耿埡洲，孫蓓蓓

(東南大學 機械工程學院，江蘇 南京 211189)

0 引言

動力刀架是高檔數控機床的重要功能部件，其中齒輪傳動系統(tǒng)是控制動力刀具旋轉加工的核心傳動裝置，齒輪系的傳動誤差直接影響動力刀架的動力傳遞與分度定位，影響切削加工質量與傳動精度。同時，也是動力刀架振動與噪聲的重要激勵源之一[1-2]。

國內外學者對動力刀架齒輪系傳動誤差的研究很少，分析其傳動誤差時未能同時考慮齒輪制造、安裝誤差和受載輪齒的彈性變形等因素的影響。對于齒輪傳動誤差，Velex和Kahraman[3-4]研究了輪齒修形、安裝誤差、齒廓誤差等對傳動誤差的影響，分析了輪齒載荷與傳動誤差之間關系。A.Andersson[5]等通過數值仿真分析了不同轉速下由輪齒動載荷引起的動態(tài)傳動誤差和接觸壓力變化。Zdenek[6]等從多體動力學的角度對齒輪傳動誤差進行了預測。唐進元[7]根據傳動誤差定義，構建了齒輪副傳動誤差的概念模型和力學模型，并推導了傳動誤差的計算公式。張靖[8]等建立了多平行軸齒輪系統(tǒng)多自由度集中參數模型，通過仿真獲得齒輪副嚙合的動態(tài)傳動誤差。李忠[9]等根據齒輪的公差等級，應用概率法對火炮方向機齒輪靜傳遞誤差進行了計算，并用有限元法分析了動態(tài)傳動誤差。

上述研究大多分析了傳動誤差的影響因素及其關系，通過仿真與實驗技術預測傳動誤差，僅表現(xiàn)為輪齒某點動態(tài)傳動誤差的時序變化，常用拉格朗日接觸算法求解齒面接觸問題，占用大量計算資源。對于動力刀架齒輪系的傳動誤差研究，本文綜合考慮齒輪制造與安裝過程中齒輪各項誤差的隨機性，應用Monte-Carlo模擬試驗法，計算了輪齒嚙合綜合誤差；根據嚙合剛度理論，提出了一種解析法與虛擬仿真技術相結合的方法，求解齒輪因受載變形產生的傳動誤差；采用基于罰函數的齒面摩擦非線性接觸的建模方法，在保證計算結果正確的前提下，有效地節(jié)省了計算資源。

1 動力刀架齒輪系傳動誤差

1.1 傳動誤差產生機理與影響因素

傳動誤差定義為主動輪單向回轉時，從動輪實際位置與理想位置的差距，理想位置是指主從動輪均為理想漸開線齒形，無彈性變形時從動輪所處位置。

由于齒輪制造誤差、裝配誤差及受載變形等因素的影響，傳動誤差不可避免。齒輪制造時的幾何偏心、齒形誤差和齒厚偏差等誤差，表現(xiàn)為齒輪傳動平面內的轉角誤差和軸向平面內的齒向線誤差，通常可用一齒內的轉角誤差和一周內的轉角誤差綜合表示。裝配誤差是由齒輪實際回轉中心相對理論回轉中心的偏離引起，主要包括齒輪與軸的間隙、軸承與軸的徑向間隙及中心距偏差。齒輪制造誤差和安裝誤差引起的誤差稱為輪齒嚙合綜合誤差。在齒輪嚙合過程中，隨著傳動齒輪和傳動軸受負載轉矩的增大，傳動軸和齒輪產生扭轉變形和彎曲變形，使齒輪轉動角產生滯后，也會引起傳動誤差，主要包括輪齒變形、輪體變形、傳動軸變形及軸承變形等。

傳動誤差運動學模型如圖1所示，主從動輪的基圓半徑分別為rp和rg，嚙合起止始點分別為S、E點，理想的漸開線齒輪在節(jié)點C處嚙合。齒輪嚙合綜合誤差和輪齒受載變形，使齒輪嚙合齒廓偏離理論的理想嚙合位置，破壞了漸開線齒輪的正確嚙合方式，實際的嚙合起始點為S′點，在嚙合線上偏移了一段距離SS′，這種偏移使齒輪瞬時傳動比發(fā)生變化，從而產生傳動誤差。齒輪嚙合過程中的位移型激勵，造成輪齒之間碰撞和沖擊，引起齒輪傳動的振動，這就是齒輪嚙合的誤差激勵機理。

