錢建兵

【摘 要】日常生活經(jīng)驗促使學(xué)生形成了“日常數(shù)學(xué)概念”，而在這些“日常數(shù)學(xué)概念”中，存在著個人的、生活化的、零散的對數(shù)學(xué)概念的理解與認識，教學(xué)中要了解并利用“日常數(shù)學(xué)概念”中科學(xué)的、數(shù)學(xué)化的成分，引導(dǎo)學(xué)生在操作與思考的不斷深入與精致中，凸顯數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵，并認識到原有知識中的不足，由模糊走向清晰，祛除非本質(zhì)屬性并進行抽象概括，促進顯性化數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的形成。

【關(guān)鍵詞】默會性；顯性化結(jié)構(gòu)；經(jīng)驗；思維

一、教材與學(xué)情分析

蘇教版教材中“平行四邊形的認識”是在三角形的認識之后編排的內(nèi)容。教材在編排這一內(nèi)容時，讓學(xué)生利用方格紙，畫出一個平行四邊形，從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征。這樣的編排，有利于學(xué)生充分利用原有認知平行四邊形的經(jīng)驗。

教材內(nèi)容如下圖：

學(xué)生在生活中見過、接觸過大量的平行四邊形，在圖形的認識過程中，也建立了平行四邊形的“標準式”：上下一組對邊平行、相等，并伴隨著一些直覺性的認識，如有兩個銳角和兩個鈍角。因此，本課的教學(xué)，需要幫助學(xué)生排除生活概念的干擾，理清哪些是平行四邊形本質(zhì)的特性，哪些是平行四邊形非本質(zhì)的特性。在此探究的過程中，積累學(xué)習(xí)平面圖形的經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。方格中的平行線、單位長度，正好利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的特征，但也應(yīng)注意到，這種加工好的素材，也可能會限制學(xué)生的思考空間。

與原教材提供多種思路作（畫）平行四邊形相比，只提供一種材料（思路），是向真實兒童經(jīng)驗的回歸。原教材中的一些方法只是成人想出的，并不是學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗想出來的。這也提醒我們，成人提供的經(jīng)驗是否能與兒童的經(jīng)驗產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，是這種方法有無教學(xué)意義的依據(jù)。而讓學(xué)生在方格紙上畫平行四邊形，學(xué)生容易將經(jīng)驗中的平行四邊形、平行線的認識與方格紙上的條件聯(lián)系起來，產(chǎn)生一種聯(lián)結(jié)，學(xué)生在這一情境中更容易整體感知平行四邊形的特征。

課前的調(diào)查表明，學(xué)生在腦中有著標準的平行四邊形的表象，能認識、判斷一個圖形是不是平行四邊形。如學(xué)習(xí)長方形與正方形的認識一樣，在課堂學(xué)習(xí)之前，大量的社會性的、緘默的學(xué)習(xí)，使學(xué)生已經(jīng)建立了相關(guān)的認識。但這種認識是整體性的，這種認識是一種默會性認識，處于一種“不能言”的狀態(tài)，因而是不成形的、無結(jié)構(gòu)的。既然已認識了平行四邊形，那么再讓學(xué)生去經(jīng)歷所謂的猜想、操作、驗證，必定索然無味，學(xué)生的思維就會始終處在一個比較淺的應(yīng)對層次上面。另外，對平行四邊形特征的認識，學(xué)生對平行的感知要強于對長度特征的感知，特別是如何引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)標準式中左右一組對邊平行關(guān)系，進而發(fā)現(xiàn)對邊的相等關(guān)系，從而形成明確的結(jié)構(gòu)化的認識，這是教學(xué)中需要思考的問題。

二、教學(xué)過程

基于以上的認識與思考，我進行了以下的教學(xué)實踐。

（一）引入

談話：四根小棒，可能圍成一個什么圖形？

生：長方形。

師：能圍成一個長方形嗎？（給出四根都不一樣長的小棒）

生：不能。四根小棒要兩根兩根一樣長，因為長方形的對邊相等。

師：除了對邊相等，長方形還有什么特征？

生：四個角都是直角。

師：看來，我們研究一個圖形可以從邊與角這兩方面去描述一個圖形的特征。這四根小棒只能圍成長方形嗎？

生：還可以斜過來，圍成平行四邊形。

師：今天我們就來認識平行四邊形。

【反思】回顧長方形的特征，喚起已有平面圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。同樣的四根小棒，既可圍成長方形，也可圍成平行四邊形，說明學(xué)生對對邊相等有一定的認識，只是在教學(xué)中我們需要將這些特征顯性化和系統(tǒng)化，將其納入平行四邊形的特征系統(tǒng)。

