商 霖， 周?chē)?guó)峰， 盧 鑫

(中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院 北京, 100076)

引 言

導(dǎo)彈在滑行出箱過(guò)程中其局部在某一時(shí)段內(nèi)會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)的突然放大，即彈體的顫動(dòng)現(xiàn)象[1]。導(dǎo)彈局部的顫動(dòng)不僅影響其地面發(fā)射時(shí)的出箱安全性，還影響其后續(xù)飛行的初始姿態(tài)角，特別是滑行過(guò)程中表現(xiàn)出的強(qiáng)烈的振動(dòng)還會(huì)影響彈上設(shè)備的工作性能，進(jìn)而誘發(fā)飛行故障。因此，有必要研究導(dǎo)彈滑行出箱過(guò)程中出現(xiàn)的顫動(dòng)現(xiàn)象，分析其形成機(jī)理，為武器系統(tǒng)工程提供理論支撐和設(shè)計(jì)指導(dǎo)。

筆者從信號(hào)分析處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)的角度出發(fā),對(duì)導(dǎo)彈滑行出箱過(guò)程中采集到的振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了時(shí)域波形和頻域譜分析，采用頻域積分的方法[2]得到了導(dǎo)彈局部的相軌跡圖，論述了顫動(dòng)現(xiàn)象的形成原因，給出了消除顫動(dòng)現(xiàn)象的初步措施。然而，文獻(xiàn)[1]未能提煉出用于分析顫動(dòng)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，不能對(duì)系統(tǒng)是否發(fā)生顫動(dòng)提前預(yù)示，不能對(duì)系統(tǒng)顫動(dòng)發(fā)生的條件進(jìn)行預(yù)估，因而也無(wú)法提出明確可操作的實(shí)施方案，因此有必要在此基礎(chǔ)上開(kāi)展進(jìn)一步研究。

本研究首先從導(dǎo)彈出箱過(guò)程的實(shí)際情況出發(fā)，考慮其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和邊界條件，建立了研究導(dǎo)彈顫動(dòng)現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)模型，即質(zhì)量塊-傳輸帶干摩擦模型。隨后利用龍格-庫(kù)塔數(shù)值方法編制動(dòng)力學(xué)程序計(jì)算得到導(dǎo)彈滑行過(guò)程中響應(yīng)局部的時(shí)域波形圖、相平面圖和龐加萊截面圖，闡明了顫動(dòng)現(xiàn)象從形成、保持到消失的過(guò)程。同時(shí)，通過(guò)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析法可知，導(dǎo)彈出箱速度較低時(shí)系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)容易失去漸進(jìn)穩(wěn)定特性，進(jìn)而出現(xiàn)滑動(dòng)形式的干摩擦自激振動(dòng)。最后，結(jié)合數(shù)值計(jì)算和理論分析的結(jié)果，明確導(dǎo)彈滑動(dòng)出箱過(guò)程中誘發(fā)顫動(dòng)現(xiàn)象的影響因素，并給出了工程上切實(shí)可行的抑制顫動(dòng)的具體措施，并在后續(xù)型號(hào)試驗(yàn)中得到了很好的驗(yàn)證。

1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

1.1 質(zhì)量塊-傳輸帶模型

圖1 導(dǎo)彈顫動(dòng)分析的動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 The dynamic model for the chattering analysis of missile

導(dǎo)彈滑動(dòng)出箱過(guò)程中其局部的振動(dòng)放大是一種顫動(dòng)現(xiàn)象，此時(shí)會(huì)有多個(gè)彈性模態(tài)被同時(shí)激發(fā)，且振動(dòng)強(qiáng)度各不相同。為便于分析，現(xiàn)只考慮一個(gè)模態(tài)，為此選擇響應(yīng)最強(qiáng)的基頻模態(tài)的慣性參數(shù)m和剛度系數(shù)k，建立單自由度振動(dòng)模型，同時(shí)考慮地面發(fā)射時(shí)導(dǎo)彈在箱內(nèi)滑行過(guò)程中的剛體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和導(dǎo)軌的邊界約束情況，從而構(gòu)建分析導(dǎo)彈顫動(dòng)現(xiàn)象的質(zhì)量塊-傳輸帶動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。以圖1中的滑塊(質(zhì)量為m)和彈簧(系統(tǒng)整體剛度為k)為研究對(duì)象，建立如下運(yùn)動(dòng)微分方程

(1)

當(dāng)滑塊處于平衡狀態(tài)時(shí)，有

(2)

