劉長(zhǎng)柱，曹 巖，賈 峰，高 碩，韓 沖

0 前言

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是機(jī)器人研究和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，是機(jī)器人研究中動(dòng)力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)控制及機(jī)器視覺(jué)研究等內(nèi)容的前提[1]。機(jī)器人技術(shù)日新月異，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真和軌跡規(guī)劃在機(jī)器人設(shè)計(jì)、控制方面具有重要意義。對(duì)于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的研究和確立，很大程度上影響了機(jī)器人系統(tǒng)整體的基本性能[2]。SCARA機(jī)器人關(guān)節(jié)較少，運(yùn)動(dòng)靈活，精度較高，經(jīng)常用來(lái)完成一些搬運(yùn)、裝配任務(wù)。由于機(jī)器人價(jià)格昂貴，不便用實(shí)物進(jìn)行試驗(yàn)，因此在進(jìn)行裝配任務(wù)之前需要規(guī)劃其運(yùn)動(dòng)軌跡，對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，研究機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能。

關(guān)節(jié)式機(jī)器人由一系列關(guān)節(jié)和連桿按任意的順序連接而成，根據(jù)關(guān)節(jié)與連桿參數(shù)進(jìn)行矩陣變換，利用高斯消去等方法求解變換矩陣的逆，推導(dǎo)出機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。本文以四自由度SCARA機(jī)器人為研究對(duì)象，利用D－H參數(shù)法建立SCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，建立各關(guān)節(jié)坐標(biāo)，求出正逆解表達(dá)式。然后借助MATLAB Robotics工具箱，驗(yàn)證SCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的正確性，研究運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和進(jìn)行軌跡規(guī)劃。求解各個(gè)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化，利用MATLAB工具箱，減少原本繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，具有一定的實(shí)際研究意義。

1 SCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[3]是通過(guò)分析機(jī)器人各連桿參數(shù)進(jìn)一步計(jì)算末端執(zhí)行器的位姿。接下來(lái)通過(guò)D-H參數(shù)法建立SCARA機(jī)器人每個(gè)連桿的笛卡爾坐標(biāo)系和連桿參數(shù)，利用齊次矩陣和D－H參數(shù)法建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。在SolidWorks軟件下建立SCARA機(jī)器人的三維模型，如圖1所示。SCARA機(jī)器人具有四個(gè)自由度，大臂、小臂的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，執(zhí)行末端繞Z軸旋轉(zhuǎn)和沿Z軸上下移動(dòng)。SCARA機(jī)器人主要完成搬運(yùn)、裝配等工作，各關(guān)節(jié)的笛卡爾坐標(biāo)系如圖2所示，D-H連桿參數(shù)表如表1所示。

圖1 SCARA機(jī)器人三維模型

表1中，桿件長(zhǎng)度為：d1=370 mm，d3=320 mm，關(guān)節(jié)距離為：L1=300 mm，L2=250 mm。

圖2 SCARA機(jī)器人的D-H坐標(biāo)系

表1 運(yùn)動(dòng)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量

1.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)的前提是已知各桿件的D-H參數(shù)和關(guān)節(jié)變量，進(jìn)一步計(jì)算機(jī)器人末端連桿的坐標(biāo)系相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位姿。通常i-1Ti表示連桿i-1在連桿i坐標(biāo)系中的位姿（i=1，2，3，4）。

式 （1） 中， cθi=cosθi， sθi=sinθi， cαi=cosαi，sαi=sinαi， θi為SCARA機(jī)器人i關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角， αi為繞 xi軸從zi-1轉(zhuǎn)至zi扭角，di為沿zi-1軸從xi-1軸量至xi軸連桿距離，將各個(gè)連桿變換矩陣依次相乘，求解機(jī)器人末端執(zhí)行器正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

式（2）為SCARA機(jī)器人手臂變換矩陣0T4，指的是末端坐標(biāo)系相對(duì)基坐標(biāo)系的位姿，也是研究機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的重要環(huán)節(jié)。式（2）中：

