楊 慧， 李奉閣， 閆維明， 何浩祥

(1．北京工業(yè)大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室 北京，100124) (2．內蒙古科技大學建筑與土木工程學院 包頭，014010)

引 言

橋梁作為交通生命線工程的重要組成部分，在運營狀態(tài)下不斷承受交通荷載，易發(fā)生性能退化和疲勞破壞。因此，需要對橋梁服役狀態(tài)下的車輛荷載進行監(jiān)測。正確識別橋梁結構的實際受力狀況，是進行其他分析的前提和基礎。同時，對車輛荷載信息進行統(tǒng)計識別可以獲得車輛荷載譜，進而為橋梁結構安全評估、全壽命分析、維修決策和橋梁優(yōu)化設計提供有效的參考和依據(jù)，具有重要的科學和工程意義。

目前常用來測量車載的儀器是動態(tài)稱重設備[1]，在應用時，要提前安裝在車輛經(jīng)過的路面上，該儀器價格昂貴，僅能給出靜力軸重，不能得出荷載隨時間的變化歷程。隨著壓電薄膜和石英晶體等新型傳感器的發(fā)展，研究者開展了采用相關傳感器識別橋梁車載的方法，并取得較好效果[2]。然而，在布設該類傳感器時需要開挖路面，這會對橋梁帶來一定損害，且荷載的識別精度容易受到傳感器施工工藝的影響。從理論上看，通過車輛過橋時橋梁的響應來對車輛荷載信息進行識別，具有成本低、使用方便且能同時監(jiān)測橋梁使用狀態(tài)的優(yōu)點，日益受到重視。目前常用的相關方法有時域法、頻域法、有限元法以及奇異值分解法[3-8]等。但由于橋上移動荷載識別的復雜性，且屬于典型的病態(tài)反問題[9]，使得現(xiàn)有的基于振動方程求解的移動荷載識別理論在實際應用中仍存在很多問題，比如識別精度不高、識別穩(wěn)定性較差等。作為經(jīng)典的智能算法，人工神經(jīng)網(wǎng)絡擁有較強的邏輯推理能力，比較適合應用于結構荷載識別、損傷識別等力學反問題[10]。應用神經(jīng)網(wǎng)絡方法識別車輛動荷載時，只需通過橋梁的響應就能達到識別目的，且應用該方法不會對橋梁造成損傷，具有無損、經(jīng)濟的特點，因此受到很多學者關注。高寶成等[11]通過理論分析驗證了神經(jīng)網(wǎng)絡用于結構荷載識別的可行性，但對識別方法研究不夠深入。羅志玉等[12]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡的移動常量荷載識別方法，但沒有考慮動荷載的識別情況。李忠獻等[13]提出了一種基于BP(back propagation，簡稱BP)神經(jīng)網(wǎng)絡的橋上移動荷載的分階段識別方法，但由于試驗中的車輛動荷載是未知的，因此僅采用車輛的靜載作為輸出目標對網(wǎng)絡進行了訓練，這與實際存在一定的差異。陳修輝[14]研究了用神經(jīng)網(wǎng)絡識別移動荷載的基本原理和實施步驟，并采用微粒群算法來優(yōu)化網(wǎng)絡權值，但其有效性尚需試驗進一步驗證。研究表明：將神經(jīng)網(wǎng)絡應用于移動荷載識別時需要確定有效的網(wǎng)絡輸入和輸出、網(wǎng)絡結構、激活函數(shù)及算法等，而這些參數(shù)對網(wǎng)絡的準確性和穩(wěn)定性均有重要影響。將神經(jīng)網(wǎng)絡應用于移動荷載識別時的重點和難點就是如何選擇最適合的激活函數(shù)和網(wǎng)絡算法以建立最優(yōu)神經(jīng)網(wǎng)絡模型，并實現(xiàn)不同工況下橋上車輛荷載的準確識別。

筆者通過神經(jīng)網(wǎng)絡對移動車載進行識別時，分析了輸入與輸出的敏感性，研究了激活函數(shù)組合和訓練算法對網(wǎng)絡識別精度的影響，并通過試驗驗證了優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡識別移動荷載的實用性和準確性。