圖1 傳動誤差運動學模型

此外，齒輪傳動過程中齒面摩擦激勵造成齒面磨損、發(fā)熱、能量損耗，影響齒輪沿垂直嚙合線方向的平移振動并制約齒輪扭轉振動，也是影響傳動誤差的重要因素。在齒面存在輕微損傷或齒面潤滑不良的情況下，齒面摩擦力甚至將成為主要的振動源。

1.2 傳動誤差計算模型

傳動誤差通常作為一角值出現(xiàn)，在設計和分析中，考慮到部件的誤差來源時使用線值更方便，用齒輪嚙合作用線方向的位移來計算和分析傳動誤差[10]，符號TE。輪齒在接觸點沿作用力方向的彈性變形包括輪轂扭轉、輪齒彎曲變形和齒面接觸變形。對于單級齒輪副，若主動輪Δt時間內轉過角θp，在嚙合線上的位移為rpθp，則從動輪在嚙合線上的位移是：

rgθg=rpθp-DBp-DHp+Ep+Eg-DBg-DHg

(1)

式中，θp、θg為主、從動輪扭轉角位移；rp、rg為主、從動輪基圓半徑；DBp、DBg分別表示兩輪齒彎曲變形量；DHp、DHg分別表示兩輪齒的接觸變形量；Ep、Eg分別表示兩齒輪的嚙合誤差(含制造和安裝誤差)，負偏差取負值，正偏差取正值。

因此，齒輪傳動誤差表示為：

TE=rpθp-rgθg

(2)

令δ=DBp+DHp+DBg+DHg，表示齒輪沿嚙合線的受載變形量，令E=Ep+Eg，表示輪齒的嚙合綜合誤差，則：

TE=E-δ

(3)

1.3 齒輪各項誤差計算

1) 齒輪制造誤差

(4)

式中：θ為齒輪相位角；z為齒數。

2) 齒輪裝配誤差

齒輪的裝配誤差E″主要由齒輪孔與軸之間的間隙e1、齒輪安裝處軸頸跳動公差e2、軸承的徑向跳動e3組成，計算公式為：

(5)

式中：θi為間隙相位角，均服從0,2π間的均勻分布。

因此，由齒輪制造誤差和裝配誤差引起的輪齒嚙合綜合誤差Ei表示為：

(6)

3) 輪齒變形誤差

動力刀架齒輪系傳動軸和軸承剛度遠大于輪齒剛度，因此齒輪的扭轉變形主要表現(xiàn)為輪轂扭轉、輪齒彎曲變形和齒面接觸變形。為便于分析輪齒扭轉變形產生的傳動誤差，將變形量用在分度圓上的扭轉變形角來描述。根據扭轉嚙合剛度理論[11]，定義扭轉剛度ke為齒輪受載轉矩和輪體受載扭轉角的比值。考慮到齒輪從單齒過渡到雙齒時，齒輪的變形會逐漸變小，引入齒輪重合度系數εα，則齒輪的扭轉變形角位移δ為：

(7)

式中：Δyi為分度圓處扭轉變形量；ke為扭轉嚙合剛度。

1.4 多級齒輪傳動誤差的計算

1) 單個齒輪

齒輪Zi的傳動誤差為Δi，則傳動誤差角度值為：

(8)

式中：di為齒輪Zi的分度圓直徑。

2) 單級齒輪副

一對齒輪副的誤差由主動輪Zi和從動輪Zj的傳動誤差合成。以齒輪Zj為讀數，則一對嚙合齒輪副的單向傳動誤差φi為：

(9)

式中：Δi為齒輪Zi的傳動誤差；Δj為齒輪Zj的傳動誤差；dj為齒輪Zj的分度圓直徑。

3) 多級齒輪傳動系統(tǒng)

