前m個為待修正的參數(shù)，設(shè)計參數(shù)可以表示為：

P=P1,P2…Pm…PnT

(1)

對應(yīng)的特征量可以表示為：

f=FK,M=FfKp,fMp=fpp

(2)

其中f可以是結(jié)構(gòu)任意的特征量，如模態(tài)頻率、振型等。模型修正問題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題：

(3)

其中{fe}和{fpp}分別代表結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的試驗(yàn)值與分析值；Rp稱之為殘差項(xiàng)；VLB、VUB分別代表結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)的上限和下限；而Wf代表結(jié)構(gòu)各個特征量之間的加權(quán)矩陣。

一般情況下，{fpp}是設(shè)計參數(shù)的非線性函數(shù)。為了將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，在初始設(shè)計點(diǎn)將{fpp}對待修正參數(shù)進(jìn)行一階泰勒展開為：

fpp=fpp0+SΔP

(4)

式中p0是設(shè)計參數(shù)初始值。

(5)

S代表結(jié)構(gòu)特征量對設(shè)計參數(shù)的靈敏度矩陣。Δp=p-p0代表設(shè)計參數(shù)的誤差。利用拉各朗日乘數(shù)法，式(3)的極值問題轉(zhuǎn)化為如下的線性問題。

WfSΔp=Wffe-fpp0

(6)

式(6)就是常見的模型修正方程，且是一個迭代優(yōu)化的過程。具體過程如圖1所示。

圖1 模型修正流程圖

2 靈敏度分析

本文中由于試驗(yàn)主要是得到了構(gòu)件的固有頻率和固有振型，所以重點(diǎn)介紹這兩者的靈敏度[7]。特征值(固有頻率的平方)的靈敏度可以直接獲得解析式，在求解特征值靈敏度問題時，主要有2個重要的約束方程：特征方程和加權(quán)正交方程，即：

K-λrMφr=0

(7)

(8)

由式(7)和式(8)可推得結(jié)構(gòu)的第r階特征值對結(jié)構(gòu)的第j個設(shè)計參數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

(9)

計算振型對設(shè)計參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的典型方法是Nelson法。

令：

(10)

則：

(11)

(12)

(13)

求得方程(11)的特解為：

(14)

(15)

將式(12)帶入式(15)，得到：

(16)

這就求得模態(tài)振型關(guān)于設(shè)計參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

由于振型通常不作為修正目標(biāo)，定義振型相關(guān)系數(shù)如下：第i階試驗(yàn)振型與第j階計算振型的振型相關(guān)系數(shù)即模態(tài)置信度MAC計算式為：

(17)

MAC值是一個介于0～1之間的量，MAC=1代表試驗(yàn)振型和有限元振型完全匹配，MAC=0代表試驗(yàn)振型和有限元振型完全不相關(guān)。將式(17)兩端對結(jié)構(gòu)的第n個設(shè)計參數(shù)求導(dǎo)得：

(18)

3 動車組轉(zhuǎn)向架模型修正

3.1 模型介紹

動車組轉(zhuǎn)向架有限元建模包括輪對、構(gòu)架等關(guān)鍵部件，以及轉(zhuǎn)向架各部件之間的連接。本文僅對轉(zhuǎn)向架構(gòu)架建立縮比模型，并對其進(jìn)行了一定簡化。該構(gòu)架長700mm，寬780mm，高85mm，總重22.8kg。主體結(jié)構(gòu)為鋼制，不同部件通過焊接相連。構(gòu)架模型如圖2所示,A處是左右對稱的2根等強(qiáng)度承重側(cè)梁，這是轉(zhuǎn)向架的主要承力構(gòu)件，受力部分主要集中在側(cè)梁兩端的耳片上。B處是2根等截面橫梁，這是構(gòu)架的主要連接部件，C處代表左右2根空氣彈簧梁，D處代表6個剎車懸掛板、E處代表2根縱向連接梁、F處代表2個齒輪盒。其中A，C，D，E，F(xiàn)都通過焊接的方法連接在橫梁B上。

