劉長柱，曹 巖，賈 峰，高 碩，韓 沖

0 前言

機器人運動學分析是機器人研究和設計的基礎，是機器人研究中動力學分析、運動控制及機器視覺研究等內容的前提[1]。機器人技術日新月異，機器人運動學仿真和軌跡規(guī)劃在機器人設計、控制方面具有重要意義。對于機器人運動系統(tǒng)的研究和確立，很大程度上影響了機器人系統(tǒng)整體的基本性能[2]。SCARA機器人關節(jié)較少，運動靈活，精度較高，經常用來完成一些搬運、裝配任務。由于機器人價格昂貴，不便用實物進行試驗，因此在進行裝配任務之前需要規(guī)劃其運動軌跡，對機器人進行運動學仿真，研究機器人的動態(tài)性能。

關節(jié)式機器人由一系列關節(jié)和連桿按任意的順序連接而成，根據關節(jié)與連桿參數進行矩陣變換，利用高斯消去等方法求解變換矩陣的逆，推導出機器人運動學方程。本文以四自由度SCARA機器人為研究對象，利用D－H參數法建立SCARA機器人運動學模型，建立各關節(jié)坐標，求出正逆解表達式。然后借助MATLAB Robotics工具箱，驗證SCARA機器人運動學參數的正確性，研究運動學方程和進行軌跡規(guī)劃。求解各個機械臂運動參數變化，利用MATLAB工具箱，減少原本繁瑣的數學計算，具有一定的實際研究意義。

1 SCARA機器人運動學分析

機器人運動學分析[3]是通過分析機器人各連桿參數進一步計算末端執(zhí)行器的位姿。接下來通過D-H參數法建立SCARA機器人每個連桿的笛卡爾坐標系和連桿參數，利用齊次矩陣和D－H參數法建立機器人運動學方程。在SolidWorks軟件下建立SCARA機器人的三維模型，如圖1所示。SCARA機器人具有四個自由度，大臂、小臂的回轉運動，執(zhí)行末端繞Z軸旋轉和沿Z軸上下移動。SCARA機器人主要完成搬運、裝配等工作，各關節(jié)的笛卡爾坐標系如圖2所示，D-H連桿參數表如表1所示。

圖1 SCARA機器人三維模型

表1中，桿件長度為：d1=370 mm，d3=320 mm，關節(jié)距離為：L1=300 mm，L2=250 mm。

圖2 SCARA機器人的D-H坐標系

表1 運動參數和關節(jié)變量

1.1 正運動學分析

機器人的正運動學的前提是已知各桿件的D-H參數和關節(jié)變量，進一步計算機器人末端連桿的坐標系相對于基礎坐標系的位姿。通常i-1Ti表示連桿i-1在連桿i坐標系中的位姿（i=1，2，3，4）。

式 （1） 中， cθi=cosθi， sθi=sinθi， cαi=cosαi，sαi=sinαi， θi為SCARA機器人i關節(jié)轉角， αi為繞 xi軸從zi-1轉至zi扭角，di為沿zi-1軸從xi-1軸量至xi軸連桿距離，將各個連桿變換矩陣依次相乘，求解機器人末端執(zhí)行器正運動學方程：

式（2）為SCARA機器人手臂變換矩陣0T4，指的是末端坐標系相對基坐標系的位姿，也是研究機器人關節(jié)運動的重要環(huán)節(jié)。式（2）中：

其中θ1、θ2、θ3和θ4為已知SCARA機器人各關節(jié)轉角，nx、ny、 px、 py和 pz是待求解的機械臂末端執(zhí)行器位姿，并且 nx=oy， ny=-ox， az=1， si=sinθi，ci=cosθi， sij=sin(θi+θj)， cij=cos(θi+θj)。