對于一個n級傳動的齒輪系統(tǒng)，將各級齒輪副的傳動誤差，通過傳動比等效轉化到輸出齒輪上。以最后一個齒輪為讀數，齒輪系統(tǒng)傳動誤差角度值φn′為：

(10)

式中：ik為第K對齒輪副傳動比，即ik=dk+1/dk。

1.5 動力刀架齒輪傳動系統(tǒng)

本文研究的動力刀架為一種新型全功能動力刀架，中心高為100mm。根據設計要求，刀具最高轉速為4 000r/min，分度精度±4″，重復定位精度±1.6″。動力刀架結構如圖2所示，刀架自帶伺服電機，從系統(tǒng)接入信號即可運行，不需由機床的伺服系統(tǒng)分配動力。該齒輪系屬于高速輕載系統(tǒng)，采用三級齒輪傳動，如圖3所示。動力刀具的驅動系統(tǒng)由獨立電機驅動，動力刀具經過電機齒輪，小過渡齒輪、大過渡齒輪、驅動齒輪，在離合器作用下，刀座與驅動齒輪內孔的一字槽相結合，刀具旋轉加工零件。

1—刀座；2—VDI刀盤；3—傳動箱蓋板；4—端齒盤； 5—齒輪傳動系統(tǒng)；6—離合器；7—箱體；8—傳動箱底板；9—動力電機圖2 動力刀架主要結構爆炸圖

1—電機齒輪；2—小過渡齒輪；3—大過渡齒輪；4—驅動齒輪圖3 動力刀架齒輪系結構圖

該多級平行軸齒輪傳動裝置結構扁平、緊湊，傳動比準確、功率恒定。其中小過渡齒輪和大過渡齒輪為惰齒輪，其材料性能與加工精度具有較高要求，保持了精確的運動配合與動力傳遞，具有其他傳動裝置不可替代的優(yōu)勢。研究其傳動誤差對分析動力刀架齒輪系的傳動特性，提高傳動精度，保證加工質量具有重要的意義。

2 輪齒嚙合誤差的Monte-Carlo模擬

本節(jié)采用Monte-Carlo模擬試驗法，從齒輪制造與安裝產生的各項誤差分析，按齒輪傳動系統(tǒng)各項誤差的概率分布函數，對齒輪系統(tǒng)的傳動誤差進行了統(tǒng)計模擬，在一定置信度下，確定齒輪傳動誤差的大小，為齒輪系統(tǒng)傳動精度的分析與設計提供一定的理論與方法。

結合概率統(tǒng)計法計算傳動誤差，首先作如下假設：

1) 齒輪各項誤差都是連續(xù)型隨機變量。

2) 各項誤差的分布都是相互獨立的。

2.1 隨機變量的分布參數

均服從瑞利分布，兩者相互獨立，其概率分布函數FX、抽樣公式X分別：

(11)

(12)

式中：R為服從0,1均勻分布的隨機變量；η為分布參數。

(13)

(14)

2) 齒輪相位角θ和間隙相位角θi

均服從0,2π間的均勻分布，概率密度函數和抽樣公式分別為：

(15)

X=2πR

(16)

3) 裝配誤差中各間隙ei

均服從正態(tài)分布，抽樣公式和分布參數分別為：

(17)

(18)

式中：μ為均值，σ為標準差。

2.2 動力刀架齒輪嚙合誤差計算

本例分析的某型號動力刀架齒輪系統(tǒng)，其齒輪最大負載轉矩T=40N·m，齒輪采用40Cr，密度為7.87×103kg/m3，彈性模量為2.11×105MPa，泊松比0.28，各級齒輪副重合度系數分別為：1.67、1.80、1.76。該型號齒輪制造商提供的齒輪公差參數如表1所示。

表1 各齒輪主要參數

結合各隨機變量的抽樣函數和分布，本文采用Monte-Carlo法進行了10 000次的隨機抽樣，通過Matlab產生隨機數，根據各項誤差對系統(tǒng)傳動精度的影響關系，對齒輪系統(tǒng)的傳動誤差進行了統(tǒng)計模擬，在一定置信度下，可得該動力刀架齒輪系各齒輪副輪齒嚙合誤差如表2所示，動力刀架齒輪系統(tǒng)最大輪齒嚙合誤差為±6.245 6′。