圖2 動車組轉(zhuǎn)向架模型

構(gòu)架主要由薄壁結(jié)構(gòu)組成，所以選用殼單元建模。首先在建模時，對模型進(jìn)行幾何處理，把倒角、圓角部分去除，一些次要邊界、影響不大的細(xì)小孔洞、凹坑直接填滿，使模型表面盡量光滑，以保證網(wǎng)格質(zhì)量。之后抽取中面，抽取中面的過程中把厚度接近的部分賦予同一種屬性，由于這些厚度屬性所代表的薄壁部分經(jīng)過了建模簡化和幾何處理，并不是嚴(yán)格意義上的等厚度，所以這些殼單元的厚度屬性是主要修正目標(biāo)。針對轉(zhuǎn)向架模型，共設(shè)置了10個殼單元屬性，如圖3所示，圖中不同的顏色代表不同的厚度屬性。其中，由于左右2根側(cè)梁是轉(zhuǎn)向架的主要承力構(gòu)件，所以屬性的劃分比較細(xì)致。側(cè)梁截面上下板厚度、左右板厚度，側(cè)梁兩端截面厚度，側(cè)梁兩端耳片厚度，以及側(cè)梁上表面突出的4個連接件厚度(綠色部分)分別賦予屬性。另外2根橫梁賦予一個屬性，2個空氣彈簧梁賦予一個屬性，縱向連接梁，剎車懸掛板和齒輪盒賦予一個屬性(本刊為黑白印刷，文中有色部分如有疑問，可咨詢作者，下同)。

在四年的時間里，李麗經(jīng)常和師兄師姐聯(lián)系，并在假期的時候去他們的公司實(shí)習(xí)。很快所有的師兄師姐都喜歡上了這個勤奮愛學(xué)的師妹。李麗在師兄師姐的指導(dǎo)下，也學(xué)到了很多知識。在大四上半學(xué)期，當(dāng)別的同學(xué)還在四處為工作奔波的時候，李麗已經(jīng)接到了好幾個師兄師姐入職的邀請。

圖3 動車組轉(zhuǎn)向架屬性圖

3.2 修正參數(shù)篩選

建立好初始有限元模型后，在Nastran中對轉(zhuǎn)向架構(gòu)架有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析。有限元模態(tài)分析和試驗(yàn)分析的匹配情況如圖4所示。

圖4 構(gòu)架模型試驗(yàn)/有限元模態(tài)匹配圖

計算所有厚度屬性以及材料楊氏模量的靈敏度，篩選其中靈敏度較大的量進(jìn)行修正，最后確定了6個待修正參數(shù)，如表1所示。可以看出，影響轉(zhuǎn)向架固有特性的量主要集中在側(cè)梁和橫梁上，而試驗(yàn)中用以測量振型的測點(diǎn)也主要布置在橫梁和側(cè)梁上，試驗(yàn)與有限元分析的結(jié)果相互吻合。

3.3 模型修正計算與分析

設(shè)置加權(quán)方法為：Wλ=0.8,WMAC=0.2。以1∶7階固有頻率和1∶7階MAC值為目標(biāo)，對轉(zhuǎn)向架構(gòu)架進(jìn)行模型修正。修正結(jié)果如圖5-圖9所示。

表1 待修正參數(shù)

圖5表示的是各個參數(shù)的倍數(shù)隨著迭代步數(shù)增加的變化情況。因此修正之后，各參數(shù)的修正值是表1中各參數(shù)的初始值乘以圖5中各參數(shù)最后一步的迭代結(jié)果。圖6表示的是前7階有限元分析模態(tài)頻率和試驗(yàn)分析模態(tài)頻率的誤差隨著迭代步數(shù)增加的變化關(guān)系。結(jié)合表2可以看出，修正前，模態(tài)頻率最大誤差是：11.8 %，最小誤差：1.1 %，平均誤差：5.3%。修正后，模態(tài)頻率最大誤差：3.8%，最小誤差：0.2%，平均誤差：2.0%。除了第1階模態(tài)頻率誤差略有增大，其余階次的模態(tài)頻率誤差都減小了。

圖5 參數(shù)收斂圖(P1至P6依次代表表1中 從上到下第1至6個參數(shù))