1.2 逆運動學分析

機器人的逆運動學分析是使驅動機器人達到期望位置，計算機器人各關節(jié)和連桿變量[3-5]。機器人逆運動學分析具有多解性，根據機器人的實際工作環(huán)境，得出唯一正確解。利用變量分離法，將單個矩陣的逆T-1n-1（n=1，2，3，4）左乘上面所列方程兩端，令對應元素對應相等，可求出各關節(jié)變量值。

（1）求關節(jié)變量1

（2）求關節(jié)變量2

（3）求關節(jié)變量d3

令左右矩陣中的第三行第四個元素（3.4）相等，可得：

式（5）中：d3為關節(jié)變量，即沿z2軸從x2軸量至x3軸連桿距離，pz是已知的機械臂末端執(zhí)行器位姿。

（4）求關節(jié)變量θ4

令左右矩陣中的第二行第一個元素（1.1，2.1）相等，即：

式（6）中：nx和ny是已知的機械臂末端執(zhí)行器位姿，θ1、θ2和θ4待求解的SCARA機器人關節(jié)1、2和4轉角。

2 SCARA機器人軌跡規(guī)劃及仿真

軌跡規(guī)劃是根據機器人執(zhí)行的命令，滿足一定的束縛，分析機器人手臂關節(jié)在工程運動中各關節(jié)轉角的運動變化。機器人的軌跡規(guī)劃對機器人運動速度、精度、沖擊和振動有重要影響，一種好的軌跡規(guī)劃方法可以提高機器人的穩(wěn)定性、工作效率[6]。

2.1 SCARA機器人模型

（1）在進行運動學仿真前，根據表1的參數，調用MATLAB工具箱中Robotics Toolbox的Link和Robot函數創(chuàng)建機器人對象[7]，將機器人命名為‘SCARA’，L=Link([al?phaA theta D sigma]，CONVENTION)，

＞＞L1=LINK([0 0 0 370 0]，'mod');

＞＞L2=LINK([0 300 0 0 0]，'mod');

＞＞L3=LINK([0 250 0 0 1]，'mod');

＞＞L4=LINK([0 0 0-500 0]，'mod');

＞＞S=robot({L1，L2，L3，L4}，'SCARA');

參數CONVENTION可以取‘standard’和‘modified’，其中‘standard’代表采用標準的D-H參數，‘modified’代表采用改進的D-H參數。參數‘alpha’代表扭轉角，參數‘A’代表桿件長度，參數‘theta’代表關節(jié)角，參數‘D’代表橫距，參數‘sigma’代表關節(jié)類型：0代表旋轉關節(jié)，非0代表移動關節(jié)。

（2）假使初始狀態(tài)機器人各關節(jié)角度為零。通過如下程序，即可顯示θi=0時，SCARA機器人的三維圖，如圖3所示。

圖3 SCARA機器人三維模型圖

＞＞plot(S，［0 0 0 0］)

（3）通過drivebot函數可以驅動機器人運動，如圖4所示，通過調節(jié)滑塊按鈕可以觀察機器人末端相對于基坐標系的空間位置變化情況。

＞＞drivebot(SCARA)

圖4 SCARA機器人關節(jié)驅動圖

2.2 軌跡規(guī)劃及仿真

假設該機器人的各關節(jié)的初始角度為Q0=[0 0 0 0]，末關節(jié)角度為Q1=[pi/2 pi/4 0-pi/4]。利用工具箱中[Q QD QDD]=JTRAJ(Q0，Q1，T)命令來對多關節(jié)機器人進行仿真。仿真程序如下：

圖5 機器人末端在X、Y、Z方向上的位移

＞＞t=0∶0.056∶2;%時間向量

＞＞Q0=[0 0 0 0];%初始位姿

＞＞Q1=[pi/2 0 pi/4-pi/4];%末位姿

＞＞[Q QD QDD]=JTRAJ(Q0，Q1，t);%關節(jié)空間規(guī)劃

＞＞T=FKINE(SCARA，Q);%機器人運動學正問題求解

＞＞ subplot(3，1，1);