（二）研究特征

1.呈現(xiàn)“標準式”，反思中初現(xiàn)邊的特征

師：你能在方格紙上畫一個平行四邊形嗎？畫好了在小組里交流一下。（學(xué)生在作業(yè)紙上操作）

集體交流。

生：我畫的時候先畫出一組邊（指水平方向的），再畫出另一組邊（指左右方向的）。

生：也可以這樣豎著畫。

師：老師注意到了，不管是先畫上下一組邊還是先畫左右一組邊，都要正好畫在這些格子的邊線上。

生：因為方格紙上橫著的線都互相平行，豎著的也互相平行。

師：你們的意思是說平行四邊形有什么特點？

生：這兩條邊是平行的。

【反思】借助方格紙，讓學(xué)生將原有認識中的平行四邊形的“標準式”呈現(xiàn)出來，并借助這一“標準式”，來進一步認識平行四邊形的特征。學(xué)習(xí)的社會性告訴我們，人的社會性本質(zhì)所驅(qū)動的學(xué)習(xí)都是基于有意識和無意識的模仿。小組的學(xué)習(xí)形式讓不同質(zhì)的學(xué)生有效地進行交互，促使每一個個體原有經(jīng)驗的激活。學(xué)生對平行四邊形的原有認識具有整體性，能從整體外觀上判斷一個圖形是“像”還是“不像”平行四邊形。即便有學(xué)生在畫的時候把兩邊畫得不一樣長，但在自己的觀察之后，能及時地改正過來，并認識到自己錯誤的原因。這也充分說明他內(nèi)心不斷地將所畫與平行四邊形的標準式表象進行比較。因此，這里畫平行四邊形是對特征的整體呈現(xiàn)。教學(xué)中，要讓學(xué)生充分地畫，并讓其充分地進行自我反思與同伴交流，即與心里表象不斷對質(zhì)。這是默會認識走向顯性的前提。但此時學(xué)生對平行四邊形缺少精確的把握，即特征的明確。弗賴登塔爾說過，只要學(xué)生沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次。引導(dǎo)學(xué)生對畫法的反思，即對平行四邊形的認識走向了顯性化的第一步。