1 車輛通過時橋梁的動響應分析

通過車輛過橋時的橋梁響應來識別車輛荷載信息，首先對移動荷載作用下的簡支梁橋動力響應進行分析。如圖1所示，對于長度為l的等截面簡支歐拉梁，當有一速度為v、大小為P(t)的荷載通過時，其振動方程可寫為

δ(x-vt)P(t)

(1)

求解式(1)可以得到移動荷載作用下梁的撓度響應

(2)

其中：u(x,t)為時刻t時，距梁左端x處的撓度；m為單位長度梁的質量；EI為梁的抗彎剛度；c為梁的阻尼系數(shù)；δ(x)為狄拉克函數(shù)；ωD n和ωn分別為梁的第n階有阻尼自振頻率和無阻尼自振頻率；ξn為阻尼比。

圖1 移動荷載作用下的簡支梁模型Fig.1 Simply supported beam subjected to a moving force

對于產(chǎn)生彎曲變形的梁截面，通過撓度響應u(x,t)可以得到梁底的應變響應ε(x,t)如下

(3)

梁體小變形時，略去式(3)中的高級小量，得

(4)

其中：yh為梁底到梁中性軸的距離；ρ(x,t)為時刻t時，距梁左端x處梁的曲率半徑。

從式(4)可以看出，應變與梁體豎向撓度的二階導數(shù)密切相關，因此對于移動荷載下的梁體，其主要截面的應變蘊含更豐富的高頻分量信息，也更能充分反映結構的變形特性。在不考慮噪聲影響的情況下，應變應該比撓度更能全面地反映荷載的參數(shù)信息，在實際橋梁移動荷載識別中可對不同截面的應變進行采集和分析，從而更精準地預測荷載的位置及幅值。為了進一步驗證上述觀點，采用有限元方法模擬移動荷載下簡支梁的動力響應，并對主要截面的撓度和應變進行分析。有限元中取梁的長度L=30 m，截面面積S=1.923 m2，抗彎剛度EI=2.5×1010N·m2，密度ρ=2 600 kg/m2。將梁體劃分為300個單元，采樣頻率為100 Hz，模擬了荷載分別為392 kN和794 kN、以20 m/s的速度過橋時，梁上8分點處的撓度和應變響應。

圖2～圖5為荷載在橋上不同位置時對應的梁上8分點處的撓度和應變響應。從圖上可以看出，橋上車輛荷載的大小和位置都對橋梁的應變和撓度有影響，而且荷載越靠近測點梁的應變和撓度越大。同時，撓度和應變對荷載大小的敏感性相差不大，但應變對荷載位置更敏感。因此，本研究選擇橋梁的動應變進行移動荷載的參數(shù)識別。

圖2 荷載為392 kN時各測點的撓度曲線Fig.2 Deflection curve under the load 392 kN

圖3 荷載為794 kN時各測點的撓度曲線Fig.3 Deflection curve under the load 794 kN

圖4 荷載為392 kN時各測點的應變曲線Fig.4 Strain curve under the load 392 kN

圖5 荷載為794 kN時各測點的應變曲線Fig.5 Strain curve under the load 794 kN

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡識別橋梁移動荷載

根據(jù)結構的動態(tài)特性和實測動力響應求解結構的動載荷，屬于結構動力學中的第二類反問題[15]。由于橋梁結構的復雜性以及車輛通過橋梁時的多樣性和時間、空間分布的不確定性，使得通過車橋耦合振動，利用橋梁響應反推橋上荷載信息變得很困難，主要是存在模型誤差和不適定性問題。人工神經(jīng)網(wǎng)絡具有強大的自適應學習能力和非線性映射能力，應用神經(jīng)網(wǎng)絡無需建立復雜的數(shù)學模型即可實現(xiàn)由Rn空間(n為輸入節(jié)點數(shù))到Rm空間(m為輸出節(jié)點數(shù))的高度非線性映射[16]，這在解決移動荷載識別方面具有很大優(yōu)勢。將人工神經(jīng)網(wǎng)絡應用于橋梁荷載識別的關鍵在于神經(jīng)網(wǎng)絡的設計構造，主要包括網(wǎng)絡樣本的選擇與處理、網(wǎng)絡拓撲結構、激活函數(shù)及算法的選取等問題。筆者將較常用的BP神經(jīng)網(wǎng)絡應用于橋梁移動荷載參數(shù)識別，以簡支梁為例，分析撓度和應變對荷載的敏感性，探討不同激活函數(shù)和算法對網(wǎng)絡的影響，并對識別結果進行分析。