將式(2)帶入式(1)，找到平衡點(diǎn)位置

ue=-k-1f(-V)

(3)

以平衡位置ue作為新的坐標(biāo)原點(diǎn)，引入新的變量

x=u-ue

(4)

將式(3)和式(4)代入式(1)中，得到

(5)

1.2 摩擦力模型

丁千等[3]介紹和評(píng)述了工程領(lǐng)域中常見(jiàn)的幾類(lèi)摩擦力模型。從中可以發(fā)現(xiàn)，過(guò)分簡(jiǎn)單的模型不能正確描述摩擦力的變化規(guī)律，而復(fù)雜的模型不能得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的解析結(jié)果，因此采用合理的模型是至關(guān)重要的。本研究利用某型導(dǎo)彈多次地面發(fā)射試驗(yàn)測(cè)量得到的慣組數(shù)據(jù)，采用四元數(shù)法[4]進(jìn)行導(dǎo)航得到其剛體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在已知發(fā)動(dòng)機(jī)推力曲線的前提下，根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)方程得到了導(dǎo)彈滑動(dòng)出箱過(guò)程中導(dǎo)彈與滑軌之間的滑動(dòng)速度-摩擦力曲線，如圖2所示。觀察圖2曲線，發(fā)現(xiàn)其變化趨勢(shì)與摩擦系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究中最常用的Stribeck模型比較一致。因此，文中采用Stribeck模型，其一般形式為

(6)

其中：N為運(yùn)動(dòng)界面之間的法向壓力；Vr為運(yùn)動(dòng)界面之間的相對(duì)速度；μ為運(yùn)動(dòng)界面之間的靜摩擦系數(shù)；α和β為動(dòng)摩擦因數(shù)(與運(yùn)動(dòng)界面間的表面粗糙度、接觸狀態(tài)等均有關(guān))。

當(dāng)α和β等于零時(shí)，上式即為Coulomb摩擦力，也稱為理想干摩擦力。

圖2 彈軌間的摩擦力變化曲線Fig.2 The friction force between the missile and the rail of launch box

文獻(xiàn)[3,5-6]所示Stribeck摩擦力曲線和圖2所示摩擦力曲線中克服靜摩擦力后, 摩擦力在相對(duì)滑動(dòng)速度較低的范圍內(nèi)隨相對(duì)速度的增加反而下降，出現(xiàn)了負(fù)斜率摩擦現(xiàn)象。這里的負(fù)斜率部分就是負(fù)黏性阻尼項(xiàng)，這種阻尼機(jī)制在小的運(yùn)動(dòng)幅值時(shí)使系統(tǒng)的能量增加，而在大的運(yùn)動(dòng)幅值時(shí)使系統(tǒng)的能量減小，由此產(chǎn)生了不穩(wěn)定的效果，進(jìn)而引發(fā)純滑或滯滑形式的干摩擦自激振動(dòng)。雖然研究中可以根據(jù)某型導(dǎo)彈多次地面發(fā)射試驗(yàn)獲取的摩擦力曲線借助最小二乘法擬合得到式(6)中的摩擦力系數(shù)，但是為了能較好地模擬這種類(lèi)同于Van der pol振子的阻尼機(jī)制，實(shí)際仿真時(shí)在確定了靜摩擦系數(shù)μ的基礎(chǔ)上還需對(duì)動(dòng)摩擦因數(shù)α和β作適當(dāng)調(diào)整。

1.3 動(dòng)力學(xué)方程

(7)

其中：Ve=-V。

將式(7)代入方程(5)，并令導(dǎo)彈基頻頻率ω2=k/m，可得

(8)

其中：g為重力加速度；θ為導(dǎo)彈發(fā)射傾角。

(9)

二維變量(x,y)稱為狀態(tài)變量，方程(9)稱為狀態(tài)方程。以x和y為坐標(biāo)軸構(gòu)成的二維狀態(tài)空間(狀態(tài)平面)稱為相平面，該平面上的點(diǎn)表示系統(tǒng)的特定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱為相點(diǎn)。

2 穩(wěn)定性分析

為了研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)導(dǎo)彈顫動(dòng)現(xiàn)象的影響，采用平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析法對(duì)式(9)系統(tǒng)進(jìn)行分析。圖1中，當(dāng)導(dǎo)彈滑動(dòng)出箱速度足夠大時(shí)，滑塊會(huì)在摩擦力和恢復(fù)力均衡作用下處于平衡狀態(tài)。系統(tǒng)平衡點(diǎn)擾動(dòng)方程的線性特征多項(xiàng)式為