其中θ1、θ2、θ3和θ4為已知SCARA機(jī)器人各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，nx、ny、 px、 py和 pz是待求解的機(jī)械臂末端執(zhí)行器位姿，并且 nx=oy， ny=-ox， az=1， si=sinθi，ci=cosθi， sij=sin(θi+θj)， cij=cos(θi+θj)。

1.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是使驅(qū)動(dòng)機(jī)器人達(dá)到期望位置，計(jì)算機(jī)器人各關(guān)節(jié)和連桿變量[3-5]。機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析具有多解性，根據(jù)機(jī)器人的實(shí)際工作環(huán)境，得出唯一正確解。利用變量分離法，將單個(gè)矩陣的逆T-1n-1（n=1，2，3，4）左乘上面所列方程兩端，令對(duì)應(yīng)元素對(duì)應(yīng)相等，可求出各關(guān)節(jié)變量值。

（1）求關(guān)節(jié)變量1

（2）求關(guān)節(jié)變量2

（3）求關(guān)節(jié)變量d3

令左右矩陣中的第三行第四個(gè)元素（3.4）相等，可得：

式（5）中：d3為關(guān)節(jié)變量，即沿z2軸從x2軸量至x3軸連桿距離，pz是已知的機(jī)械臂末端執(zhí)行器位姿。

（4）求關(guān)節(jié)變量θ4

令左右矩陣中的第二行第一個(gè)元素（1.1，2.1）相等，即：

式（6）中：nx和ny是已知的機(jī)械臂末端執(zhí)行器位姿，θ1、θ2和θ4待求解的SCARA機(jī)器人關(guān)節(jié)1、2和4轉(zhuǎn)角。

2 SCARA機(jī)器人軌跡規(guī)劃及仿真

軌跡規(guī)劃是根據(jù)機(jī)器人執(zhí)行的命令，滿(mǎn)足一定的束縛，分析機(jī)器人手臂關(guān)節(jié)在工程運(yùn)動(dòng)中各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)變化。機(jī)器人的軌跡規(guī)劃對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度、精度、沖擊和振動(dòng)有重要影響，一種好的軌跡規(guī)劃方法可以提高機(jī)器人的穩(wěn)定性、工作效率[6]。

2.1 SCARA機(jī)器人模型

（1）在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真前，根據(jù)表1的參數(shù)，調(diào)用MATLAB工具箱中Robotics Toolbox的Link和Robot函數(shù)創(chuàng)建機(jī)器人對(duì)象[7]，將機(jī)器人命名為‘SCARA’，L=Link([al?phaA theta D sigma]，CONVENTION)，

＞＞L1=LINK([0 0 0 370 0]，'mod');

＞＞L2=LINK([0 300 0 0 0]，'mod');

＞＞L3=LINK([0 250 0 0 1]，'mod');

＞＞L4=LINK([0 0 0-500 0]，'mod');

＞＞S=robot({L1，L2，L3，L4}，'SCARA');

參數(shù)CONVENTION可以取‘standard’和‘modified’，其中‘standard’代表采用標(biāo)準(zhǔn)的D-H參數(shù)，‘modified’代表采用改進(jìn)的D-H參數(shù)。參數(shù)‘a(chǎn)lpha’代表扭轉(zhuǎn)角，參數(shù)‘A’代表?xiàng)U件長(zhǎng)度，參數(shù)‘theta’代表關(guān)節(jié)角，參數(shù)‘D’代表橫距，參數(shù)‘sigma’代表關(guān)節(jié)類(lèi)型：0代表旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，非0代表移動(dòng)關(guān)節(jié)。

（2）假使初始狀態(tài)機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度為零。通過(guò)如下程序，即可顯示θi=0時(shí)，SCARA機(jī)器人的三維圖，如圖3所示。

圖3 SCARA機(jī)器人三維模型圖

＞＞plot(S，［0 0 0 0］)

（3）通過(guò)drivebot函數(shù)可以驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，如圖4所示，通過(guò)調(diào)節(jié)滑塊按鈕可以觀察機(jī)器人末端相對(duì)于基坐標(biāo)系的空間位置變化情況。

＞＞drivebot(SCARA)