2.1 訓練樣本庫的建立

用ANSYS模擬計算橋梁在移動荷載作用下梁底8分點處的應變值?？紤]常見車輛的尺寸、軸重，并對其進行合理簡化，在計算橋梁響應時車輛的軸距分別取為3，4，5和6 m，軸重分別取為2 940，7 840，1 1760和19 600 kg，前后軸重比均為1∶1，速度分別取為5，10，20和25 m/s。為了用盡可能少的樣本數(shù)量得到高效的網(wǎng)絡，根據(jù)文獻[17]采用L16(43)正交表來確定樣本集進行訓練。應變響應的采樣頻率為100 Hz，總采樣時間為54.14 s，得到16組車輛通過時梁的響應，其中60%用于訓練，20%用于驗證，20%用于測試。

2.2 網(wǎng)絡的結構分析與設計

應用BP神經(jīng)網(wǎng)絡對車輛荷載進行識別時，取輸入層的節(jié)點數(shù)等于測點數(shù)，輸出層的節(jié)點數(shù)等于待識別荷載的參數(shù)數(shù)目。由于本研究采用了7個應變片采集橋梁的應變數(shù)據(jù)，因此，輸入層的節(jié)點個數(shù)取為7。在識別荷載位置時，網(wǎng)絡輸出為車輛前后軸的位置，所以輸出層的節(jié)點數(shù)為2。由于車輛位置和車輛荷載大小都對橋梁的響應有影響，因此，在識別車輛荷載大小時，將識別出的荷載位置信息加入到輸入數(shù)據(jù)中，此時輸入層的節(jié)點個數(shù)為9，輸出層的節(jié)點數(shù)仍為2。

在確定網(wǎng)絡隱含層層數(shù)時，由于橋梁動應變響應與車輛荷載參數(shù)間的映射具有復雜性和不連續(xù)性，因此網(wǎng)絡的隱含層層數(shù)取為2。在確定網(wǎng)絡各層節(jié)點數(shù)時，根據(jù)文獻[18]，對幾種不同的節(jié)點數(shù)組合進行了比較，確定了誤差最小的組合，最后將組合7∶21∶10∶2作為識別車載位置時的網(wǎng)絡節(jié)點組合，將組合9∶21∶10∶2作為識別車載大小時的網(wǎng)絡節(jié)點組合。

2.3 激活函數(shù)和網(wǎng)絡算法的確定

BP神經(jīng)網(wǎng)絡的激活函數(shù)有l(wèi)ogsig和tansig函數(shù)，常用的訓練算法主要有traingd，traingdm，traingdx，trainbfg，trainrp和trainlm。為了對比不同激活函數(shù)組合和算法對網(wǎng)絡性能的影響，并得到最好的網(wǎng)絡結構，文中對所選樣本進行了訓練，并對網(wǎng)絡的目標輸出和實際輸出做了線性回歸，最后根據(jù)它們之間的相關系數(shù)、訓練時間以及均方差來判斷網(wǎng)絡的好壞，得到的對比結果見表1和表2。從表1可以看出：訓練的收斂時間隨激活函數(shù)組合的不同而變化，且均方誤差值隨收斂時間的增大而減小；相關系數(shù)受不同激活函數(shù)組合的影響不大；訓練時間與迭代次數(shù)無關，這說明用不同的激活函數(shù)對網(wǎng)絡進行訓練時，其初始閾值和權值都是隨機產(chǎn)生的，在訓練過程中誤差的降低方向也是變化的。經(jīng)過綜合對比表1中的各項參數(shù)，本研究在后續(xù)的計算中將tansig和logsig分別作為第1隱含層和第2隱含層的激活函數(shù)。