＞＞plot(t，squeeze(T(1，4，∶)));

＞＞xlabel('Time(s)');

＞＞ylabel('X(m)');

…%機器人末端的運動軌跡曲線如圖5所示。

其中，參數Q為從初始狀態(tài)Q0到末狀態(tài)Q1的關節(jié)空間規(guī)劃軌跡，TR是Q定義的每個向前運動學的正解，QD和QDD為返回的規(guī)劃軌跡的速度和加速度。

用MATLAB Robotics中的plot函數對各關節(jié)運動軌跡進行仿真，編程得出SCARA機器人關節(jié)角位移、速度和加速度規(guī)劃軌跡曲線如圖6所示。部分程序如下：

＞＞subplot(2，2，1);

＞＞plot(t，Q(∶，1));

＞＞xlabel('Time(s)');

＞＞ylabel('joint1(rad)');

＞＞subplot(2，2，2);

＞＞ plot(t，Q(∶，2));

＞＞xlabel('Time(s)');

圖6 關節(jié)空間軌跡規(guī)劃仿真結果

＞＞ylabel('joint2(rad)');

…

結合各關節(jié)的運動仿真及圖6可得出，關節(jié)機器人從初始狀態(tài)到末狀態(tài)過程中，運動平穩(wěn)，速度和加速度變化平滑，無突變。表明機器人手臂在工作過程中沖擊較小，SCARA機器人連桿參數設計合理，可以達到期望的效果。

3 運動學正逆問題的驗證

3.1 運動學的正問題

機器人運動學正問題給定關節(jié)角度變量Q，求末端執(zhí)行器相對基座的位姿矩陣0T4。運用MATLAB對0T4進行求解，取各連桿變量：Q=[pi/4 pi/2 0-pi/4]，根據前面推導的方程可求得末端執(zhí)行器的位姿矩陣0T4，用fkine函數TR=FKINE(SCARA，Q)，輸入上述關節(jié)變量值，直接得到機器人末端執(zhí)行器的位姿矩陣。兩者結果相等，表明運動學正問題求解無誤。

3.2 運動學的逆問題

機器人的運動學的逆問題與正問題不同具有復雜性。通過ikine函數設定初始值，運用數值迭代法經過多次迭代來求解關節(jié)角，可得到逆運動學的唯一解[8-9]。調用Q=IKINE(SCARA，T，Q)函數，實現機器人運動學逆問題的求解。MATLAB軟件為機器人的研究提供了強大的分析和仿真能力，為之后的機器人動力學分析和軌跡規(guī)劃奠定了基礎。

4 結論

本文以SCARA四自由度機器人為研究對象，借助MATLAB Robotics Toolbox工具箱，求解機器人的運動學方程和軌跡仿真。結果表明：（1）通過移動手柄位置，可以觀察機器人末端執(zhí)行器運動狀態(tài)；（2）通過規(guī)劃機器人運動軌跡，得出末端執(zhí)行器軌跡曲線；（3）驗證了運動學正逆解的正確性，表明機器人結構參數設計合理。

參考文獻：

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［4］劉萍，陳瑩.五自由度關節(jié)式機械手運動學分析及仿真［J］.制造業(yè)自動化，2011（19）：9-11.

［5］張普行，嚴軍輝，賈秋玲.六自由度機械手的運動學分析［J］.制造業(yè)自動化，2011（20）：68-71.

［6］楊成文，張鐵.基于ADAMS的SCARA機器人運動學仿真研究 ［J］.機床與液壓，2011，39（21）：118-121.

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［8］劉輝，毛璐瑤，陳啟愉，等.基于數值模擬技術的SCARA機器人本體設計與優(yōu)化［J］.機電工程技術，2017，46（6）：1-6.

［9］陳桂，王建紅，湯玉東.KUKA機器人運動學仿真與實驗研究［J］.組合機床與自動化加工技術，2014（8）：94-97.