λ2-gcosθ(α-3βV2)λ+ω2=0

(10)

根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性條件為

gcosθ(α-3βV2)<0

(11)

顯然，導(dǎo)彈發(fā)射傾角θ不會(huì)改變式(11)的性質(zhì)，由此滿足式(11)的條件是

(12)

由式(12)可見(jiàn)，動(dòng)摩擦因數(shù)α和β的取值決定了臨界速度Vcr的數(shù)值，表明它們是影響系統(tǒng)振動(dòng)特性的一組重要參數(shù)。工程中，動(dòng)摩擦因數(shù)α和β通?？赏ㄟ^(guò)試驗(yàn)來(lái)獲取，因與接觸材料、接觸狀態(tài)、界面粗糙度和結(jié)構(gòu)形式及環(huán)境條件等多種因素均有關(guān)，其數(shù)值在一定范圍內(nèi)是變化的[8]。若動(dòng)摩擦因數(shù)α和β同比變化，即α/β保持不變，則臨界速度Vcr不變；若α/β增大，則臨界速度Vcr變大，系統(tǒng)更容易失去漸進(jìn)穩(wěn)定特性；若α/β減小，則臨界速度Vcr變小，系統(tǒng)保持漸進(jìn)穩(wěn)定特性的能力將會(huì)提高。

3 數(shù)值分析

根據(jù)式(9)微分方程組，采用4階龍格-庫(kù)塔算法編制動(dòng)力學(xué)計(jì)算程序進(jìn)行相平面分析。考慮到導(dǎo)彈出箱滑行過(guò)程中，其質(zhì)量變化很小，基本可以忽略，因此和質(zhì)量相關(guān)的所有參數(shù)均假定為常值。根據(jù)計(jì)算程序，設(shè)定已知值導(dǎo)彈基頻ω=472 rad/s和重力加速度g=9.8 m/s2，設(shè)置參數(shù)值發(fā)射傾角θ=60°、動(dòng)摩擦系數(shù)α=0.071和β=0.000 17，給定初始值滑塊位移x0=0.01 m和滑塊速度y0=0，由此得到導(dǎo)彈滑行過(guò)程中響應(yīng)局部的時(shí)域波形圖、相平面圖和龐加萊截面圖，分別見(jiàn)圖3～圖5所示。

圖3 導(dǎo)彈局部振動(dòng)的時(shí)域波形圖Fig.3 Time domain waveform of local vibration of missile

圖3導(dǎo)彈局部振動(dòng)的時(shí)域波形圖中，仿真和試驗(yàn)曲線都表征出了自激振動(dòng)的特征[9]，即在振動(dòng)過(guò)程中：當(dāng)輸入能量大于耗散能量時(shí)，振幅增加；當(dāng)輸入能量等于耗散能量時(shí)，振幅保持不變；當(dāng)輸入能量小于耗散能量時(shí)，振幅減小。圖3中試驗(yàn)曲線相比仿真曲線來(lái)說(shuō)，在整體變化形態(tài)上尚不理想：仿真曲線在t<0.5 s的上升段，其幅值漸進(jìn)增加；在t>0.8 s的下降段，其幅值漸進(jìn)減小。試驗(yàn)曲線在t<0.5 s的時(shí)段，其幅值有跳躍、變化無(wú)規(guī)律；在t>0.8 s的時(shí)段，其幅值有變化、未表現(xiàn)出明顯漸進(jìn)趨勢(shì)。

文獻(xiàn)[10]指出，真實(shí)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)要承受外界擾動(dòng)，不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)不能保持，穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)才能保持為穩(wěn)定的極限環(huán)。由此表明，導(dǎo)彈滑行出箱過(guò)程中除了由彈軌間摩擦力提供的能量外，還包含了其它的外激勵(lì)能量，如發(fā)動(dòng)機(jī)燃?xì)鈬娏髟肼暋l(fā)射箱內(nèi)燃?xì)饫@流噪聲和發(fā)射車(chē)底盤(pán)的振動(dòng)激勵(lì)等。其中，發(fā)射車(chē)底盤(pán)振動(dòng)引起的基礎(chǔ)激勵(lì)為低頻機(jī)械能，能量較強(qiáng)，且對(duì)顫動(dòng)現(xiàn)象的形成、發(fā)展和消亡等過(guò)程最為直接；發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的燃?xì)鈬娏髟肼暫拖鋬?nèi)燃?xì)饫@流噪聲為高頻聲能，能量較弱，在一定程度上影響著顫動(dòng)。在這些外界強(qiáng)擾動(dòng)作用下,導(dǎo)彈滑行過(guò)程中不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)無(wú)法保持，如圖3試驗(yàn)曲線中t<0.5 s時(shí)段和t>0.8 s時(shí)段。

