江蘇省江陰市華士高級中學(xué) (214421)

鄒少蘭 沈亞軍

已知x,y∈R且滿足x2+2xy+4y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為 ．

本道題年級理科班240個學(xué)生中只有一個人答對，正確率幾乎為零.而筆者通過研究發(fā)現(xiàn)解決此題的方法頗多，具有較大的研究價值.為此，筆者針對此題專門開設(shè)了一堂“一題多解，織線成網(wǎng)”的專題課，嘗試著通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握求值域問題的通法和特殊方法；夯實雙基，把學(xué)習(xí)過的知識融會貫通；將各種獨立的知識線條連接成知識網(wǎng)絡(luò)，學(xué)會從多個角度分析問題，培養(yǎng)發(fā)散思維，提高解題能力.

1.從學(xué)情出發(fā)，夯實雙基

然而由于條件x2+2xy+4y2=6的限制，xy并不能取到任意實數(shù).學(xué)生利用基本不等式只得出最小值，而最大值被忽略了.

綜上,z∈[4,12].

綜上,z∈[4,12].

學(xué)生在解決多元變量問題時常會利用基本不等式實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化，但他們忽略了基本不等式只能求出范圍的一端也就是最值，說明學(xué)生對基本不等式知識的掌握還不夠牢固.法一法二從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，在學(xué)生解題的基礎(chǔ)上加以修正，在夯實基礎(chǔ)的同時使解題更完整更嚴謹.

2.在能力上提升，融會貫通

多變量的最值問題的通法是將變量減少至一元變量，然后利用一元變量求最值的方法解答.

∵t≥0，(6-t)2≥0，方程(**)必有正根，∴Δ≥0得t∈[4,12]，即z∈[4,12].

這四種方法都是將二元變量轉(zhuǎn)化成一元變量的常用方法.通過這四種解題方法引領(lǐng)學(xué)生從不同視角觀察研究問題，既得出了通性通法，也讓學(xué)生感受各類相互獨立的知識之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，只有融會貫通地運用數(shù)學(xué)知識才能使解題道路更寬闊，思維能力得以提升，知識結(jié)構(gòu)得以完善.

3.于方法處飛躍，引而伸之

導(dǎo)函數(shù)是求函數(shù)最值問題的常用方法，而對于多元變量我們也可以使用偏導(dǎo)數(shù)來解決.

綜上,z∈[4,12].

z=f(x,y)除受定義域的約束外，還受φ(x,y)=0條件的限制，這樣的極值問題稱為條件極值，條件極值問題均可以用拉格朗日數(shù)乘法和幾何模型法來解決.

雖然法七和法八運用了高等數(shù)學(xué)知識，但這兩種方法也是解決多元最值的通法.類比一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)學(xué)生較好理解.在解決難題時，這未嘗不是一種新法.

4.結(jié)束語

“工欲善其事，必先利其器”，一題多解可以讓學(xué)生多角度考察問題，能讓學(xué)生掌握更多的解題方法，把這些思想方法互相滲透，能促進學(xué)生思考能力的提升，在遇到問題時有所選擇.教師若能在課堂教學(xué)中體現(xiàn)一題多解的思想，必能讓課堂更高效.