表1 采用不同激活函數(shù)組合的網(wǎng)絡訓練情況

Tab.1 Effects of different activation functions on the network

第1隱層第2隱層迭代次數(shù)訓練時間/s均方誤差相關系數(shù)1相關系數(shù)2tansigtansig431173.720.970.99logsiglogsig701183.720.980.99logsigtansig591623.610.970.99tansiglogsig701842.850.980.99

表2 采用不同的訓練方法的網(wǎng)絡訓練情況

從表2可以看出，網(wǎng)絡精度受訓練算法的影響很大，traingd和traingdm方法在訓練初期就使結果陷入局部最小，導致訓練失敗。而其他幾種優(yōu)化的訓練算法，能夠訓練成功，但在迭代次數(shù)、訓練時間、均方誤差值上具有較大差異，相關系數(shù)的差異較小。綜合對比表2中的數(shù)據(jù)，本研究在以后的計算中應用trainlm方法對網(wǎng)絡進行訓練。

2.4 網(wǎng)絡精度評價

為了評價網(wǎng)絡對移動荷載的識別效果，采用網(wǎng)絡正確識別率，即相對誤差小于等于10%的樣本數(shù)在總樣本數(shù)中所占的比例，作為網(wǎng)絡優(yōu)劣的評價指標。網(wǎng)絡的相對輸出誤差為網(wǎng)絡的實際輸出與理想輸出向量之間的距離與理想輸出向量的范數(shù)之比[19]，即

(5)

其中：m為測試樣本的數(shù)量；yi和ti分別為第i個測試樣本的實際輸出和理想輸出。

3 識別結果分析

3.1 恒載識別結果

圖6和圖7分別為一輛車的前后軸位置識別效果，當車輛不在橋上時，其位置為0，當車輛在橋上時，輸出結果為荷載距橋左端的距離。從圖上可以看出，除了在車輛上下橋時出現(xiàn)了較小偏差外，識別出的位置曲線與真實的位置曲線很接近，因此為了提高車輛速度的識別精度，可用車輛完全在橋上時的位置信息來計算車輛速度。另外，從圖6和圖7中還能確定車輛前后軸的上下橋時間，說明通過神經(jīng)網(wǎng)絡也可以對車輛是否在橋上進行判別。

圖6 車輛前軸位置識別結果Fig.6 Identified position of the front axle

圖7 車輛后軸位置識別結果Fig.7 Identified position of the rear axle

在對車輛的軸距進行識別時，可通過將識別得到的車輛前軸位置減去車輛后軸位置實現(xiàn)。為了減小誤差，選取車輛完全在橋上時的數(shù)據(jù)對軸距進行識別，識別效果見表3?？梢钥闯觯煌r下車輛軸距的識別精度相差較大，大致規(guī)律是軸距識別精度會隨軸距的增大而提高，隨速度的增大而減小。

表3不同軸距和速度下的軸距識別合格率

Tab.3Correctrecognitionrateofwheelbaseindifferentspeeds%

軸距/m速度/(m·s-1)5102025373.9266.6546.5247.5488.3385.9834.6334.53587.9382.1558.8761.64688.2790.8564.5470.44

車輛過橋時，橋梁的響應與荷載的位置和大小有關，因此識別出車輛位置后，就可以根據(jù)橋梁的響應與識別出的位置信息得到車輛的荷載信息。即將車輛過橋時的橋梁應變響應和識別得到的車輛位置信息輸入訓練好的網(wǎng)絡，得到車輛前后軸軸重時程。圖8和圖9為識別得到的車輛前后軸結果，可以看出，車輛的軸重在上下橋附近精度稍差，而車輛完全上橋后識別精度較好，而且從圖中可以對車輛是否在橋上的狀態(tài)作出判斷。

圖8 前軸荷載識別效果圖Fig.8 Identified value of the front axle load

圖9 后軸荷載識別效果圖Fig.9 Identified value of the rear axle load

表4給出了不同工況下網(wǎng)絡對車輛荷載的正確識別合格率。可以看出，各工況下網(wǎng)絡的識別合格率都大于60%，說明該網(wǎng)絡對車輛荷載的識別效果較好[20]。車輛的速度可以通過擬合車輛完全在橋上時的位置點得到。表5給出了不同工況下的速度識別效果，其中識別的最大相對誤差為2.7%，出現(xiàn)在速度為25 m/s、軸距為6 m時。總體來說，速度的識別精度隨軸距和速度的減小而增大。