該型號動力刀架齒輪傳動系統(tǒng)傳動誤差概率分布如圖4所示。應用K-S檢驗法對其正態(tài)性檢驗，結果表明齒輪傳動系統(tǒng)傳動誤差服從于正態(tài)分布，均值為0.025，方差為3.755 5。

圖4 多級齒輪系總靜態(tài)誤差

3 考慮非線性摩擦接觸的動力刀架齒輪系傳動誤差仿真

本節(jié)結合有限元法與解析法，選取某工況下齒輪的扭轉變形量作為考量指標，分析動力刀架齒輪系因受載變形產生的傳動誤差。應用SolidWorks建立各級齒輪副三維模型，HyperMesh進行網格劃分，ABAQUS求解接觸非線性問題。

3.1 有限元建模與假設

為提高網格質量，刪除模型的螺栓孔、倒角等小特征，建立各級齒輪副三維模型，并作如下假設：

1) 不考慮軸承的安裝誤差及剛度的影響；

2) 假定齒輪內孔的軸向位置在嚙合過程中始終固定不變。

所建立的齒輪接觸模型，齒部為關鍵部位，網格質量對分析結果影響較大，網格采用C3D8I單元，并對輪齒局部細化[12]。為實現(xiàn)齒輪系的轉動，在主動輪和從動輪的旋轉中心分別建立質量無窮小(如m=1e-9kg)的集中質量點，將集中質量點與齒輪的內孔面通過BEAM梁單元剛性耦合，最終的有限元模型如圖5所示。

圖5 齒輪副有限元模型

3.2 接觸對定義

本文分析齒輪的齒面接觸屬于強非線性問題，每一對接觸中的力學特性參數是十分重要的數據，在ABAQUS中的接觸設置中，對所有可能接觸的齒面之間設置面-面接觸對。

3.3 邊界條件與載荷步

根據本模型特點，將齒輪嚙合過程設置為2個載荷步：第1個載荷步用來加快計算的收斂速度，實現(xiàn)2個齒輪的壓緊，固定主動輪，賦予從動輪負載轉矩；第2個載荷步用來仿真齒輪的嚙合過程[13]，在ABAQUS中賦予主動輪轉速、從動輪負載轉矩，分析類型為瞬態(tài)動力學分析。

3.4 非線性摩擦接觸的求解

本文建立的考慮齒面摩擦的齒輪副非線性模型，接觸屬于粘結-滑移的接觸，用拉格朗日摩擦公式需要應用附加變量計算每一個接觸單元的節(jié)點，消耗較多計算機資源。而罰函數方法允許接觸表面發(fā)生較小“彈性滑動”，并為滑動表面給定一個初始剛度值(稱為罰剛度)，該“彈性滑動”的數值與單元特征值相比是一個較小的量。經試算罰函數算法也適用于本文，比拉格朗日算法節(jié)省很多的計算機資源，因此本文使用罰摩擦公式求解齒輪的接觸問題，在ABAQUS接觸算法中選擇penalty，設置摩擦系數0.1。

提交模型進行考慮摩擦接觸的非線性仿真計算。

3.5 仿真結果分析

動力刀架齒輪傳動系統(tǒng)齒輪副某工況下，齒輪嚙合應力分析云圖如圖6和圖7所示，位移變形分析云圖如圖8所示。提取各齒輪在負載轉矩作用下分度圓處的變形位移，沿齒寬方向，等距離選取10個齒輪分度圓處點的變形位移，并求其平均值，再由式(7)得各齒輪變形角位移，進而由式(9)和式(10)求得各級齒輪副的傳動誤差和齒輪系統(tǒng)的傳動誤差，結果如表4所示。