圖4 SCARA機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)圖

2.2 軌跡規(guī)劃及仿真

假設(shè)該機(jī)器人的各關(guān)節(jié)的初始角度為Q0=[0 0 0 0]，末關(guān)節(jié)角度為Q1=[pi/2 pi/4 0-pi/4]。利用工具箱中[Q QD QDD]=JTRAJ(Q0，Q1，T)命令來(lái)對(duì)多關(guān)節(jié)機(jī)器人進(jìn)行仿真。仿真程序如下：

圖5 機(jī)器人末端在X、Y、Z方向上的位移

＞＞t=0∶0.056∶2;%時(shí)間向量

＞＞Q0=[0 0 0 0];%初始位姿

＞＞Q1=[pi/2 0 pi/4-pi/4];%末位姿

＞＞[Q QD QDD]=JTRAJ(Q0，Q1，t);%關(guān)節(jié)空間規(guī)劃

＞＞T=FKINE(SCARA，Q);%機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題求解

＞＞ subplot(3，1，1);

＞＞plot(t，squeeze(T(1，4，∶)));

＞＞xlabel('Time(s)');

＞＞ylabel('X(m)');

…%機(jī)器人末端的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線如圖5所示。

其中，參數(shù)Q為從初始狀態(tài)Q0到末狀態(tài)Q1的關(guān)節(jié)空間規(guī)劃軌跡，TR是Q定義的每個(gè)向前運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解，QD和QDD為返回的規(guī)劃軌跡的速度和加速度。

用MATLAB Robotics中的plot函數(shù)對(duì)各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行仿真，編程得出SCARA機(jī)器人關(guān)節(jié)角位移、速度和加速度規(guī)劃軌跡曲線如圖6所示。部分程序如下：

＞＞subplot(2，2，1);

＞＞plot(t，Q(∶，1));

＞＞xlabel('Time(s)');

＞＞ylabel('joint1(rad)');

＞＞subplot(2，2，2);

＞＞ plot(t，Q(∶，2));

＞＞xlabel('Time(s)');

圖6 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃仿真結(jié)果

＞＞ylabel('joint2(rad)');

…

結(jié)合各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)仿真及圖6可得出，關(guān)節(jié)機(jī)器人從初始狀態(tài)到末狀態(tài)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，速度和加速度變化平滑，無(wú)突變。表明機(jī)器人手臂在工作過(guò)程中沖擊較小，SCARA機(jī)器人連桿參數(shù)設(shè)計(jì)合理，可以達(dá)到期望的效果。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆問(wèn)題的驗(yàn)證

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)的正問(wèn)題

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題給定關(guān)節(jié)角度變量Q，求末端執(zhí)行器相對(duì)基座的位姿矩陣0T4。運(yùn)用MATLAB對(duì)0T4進(jìn)行求解，取各連桿變量：Q=[pi/4 pi/2 0-pi/4]，根據(jù)前面推導(dǎo)的方程可求得末端執(zhí)行器的位姿矩陣0T4，用fkine函數(shù)TR=FKINE(SCARA，Q)，輸入上述關(guān)節(jié)變量值，直接得到機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿矩陣。兩者結(jié)果相等，表明運(yùn)動(dòng)學(xué)正問(wèn)題求解無(wú)誤。

3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆問(wèn)題

機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆問(wèn)題與正問(wèn)題不同具有復(fù)雜性。通過(guò)ikine函數(shù)設(shè)定初始值，運(yùn)用數(shù)值迭代法經(jīng)過(guò)多次迭代來(lái)求解關(guān)節(jié)角，可得到逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的唯一解[8-9]。調(diào)用Q=IKINE(SCARA，T，Q)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題的求解。MATLAB軟件為機(jī)器人的研究提供了強(qiáng)大的分析和仿真能力，為之后的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析和軌跡規(guī)劃奠定了基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

本文以SCARA四自由度機(jī)器人為研究對(duì)象，借助MATLAB Robotics Toolbox工具箱，求解機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和軌跡仿真。結(jié)果表明：（1）通過(guò)移動(dòng)手柄位置，可以觀察機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；（2）通過(guò)規(guī)劃?rùn)C(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，得出末端執(zhí)行器軌跡曲線；（3）驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解的正確性，表明機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)合理。

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