表4不同軸距和速度下的荷載識別合格率

Tab.4Correctrecognitionrateofloadvaluewithindifferentwheelbaseandspeed

%

軸距/m速度/(m·s-1)5102025前軸后軸前軸后軸前軸后軸前軸后軸376.2068.6783.1381.0285.5479.5287.9786.47485.9685.8274.2766.6776.6175.4481.7575.18581.8281.1183.2483.3160.2366.4872.3468.79679.2871.6978.4579.2881.2279.5653.7960.69

表5 不同軸距下車輛速度識別結果

3.2 動荷載識別結果

為驗證網(wǎng)絡對動荷載的識別效果，對兩個速度為v=10 m/s，大小為P=39.2×(1+0.15×cos(13.35t)) kN，相距6 m的時變移動力進行了識別。圖10和圖11為識別結果?？梢钥闯?，前軸的識別結果明顯好于后軸，并且識別出了力的頻率變化。

圖10 未加噪聲時前軸荷載識別效果Fig.10 Identified the front dynamic axle load

圖11 未加噪聲時后軸荷載識別效果Fig.11 Identified the rear dynamic axle load

在樣本中加入不同級別噪聲，分析了噪聲對識別效果的影響，見表6。結果表明網(wǎng)絡識別精度受噪聲影響較明顯，當噪聲水平為15%時，正確率已經(jīng)難于滿足應用要求，而經(jīng)過帶通濾波處理后，正確識別率得到明顯改進，且改進效果隨噪聲水平提高而愈加顯著。

表6噪聲對網(wǎng)絡識別精度的影響

Tab.6Effectofdifferentnoiselevelsonrecognition

%

正確識別率噪聲水平5101520濾波前79.6063.2251.5341.44濾波后83.6283.6177.5963.56

4 試 驗

為了進一步考察應用神經(jīng)網(wǎng)絡識別移動荷載的實用效果，制作了橋梁實體模型并進行了動力分析。試驗模型尺寸如圖12所示。其中主梁為簡支梁，梁長2 m，高1 cm，寬15 cm，彈性模量E= 2.07×1011N/m2，轉動慣量I=1.295×10-8m4，密度ρ=7 850 kg/m3。模型車為雙軸，中間通過木板連接，車上綁定鐵塊作為配重。在主梁梁底8分點處布置7個應變片，如圖12所示，用以采集模型車通過時主梁的應變響應。主梁兩端設置導梁和尾梁用于小車的加速和減速，導梁和尾梁的連接處存在較小縫隙，為了減小模型車上下橋時的沖擊，在縫隙中填滿了泡沫塑料。為得到模型車的速度，在模型車上安裝了一個粘有應變片的鋼片，并在模型主梁的一側等間距焊接了9根短鋼筋，當模型車通過模型梁時，車上的鋼片就會擊打梁上的短鋼筋，每次擊打都會在應變片電壓時程曲線上出現(xiàn)峰值，這樣通過短鋼筋間的間距和應變片電壓信號的跳動就可以得到模型車的速度。試驗時，通過繩子牽引小車多次通過模型梁，同時采集主梁的應變響應，最后選取速度均勻的工況進行荷載識別。

圖12 模型布置Fig.12 Experiment setup

圖13 模型梁和模型車Fig.13 Model beam and model vehicle

圖13為試驗中用到的模型車和模型梁，為了保證模型車在模型梁上直線行駛，在模型梁的上表面粘了一個U型鋁槽用以引導模型車。試驗中模型車車速0.25 m/s，靜荷載為9.38 kg，前后軸重比1∶1，軸距為25 cm，采樣頻率為1 000 Hz。圖14為模型車通過模型主梁時梁底各個測點的應變時程曲線，可以看出圖14中各測點處應變隨模型車與測點的相對位置而發(fā)生變化。當模型車行至測點附近時，該處的應變時程曲線達到峰值點，而且對稱測點處的應變時程曲線基本對稱，這說明采集到的應變數(shù)據(jù)合理可用。

