楊 寧

(河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

一、前言

鑒于向量同時兼?zhèn)鋷缀涡问胶痛鷶?shù)形式這一特點，在和其他知識點交匯處命制高考題順其自然就備受高考命題者所青睞。作為串聯(lián)多個知識點交匯的媒介，在填空題和選擇題方面其綜合能力較強(qiáng)；在數(shù)學(xué)思想方面，重點設(shè)計到化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想以及分類討論等數(shù)學(xué)思想。常見的主要有三角函數(shù)與向量的綜合命題，函數(shù)與向量，不等式與向量以及壓軸題圓錐曲線和向量的綜合命題等等，最終都是以求代數(shù)問題而告終。而對于學(xué)生來說，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力等。同時也考查學(xué)生是否能綜合巧妙的運用這些知識點去解決交匯問題的能力。本文例說高考數(shù)學(xué)中向量與其它知識的交匯及相關(guān)的解題策略。

二、向量與其他知識的交匯與融合

縱觀近幾年的考試，在向量的命題方面，單獨命題的試題量甚微，但凡涉及到向量的試題都有一個明顯的特點——加大了對交匯題的考查，充分體現(xiàn)了考試說明中“在知識交匯處”命題的一個基本原則。

(一)平面向量與平面幾何的交匯

例 已知ΔABC中，∠C是直角，CA=CB，D是CB的中點，E是AB上一點，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.

證明：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)E(x,y)、A(0,a),則B(a,0).

(二)平面向量與解析幾何中的交匯

(三)平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的結(jié)合

(四)平面向量與不等式的交匯

例 已知實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，且a2+b2+c2=1，求a的最大值.

(五)向量與方程的交匯

(六)向量與立體幾何的交匯

(1)求證：DM⊥平面ABC；

(2)求二面角C-BM-D的大小.

證明：如圖，取BD中點N，連結(jié)AN,CN∵將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，∴AN⊥BD，CN⊥BD，

∵平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，CN?平面CBD，CN⊥BD，∴CN⊥平面ABD。

以A為原點，AB、AD、AM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：則

三、結(jié)語

新視域下，新課程增加了現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容——向量。其目的不僅在于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容方面上的更新，更重要的是將新的思維方法帶入了高中數(shù)學(xué)中來，因此可以更有效地處理和解決數(shù)學(xué)問題以及實際應(yīng)用問題，也從中啟示我們在高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，應(yīng)著重突出向量的工具性，注重向量與其它知識的交匯與融合，切忌諱深層次挖掘。

通過以上的例說，不難看出，借用向量知識，降低了很多題型的運算難度，同時也減小了運算量，向量知識在高中數(shù)學(xué)中作為一個新的知識，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中起到了至關(guān)重要的作用，在多個知識點交匯的地方完美的體現(xiàn)出了數(shù)與形的統(tǒng)一。我們在研究數(shù)學(xué)問題時，借助向量這個獨特的工具，使我們能深刻的透過數(shù)學(xué)現(xiàn)象看出其中的本質(zhì)問題，從而使問題得到相應(yīng)的解決。

此外，在高考命題方面，命題專家會根據(jù)知識點交匯為突破口命題。作為教師，在高中數(shù)學(xué)中，常把其它問題進(jìn)行化歸，變成為簡單的向量計算，其中將抽象的邏輯推理演變?yōu)榫唧w的向量運算，實現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，所以平面向量為載體的數(shù)學(xué)試題與其它數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密，具有很強(qiáng)的時代氣息，因此倍受命題老師的青睞。因此要正確引導(dǎo)學(xué)生把握常見題型的特點，讓學(xué)生多次的反復(fù)熟悉其蘊含的數(shù)學(xué)思想以及解題方法，在考場上能應(yīng)對自如，同時要注意符號的書寫，抓住重點內(nèi)容，輕松應(yīng)考。

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