此外，文獻(xiàn)[11]認(rèn)為，考慮可動(dòng)邊界后，自激振動(dòng)的振幅將隨邊界運(yùn)動(dòng)速率的增加而減小，但其頻率不受影響。為了便于研究彈軌間摩擦力效應(yīng)引起的顫動(dòng)現(xiàn)象，筆者簡(jiǎn)化了工程問(wèn)題，將發(fā)射車(chē)底盤(pán)理想化為固定邊界。實(shí)際發(fā)射時(shí)，導(dǎo)彈出箱過(guò)程中發(fā)射車(chē)底盤(pán)是處于不斷變化的振動(dòng)狀態(tài)。結(jié)合圖3仿真曲線和試驗(yàn)曲線的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，二者的差異在某種程度上也吻合了文獻(xiàn)[11]的結(jié)論。

圖4為導(dǎo)彈局部振動(dòng)的封閉相軌跡(即極限環(huán))，相軌跡從圖中左側(cè)灰色方塊出發(fā)，經(jīng)箭頭1，2，3返回圖中右側(cè)灰色方塊，箭頭1，2，3之間的曲線轉(zhuǎn)折只是圖示方便。圖示表明，相平面的環(huán)形區(qū)域在內(nèi)、外邊界上的相軌跡均指向環(huán)域內(nèi)，且環(huán)域內(nèi)沒(méi)有奇點(diǎn)(相軌跡的源)，表明這是一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)。由此仿真證明，系統(tǒng)發(fā)生了自激，即導(dǎo)彈出箱過(guò)程中其局部出現(xiàn)了顫動(dòng)現(xiàn)象。

圖4 導(dǎo)彈局部振動(dòng)的相平面圖Fig.4 Phase plane diagram of local vibration of missile

圖5為采用定相位龐加萊截面法獲取的導(dǎo)彈局部振動(dòng)的龐加萊截面圖。通過(guò)觀察圖中龐加萊截面上截點(diǎn)的情況發(fā)現(xiàn)，龐加萊截面上是一條近似封閉的曲線，表明導(dǎo)彈滑行過(guò)程中的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，由此說(shuō)明彈箱組成的顫動(dòng)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性因素[10]和較大的阻尼特性[12]。由此可見(jiàn)，在外界強(qiáng)干擾作用下，導(dǎo)彈局部振動(dòng)的時(shí)域波形圖更接近于圖3所示的試驗(yàn)曲線。

圖5 導(dǎo)彈局部振動(dòng)的龐加萊截面Fig.5 Poincare section of local vibration of missile

4 抑制顫動(dòng)的措施

根據(jù)數(shù)值分析，導(dǎo)彈滑動(dòng)出箱過(guò)程中會(huì)發(fā)生顫動(dòng)現(xiàn)象，而這種情況是導(dǎo)彈地面發(fā)射時(shí)所不希望出現(xiàn)的。為此，結(jié)合上述分析，從工程的角度提出了抑制系統(tǒng)顫動(dòng)的基本措施。

1) 提高導(dǎo)彈在箱內(nèi)的滑動(dòng)速度。

上文利用平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析法研究得到了誘發(fā)系統(tǒng)自激振動(dòng)的臨界速度Vcr，并得出結(jié)論：當(dāng)導(dǎo)彈出箱速度V大于臨界速度Vcr時(shí)系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)自激振動(dòng)。眾所周知，導(dǎo)彈在箱內(nèi)的滑動(dòng)速度V是一個(gè)由低到高的過(guò)程，而導(dǎo)彈顫動(dòng)發(fā)生在低速階段，如果能有效地規(guī)避低速段(小于臨界速度Vcr)、實(shí)現(xiàn)高速段(大于臨界速度Vcr)的長(zhǎng)時(shí)滑行,則會(huì)在很大程度上避免自激振動(dòng)。由此，工程上可以通過(guò)設(shè)計(jì)一種“單室雙推力”發(fā)動(dòng)機(jī)，導(dǎo)彈在箱內(nèi)滑行段采用高燃速推進(jìn)劑快速提高發(fā)動(dòng)機(jī)的推力，以使導(dǎo)彈在盡可能短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到并超過(guò)臨界速度Vcr，從而消除導(dǎo)彈顫動(dòng)或?qū)㈩潉?dòng)的影響減少到最小。