圖14 模型梁8等分點處動應變測量的一個樣本Fig.14 A sample of dynamic strain responses

由于試驗中模型車的動荷載無法知道，這樣對網(wǎng)絡訓練時就沒有合理的目標輸出。因此，通過有限元軟件ANSYS對模型車以不同荷載和速度通過時的模型梁應變響應進行了模擬，用各工況下模擬得到的數(shù)據(jù)做樣本對網(wǎng)絡進行訓練。圖15為試驗與模擬的跨中應變的對比，可以看出模擬效果良好。得到模擬數(shù)據(jù)后，按照前文所述方法對網(wǎng)絡進行訓練，然后用滿足要求的網(wǎng)絡對車重為9.2 kg、車速為0.35 m/s、前后軸重比為1∶1的荷載進行了識別。

圖15 實測與模擬的跨中應變對比Fig.15 Measured and simulated strain of mid-span

圖16和圖17分別為模型車的前后軸位置識別效果，可以看出，前軸的位置識別結果較好，但當車輛行駛至跨中附近時，結果出現(xiàn)了較大的偏差點。后軸的位置識別效果稍差。在模型車上下橋時，模型車前軸上橋時間識別較準確，而識別出的模型車前軸和后軸出橋時間較實際偏早，識別出的后軸上橋時間較實際偏晚，這應該是模型車在距離梁的支座較近時，響應數(shù)據(jù)的信噪比較小導致的識別偏差。

圖16 模型車前軸位置識別效果Fig.16 The position identification results of front axle

圖17 模型車后軸位置識別效果Fig.17 The position identification results of rear axle

圖18 模型車前軸荷載大小識別結果Fig.18 The front axle force identification results

圖19 模型車后軸荷載大小識別結果Fig.19 The rear axle force identification results

圖18和圖19是模型車前后軸軸重的識別效果?？梢钥闯觯R別出的模型車軸重圍繞其靜荷載上下波動，在模型車剛上橋時得到的軸重值遠大于各軸的靜載值，這主要是由模型車上橋時的沖擊作用導致，當模型車完全行駛到梁上時，荷載的識別效果較穩(wěn)定，這與實際也是相符的。

試驗結果表明，通過神經(jīng)網(wǎng)絡對橋上移動車輛荷載的識別是可行的，應用車輛通過橋梁時的應變響應可以較準確地識別出車輛的位置和前后軸重。

5 結束語

筆者研究了通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡以及橋梁動應變進行車輛荷載識別的方法，并通過模型試驗對該方法的合理性和適用性進行了驗證。結果表明，將BP神經(jīng)網(wǎng)絡用于橋上車輛荷載識別是可行的，該方法可以根據(jù)車輛過橋時的橋梁動應變響應對車輛的位置、速度、動荷載和軸距進行識別。在用BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行車輛移動荷載識別時，網(wǎng)絡的精度受激活函數(shù)組合的影響不大，受訓練方法的影響較大。應用該方法對移動常量荷載的識別效果較好，對時變荷載的識別效果稍差，但仍能識別出荷載的大小，且具有良好的抗噪能力。應用文中的方法，只通過應變片就能達到識別移動荷載的目的，且不會對橋梁造成損傷，具有經(jīng)濟、方便的優(yōu)點，值得在橋梁檢測和健康監(jiān)測系統(tǒng)中推廣使用。

[1] Jason D, Eugene J, Arturo G. Adaptation of cross entropy optimisation to a dynamic bridge WIM calibration problem[J]. Engineering Structures, 2012,44:13-22.

[2] 褚祥誠,徐亞楠,袁松梅,等.基于PVDF的新型高速公路壓電動態(tài)稱重傳感器[J].振動、測試與診斷，2013，33(3)：351-357．

Chu Xiangcheng, Xu Yanan, Yuan Songmei, et al. A novel WIM sensor for highway based on PVDF piezoelectric material[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2013,33(3):351-357. (in Chinese)

[3] 張青霞,段忠東,Lukasz J.結構損傷與荷載的快速同步識別方法研究[J].振動與沖擊,2013,32(2):33-38.