圖6 前7階模態(tài)頻率收斂圖(W1至W7依次表示 第1至第7階固有頻率)

圖7 MAC值收斂圖(MAC1至MAC7依次表示 第1至7階MAC值)

圖8 修正后試驗(yàn)/有限元模型模態(tài)匹配圖

圖9 靈敏度矩陣圖

模型修正顯著減小了模態(tài)頻率的誤差。圖7表示的是前7階MAC值隨著迭代步數(shù)增加的變化關(guān)系。可以看出除了第5階MAC值外其余MAC值都在0.9以上，第5階MAC值也在0.8以上。前7階有限元振型和試驗(yàn)振型匹配良好。圖4和圖8分別表示修改前后有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷哪B(tài)匹配情況?？梢园l(fā)現(xiàn)，修正后模態(tài)匹配關(guān)系顯著改善。圖9表示的是有限元分析模態(tài)頻率對各個參數(shù)的靈敏度。第1個參數(shù)的靈敏度最大，代表的是材料的彈性模量，其他的參數(shù)代表的都是殼單元的厚度。由于彈性模量的變化影響到所有單元的剛度矩陣，而殼單元厚度的變化只會影響到部分單元的剛度矩陣，所以第1個參數(shù)的靈敏度顯著大于其他參數(shù)。另外，材料彈性模量一般可以通過試驗(yàn)獲得，是比較可靠的數(shù)據(jù)，在模型修正中一般不產(chǎn)生變化，從圖5中可以看出，參數(shù)1基本在1附近，變化很小。其余修正參數(shù)都代表各個部分殼單元的厚度，由于幾何模型是通過抽中面的方式生成的，而模型各個部分并不是嚴(yán)格意義上的等厚度，所以其余參數(shù)的波動很明顯。

轉(zhuǎn)向架有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷牟顒e主要在于有限元模型在建模過程中，為了保證網(wǎng)格的質(zhì)量，會對工程結(jié)構(gòu)中的孔槽、倒角、凹痕等結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何處理、簡化。另外各部件之間的連接方式也是產(chǎn)生差異的關(guān)鍵所在，試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭懈鱾€零件之間是焊接在一起的，而有限元模型中各零件之間是通過節(jié)點(diǎn)對節(jié)點(diǎn)的方式剛接在一起的，這樣就不可避免地產(chǎn)生了誤差。而通常對試驗(yàn)件進(jìn)行模態(tài)分析又是必不可少的試驗(yàn)過程，所以用試驗(yàn)數(shù)據(jù)來修正有限元模型，為之后的頻響分析、疲勞分析、損傷診斷等提供更加可靠的有限元模型是十分有必要的。

表2 模態(tài)頻率初始值、修正值與目標(biāo)頻率對比

4 結(jié)語

本文基于靈敏度分析的模型修正方法對動車組轉(zhuǎn)向架模型進(jìn)行了模型修正。

1) 對基于靈敏度分析的模型修正技術(shù)進(jìn)行了歸納和總結(jié)，介紹了振型相關(guān)分析，模態(tài)頻率、模態(tài)振型和振型相關(guān)系數(shù)的靈敏度計算方法。

2) 本文利用Nastran可靠的模態(tài)分析和靈敏度分析功能，在Matlab的GUI平臺上開發(fā)了模型修正軟件ModelUpdating。

3) 基于靈敏度分析，運(yùn)用模型修正軟件ModelUpdating對動車組轉(zhuǎn)向架模型進(jìn)行了模型修正。修正之后，有限元模型前7階頻率與試驗(yàn)值的誤差在5%以內(nèi)，前7階振型匹配良好，結(jié)構(gòu)的固有特性能夠收斂到試驗(yàn)?zāi)B(tài)，能夠反映結(jié)構(gòu)的振動特性，修正后的有限元模型滿足工程精度需求。相比于初始有限元模型，修正后的動車組轉(zhuǎn)向架有限元模型為工程上的進(jìn)一步研究，諸如損傷診斷、疲勞分析等，提供了更高精度的有限元模型，對往后的試驗(yàn)和工程應(yīng)用具有指導(dǎo)作用，可以減少試驗(yàn)成本。

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