圖6 齒輪副嚙合應力圖

圖7 輪齒局部應力圖

圖8 輪齒局部變形云圖

項目齒輪副1-2齒輪副2-3齒輪副3-4Gear1Gear2Gear2Gear3Gear3Gear4位移值/μm7．48532．63245．31831．36255．73072．0410角度值/分0．550180．138960．260460．0183270．0788340．14239齒輪副誤差/分0．533960．089860．54219齒輪系統(tǒng)誤差/分1．7416

因此，該動力刀架齒輪系統(tǒng)受載變形誤差為1.741 6′，輪齒嚙合誤差為±6.245 6′，則該動力刀架齒輪傳動系統(tǒng)的最大傳動誤差為：

TE=E-δ=±6.245 6′-1.741 6′=7.987 2′

4 結語

1) 分析了動力刀架齒輪系傳動誤差影響因素主要包括：齒輪嚙合綜合誤差和輪齒受載變形，建立了齒輪傳動誤差計算模型，推導了多級齒輪傳動系統(tǒng)傳動誤差計算公式。

2) 基于齒輪各項誤差的概率分布，采用Monte-Carlo法對動力刀架齒輪系的嚙合綜合誤差統(tǒng)計模擬，在一定置信度下，確定動力刀架齒輪系最大嚙合綜合誤差為±6.245 6′，通過K-S檢驗法，證明齒輪系統(tǒng)嚙合綜合誤差服從于正態(tài)分布。

3) 建立了考慮齒面摩擦的動力刀架齒輪傳動系統(tǒng)非線性有限元模型，通過虛擬仿真技術分析齒輪受載變形，得出輪齒受載變形誤差為1.741 6′，進而得到動力刀架齒輪系最大傳動誤差為7.987 2′。

4) 提出了一種將有限元法與解析法結合的求解輪齒變形誤差的方法，為分析齒輪傳動誤差提供了一種思路。提出用罰函數法求解齒輪非線性接觸問題，有效節(jié)省了計算機資源，得到了較好的結果，為齒輪嚙合的非線性建模提供了重要的參考。

參考文獻:

[1] 許麗嬌. 刀架動力傳動系統(tǒng)動力學特性研究及優(yōu)化[D]. 南京:東南大學,2015.

[2] Jiande Wang, Ian Howard. Finite element analysis of high contact ratio spur gears in mesh[J]. Joumal of Tribology, 2005,127(3):469-483.

[3] Velex P, Bruyère J, Houser D R. Some analytical results on transmission errors in narrow-faced spur and helical gears: influence of profile modifications[J]. Journal of mechanical design, Transaction of the ASME, 2011, 133(3): 1-11.

[4] Tamminana V K, Kahraman A, Vijayakar S. A study of the relationship between the dynamic factors and dynamic transmission error of spur gear pairs[J]. Journal of mechanical design, Transaction of the ASME, 2007, 129(1): 75-84.

[5] A.Andersson, L.Vedmar. A dynamic model to determine vibrations in involute helical gears[J]. Journal of Sound and Vibration, 2003,260(2):195-212.

[6] Zdenek Neusser. Multi-body dynamics based gear mesh models for prediction of gear dynamics and transmission error[R]. Sae World Congress & Exhibition,2010.

[7] 唐進元. 齒輪傳遞誤差計算新模型[J]. 機械傳動, 2008,32(6): 13-14.

[8] 張靖，陳兵奎，康傳章，等. 計及齒面摩擦的直齒輪動力學分析[J]. 振動與沖擊,2012(21): 126-132.

[9] 李忠，韓崇偉，趙宇和，等. 基于概率法與有限元法的火炮方向機齒輪傳動誤差分析[J]. 火炮發(fā)射與控制學報,2015(1):58-63.

[10] Smith J D. Gear Noise and Vibration [M]. New York: Marcel Dekker, 2004: 1-20.

[11] 劉剛. 閻石林. 齒輪扭轉嚙合剛度數值計算方法研究[J]. 煤礦機械, 2012, 33(11):34-35.

[12] Chen Y C, Tsay C B. Stress analysis of a helical gear set with localized bearing contact [J]. Finite Elements in Analysis and Design,2002(38):707-723.

[13] 楊佳寧. 伺服轉塔刀架疲勞壽命可靠性分析[D]. 南京:東南大學,2014.