Zhang Qingxia, Duan Zhongdong, Lukasz J. Fast simultaneous identification of structural damages and loads[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013,32(2):33-38. (in Chinese)

[4] Law S S, Chan T H T, Zeng Q H. Moving force identification: a frequency and time domains analysis[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1999,121(3):394-401.

[5] Law S S, Bu J Q. Vehicle axle load identification using finite element method[J]. Engineering Structures, 2004,26(8):1143-1153.

[6] 陳震，余嶺.基于截斷GSVD方法的橋梁移動荷載識別[J].振動與沖擊,2014,33(10):97-100.

Chen Zhen, Yu Ling. Identification of dynamic axle loads on a bridge based on truncated generalized singular value decomposition[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014,33(10):97-100. (in Chinese)

[7] Deng Lu, Cai Chunshong. Identification of dynamic vehicular axle loads: theory and simulations[J]. Journal of Vibration and Control, 2010,16(14):2167-2194.

[8] 陳震，余嶺.基于TGSVD的橋梁移動荷載識別及正則化矩陣選取[J].振動、測試與診斷,2015,35(1):24-29．

Chen Zhen, Yu Ling. Selection of regularization matrixes for moving force identification based on truncated generalized singular value decomposition[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2015,35(1):24-29. (in Chinese)

[9] 李忠獻,王波,陳鋒.橋梁移動荷載的識別與參數(shù)分析[J].福州大學學報：自然科學版,2005,33:56-61.

Li Zhongxian, Wang Bo, Chen Feng. Identification and parmaetric analysis of moving loads on bridges[J]. Journal of Fuzhou University: Natural Science, 2005,33:56-61. (in Chinese)

[10] Chen Q, Chan Y W, Worden K. Structural fault diagnosis and isolation using neural networks based on response-only data[J]. Computers & Structures, 2003,81:2165-2172.

[11] 高寶成,劉紅霞,楊叔子.神經(jīng)網(wǎng)絡用于結構動荷載識別的研究[J].鄭州工學院學報,1996,17(2):91-94．

Gao Baocheng, Liu Hongxia, Yang Shuzi. An investigation on the identification method of dynamic loads of constructure[J]. Journal of Zhengzhou Institute of Technology, 1996,17(2):91-94. (in Chinese)

[12] 羅志玉.人工神經(jīng)網(wǎng)絡法在橋梁荷載識別中的應用[D].上海:同濟大學,2004.

[13] 李忠獻, 陳鋒，王波.基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的橋上移動荷載分階段識別方法[J].工程力學,2008,25(9)：85-92.

Li Zhongxian, Chen Feng, Wang Bo. A BP neural network-based stage identification method for moving loads on bridges[J]. Engineering Mechanics, 2008,25(9):85-92. (in Chinese)

[14] 陳修輝.基于神經(jīng)網(wǎng)絡的橋梁移動荷載識別[D].成都:西南交通大學,2009.

[15] Liu Guirong, Han Xu. Computational inverse techniques in nondestructive evaluation[M]. Boca Raton: Chemkal Rubber Company Press, 2003:19-26.

[16] Xu Bin, Wu Zhishen, Chen Genda, et al. Direct identification of structural parameters from dynamic responses with neural networks[J]. Engineering Applications Artificial Intelligence, 2004,17(8):931-943.

[17] 周毅,徐柏齡.神經(jīng)網(wǎng)絡中的正交設計法研究[J].南京大學學報:自然科學版,2003,37(1):72-78.

Zhou Yi, Xu Boling. Orthogonal method for training neural networks[J]. Journal of Nanjing University: Natural Sciences, 2003,37(1):72-78. (in Chinese)

[18] 馬銳.人工神經(jīng)網(wǎng)絡原理[M].北京:機械工業(yè)出版社,2010:136-143.

[19] 金虎.基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡的結構荷載識別與損傷識別研究[D].杭州: 浙江大學,2005.

[20] 吳大宏, 趙人達. 基于神經(jīng)網(wǎng)絡的混凝土橋梁荷載識別方法研究[J].中國鐵道科學,2002,23(1):25-28.

Wu Dahong, Zhao Renda. Research on the method of load identification for concrete bridge based on neural network[J]. China Railway Science, 2002,23(1):25-28. (in Chinese)