福建省古田縣第一中學(xué) (352200)

蘭詩全

1 問題緣起

筆者發(fā)現(xiàn)在一本教學(xué)參考書有以下一例并作了錯因分析.

題目在鈍角三角形ΔABC中，a=1,b=2,c=t,且C是最大角，求實數(shù)t的取值范圍.

2 筆者(甲方)的理解

筆者閱后進行一番思考:以上錯因分析擊中要害了嗎?為什么?

若按照以上錯因分析的說法,即用了余弦定理后,還要再考慮三邊能否構(gòu)成三角形.難道三邊滿足了余弦定理,還未必能構(gòu)成三角形?故筆者作以下探索.

證明:∵0

∴a+b>c.

所以不難有結(jié)論:若三邊滿足余弦定理,則這三邊一定能構(gòu)成一個三角形.故參考書中的錯因分析未能擊中要害,未揭示問題的本質(zhì),易引起誤解.

那么,以上錯解究竟錯在哪里呢?關(guān)鍵是未將問題作等價轉(zhuǎn)化.并提供以下正解.

最后點擊:千萬別小看這小小的改動,它可擊中要害,是對問題的本質(zhì)理解.數(shù)學(xué)解題一定要突出方法,突出問題的本質(zhì)與規(guī)律,這樣才能達到真正理解.

3 乙方的理解

(1)以上甲方的分析有一點自圓其說、一廂情愿的意味．原來的解法只應(yīng)用了余弦定理，顯然沒有關(guān)注到這個三角形存在的條件．只有確保1、2、t三條線段能夠構(gòu)成一個三角形，才能使用余弦定理討論最大邊t應(yīng)滿足的條件，否則屬不嚴(yán)密．而不是甲方理解為“在應(yīng)用了余弦定理后還要再考慮三邊能否構(gòu)成三角形”，甲方未能正確理解別人意圖．甲方的分析有一個邏輯順序的問題．

(2)如何滿足余弦定理？如此，是否不需要討論三角形任意兩邊之和大于第三邊的條件？后面的解答過程中，得到的t2<9，其實質(zhì)上還是三條線段的長能夠構(gòu)成三角形的條件，何必多此一舉，人為復(fù)雜化．

(3)甲方前面的討論，有循環(huán)論證之嫌，值得推敲．甲方給出的解答，明顯的是簡單問題復(fù)雜化，不符合大多數(shù)人(有條有理、由淺入深、層層遞進)的思維習(xí)慣．甲方的解法非最簡潔、最本質(zhì)．不值得提倡．

(4)對甲方的解答“擊中要害”，“是對問題的本質(zhì)理解”，實在看不出來，只覺得沒有必要．

4 筆者(甲方)的再強調(diào)

(1)解題真的要注意邏輯順序問題．乙方認為，原來的解法只應(yīng)用了余弦定理，顯然沒有關(guān)注到這個三角形存在的條件．筆者認為，若三邊滿足余弦定理,則這三邊一定能構(gòu)成一個三角形，根本不必再檢驗三邊是否滿足構(gòu)成三角形．?dāng)?shù)學(xué)解題中何時要檢驗，何時不必檢驗，這個邏輯順序問題要清楚．

(2)等價轉(zhuǎn)化的思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一，不要只“意會”，要落實到具體的解題之中．原來的解法根本錯在沒有用夠余弦定理，沒有對問題進行等價轉(zhuǎn)化造成的錯解．

∵ΔABC是鈍角三角形且C是最大角,∴90°

后面的解答過程中，得到的t2<9，雖其最終還是三條線段的長能夠構(gòu)成三角形的條件，但有個邏輯順序的問題．這不是多此一舉，人為復(fù)雜化．

(3)甲方前面的討論，正是為了解決循環(huán)論證問題．若三邊滿足余弦定理,則這三邊一定能構(gòu)成一個三角形，根本不必再檢驗三邊是否滿足構(gòu)成三角形．

(4)有條有理、由淺入深、層層遞進的思維不是絕對的好思維習(xí)慣．全面考慮等價轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中往往更值得提倡．

“問題將越辨越明，認識將越分析越深刻．”“討論是學(xué)習(xí)，交流促進步．”親愛的讀者朋友們，你認為兩種理解哪種更合理？你還有哪些想法？希望能展開熱烈的討論．