2) 增大導(dǎo)彈發(fā)射傾角。

由式(11)可見(jiàn)，導(dǎo)彈發(fā)射傾角θ和系統(tǒng)顫動(dòng)沒(méi)有直接關(guān)系，而方程(8)則表明其數(shù)值影響著系統(tǒng)的黏性阻尼，進(jìn)而影響了系統(tǒng)顫動(dòng)的振幅。因此，導(dǎo)彈地面發(fā)射時(shí)，可以通過(guò)提高發(fā)射傾角的方法降低導(dǎo)彈局部的振幅。

3) 改變彈軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

前文所述，臨界速度Vcr的大小取決于動(dòng)摩擦因數(shù)α和β。若設(shè)計(jì)中通過(guò)降低動(dòng)摩擦因數(shù)α、提高動(dòng)摩擦因數(shù)β，則臨界速度Vcr將會(huì)變小，進(jìn)而降低系統(tǒng)顫動(dòng)的可能性。文獻(xiàn)[12]中，將動(dòng)摩擦因數(shù)α和β表示為靜摩擦因子μs、動(dòng)摩擦因子μm和對(duì)應(yīng)于最小動(dòng)摩擦的速度vm等三者之間的關(guān)系。工程中，可以通過(guò)已有材料摩擦數(shù)據(jù)或試件摩擦試驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)先設(shè)計(jì)滿足要求的彈軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

4) 改變彈軌間的摩擦性質(zhì)。

無(wú)論是提高導(dǎo)彈的滑行速度還是增大其發(fā)射傾角，亦或改變彈軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)，它們的根本出發(fā)點(diǎn)都是改變系統(tǒng)的黏性阻尼，而最為有效的措施就是改變導(dǎo)彈與滑軌之間的黏性滑動(dòng)摩擦因數(shù)α和β。理論的指導(dǎo)是，補(bǔ)償彈軌間摩擦力中的負(fù)阻尼分量，即施加足夠的正阻尼力，抵消摩擦力中的負(fù)阻尼力的影響分量。工程的措施是，在導(dǎo)彈與導(dǎo)軌之間涂抹較厚的潤(rùn)滑劑或潤(rùn)滑油，由此變干摩擦為濕摩擦，變自激振動(dòng)為黏性阻尼振動(dòng)。

采取以上措施后，該型號(hào)導(dǎo)彈地面發(fā)射試驗(yàn)時(shí)再未發(fā)生彈體局部顫動(dòng)的現(xiàn)象，保證了工程研制工作的順利進(jìn)行。

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者研究了導(dǎo)彈滑行出箱過(guò)程中出現(xiàn)的顫動(dòng)現(xiàn)象，通過(guò)彈軌間的摩擦、阻尼特性、自激振動(dòng)機(jī)理等分析，建立了模擬彈軌關(guān)系的質(zhì)量塊-傳輸帶干摩擦動(dòng)力學(xué)模型。利用數(shù)值計(jì)算得到了導(dǎo)彈滑行過(guò)程中顫動(dòng)現(xiàn)象從形成、保持到消失的全過(guò)程，繪制了穩(wěn)定封閉的極限環(huán)和龐加萊截面圖，論述了導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)燃?xì)鈬娏鳌l(fā)射箱內(nèi)燃?xì)饫@流和發(fā)射車(chē)底盤(pán)振動(dòng)等諸多干擾因素對(duì)不穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的影響。同時(shí)，通過(guò)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析法得到導(dǎo)彈出箱的臨界速度，當(dāng)出箱速度低于臨界速度時(shí)系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)將會(huì)失去漸進(jìn)穩(wěn)定特性，并由此出現(xiàn)滑動(dòng)形式的干摩擦自激振動(dòng)。最后，根據(jù)數(shù)值計(jì)算和理論分析的結(jié)果，論述了導(dǎo)彈滑動(dòng)出箱過(guò)程中誘發(fā)顫動(dòng)現(xiàn)象的影響因素，并據(jù)此給出了工程上切實(shí)可行的抑制顫動(dòng)的具體措施。本工作不僅為導(dǎo)彈顫動(dòng)現(xiàn)象的研究提供了一種可資借鑒的方法、填補(bǔ)了相關(guān)空白，而且為導(dǎo)彈顫動(dòng)現(xiàn)象的抑制提供了簡(jiǎn)單有效的方法。

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