2.思維聚焦，明晰特征

師：我們已會在方格紙上畫平行四邊形，下面兩條直線，你能利用它們，畫一個平行四邊形嗎？

出示：

生：不能，因為這兩條直線不平行。

師：它能成為兩組對邊中的任意一組嗎？

生：不能。平行四邊形的兩組對邊分別平行。

師：你是怎么知道平行四邊形的兩組對邊分別平行的？拿出剛才畫的平行四邊形，你準備怎么檢驗？

生：我們畫的時候，一組對邊就正好是方格的邊線，另一組雖然不在邊線上，但是都一樣地斜過去，角度一樣，所以我判斷是平行的。

生：但也不能代表它們一定平行。我覺得可以用畫平行線的方法檢查一下。

生：可以看成是這邊上的一個三角形平移過去，那么平移后的對應(yīng)邊應(yīng)該是平行的。

師：想象一下，怎樣調(diào)整，就能成為平行四邊形？調(diào)整之后的平行四邊形是什么樣子的？

師：（出示第2組）能利用它們畫一個平行四邊形嗎？

生：也不能，長度不相等。

生：可以，雖然現(xiàn)在看上去它們不等，但可以延長其中的一條，使兩條一樣長。

師：你們的意思是說平行四邊形的對邊還要相等？你能驗證嗎？

生：我是數(shù)的（指方格紙上的平行四邊形）。上下兩條邊一樣，左右兩條邊也一樣。

師：左右兩邊也能數(shù)嗎？

生：可以量。

生：它們都是同樣大的長方形對角的連線。

生：我還是平移的，平移后對應(yīng)邊長度相等。

師：想象一下，怎樣使它們成為平行四邊形的一組對邊？想一想這個平行四邊形的樣子。

小結(jié)：平行四邊形的特征；變式判斷。

【反思】通過這個層次的操作，將學(xué)生的思維引向精致化的過程，從關(guān)注整體感覺到局部特征，幫助學(xué)生超越經(jīng)驗。學(xué)習(xí)新知的過程，是與標準比較的過程。因為學(xué)生已認識平行四邊形，這兩個沒有完成的圖形，分別指向了平行與相等的特征，引導(dǎo)學(xué)生將自己的經(jīng)驗與平行四邊形的特征進行對比，從而引導(dǎo)學(xué)生重新發(fā)現(xiàn)特征。這里的驗證，是學(xué)生為了對自己直覺經(jīng)驗的一種確定，因此具有自主性，不是讓學(xué)生在教師的指揮下進行的“驗證”。正因為如此，學(xué)生能積極地思維，能夠激活已有的經(jīng)驗與畫平行四邊形時的體驗。特別是對于對邊相等，不正好畫格子線上，能進行簡單的推理。這種思維方式正是在小學(xué)需要適時培養(yǎng)的。不少學(xué)生在高年級，仍依賴“眼見為實”的直觀思維思考問題，圖形看上去是直角，就認為是直角，線段之間的長度看見是什么關(guān)系就認為是什么關(guān)系，思維缺少嚴謹性。不給出完整的圖形，而是讓學(xué)生想象，是需要加工的“半成品”，這樣的發(fā)現(xiàn)就有一種思維上的探究，在嘗試、想象的過程中強化的平行四邊形的表象，對邊的特征有了新的認識，發(fā)展了空間想象力。

（三）研究高

出示標準式平行四邊形，你能根據(jù)對三角形高的理解說說什么是平行四邊形的高嗎？

生：這一組對邊之間的距離就是它的高。

師：畫一條它的高。想一想可以畫幾條？它們的長度相等嗎？

生：這一組對邊上的高有無數(shù)條，長度都相等。

出示高的定義：像這樣從平行四邊形一條邊上的一點到它對邊的垂直線段，是平行四邊形的高，這條對邊是平行四邊形的底。高用虛線，并且及時畫上垂直記號。

師：另一組對邊可以畫高嗎？這樣的高可以畫多少條？跟另一組對邊上的高一樣嗎？

生：可以。

師：原來平行四邊形兩組對邊間都可以畫高。

師：角頂點上的一點。這一點可以怎么畫高？有不同的畫法嗎。為什么這一點可以畫兩條不同的高？

三、教學(xué)反思

（一）對比反思中將經(jīng)驗的、模糊的認識顯性化

學(xué)生的已有認識是一切教學(xué)的起點。正是對起點有了比較準確的判斷，對于特征的認識，沒有費多少周折，讓學(xué)生自己去探索、發(fā)現(xiàn)。重點是通過學(xué)生的反思內(nèi)省，達到對特征的認識由模糊走向清晰，由緘默走向顯性，由零散走向結(jié)構(gòu)。在這些過程中，讓學(xué)生的思維參與到課堂中，注重的是空間想象，而不是不假思索地動手。比如對對邊相等的再確定，學(xué)生能夠沉靜在思考中，進行論證推理。其實，有時候教學(xué)被教師復(fù)雜化反而讓學(xué)生不知所措，學(xué)生真正用于思考的時間很少。特征的發(fā)現(xiàn)過程，沒有多少花哨的活動，只是不斷地引導(dǎo)學(xué)生與所畫的標準式進行對比，從而發(fā)現(xiàn)熟悉地方的風(fēng)景。

（二）提供的材料要能夠讓學(xué)生突破原有的樸素認識，聚焦概念本質(zhì)

在課上討論平行四邊形與長方形的關(guān)系時，不少學(xué)生一致認為長方形不具備平行四邊形的特征，理由是長方形四個角是直角，而平行四邊形的四個角是兩個銳角與兩個鈍角。這使筆者深刻地意識到學(xué)生對平行四邊形原有的認識：學(xué)生原先認識的平行四邊形的特征，不僅有邊的，更有角的。因為原有的認識圖形特征（長方形、正方形）的經(jīng)驗就有對角的關(guān)注。兩個鈍角和兩個銳角，這是學(xué)生對平行四邊形樸素的認識，因為這一“特征”比較外顯、直觀，而且掩蓋、干擾了對實質(zhì)——對角相等的認識。雖然教材沒有提及，但這確實是學(xué)生會提及的真的數(shù)學(xué)問題，我們無法也不能回避。這個問題不解決，學(xué)生難以理解平行四邊形與長方形的關(guān)系就很正常。因為他們看到的平行四邊形的角確實是這樣的，且這樣的觀念根深蒂固。如果認識了平行四邊形，學(xué)生對角的認識還是原有認識，這樣的知識結(jié)構(gòu)是有缺陷的。從知識的獲取方面來說，讓學(xué)生不限于一種方式（邊的特征）定義，多視角認識概念，有利于形成“概念域”，是概念學(xué)習(xí)過程中深層次的精致。直面學(xué)生的各種真問題進行教學(xué)，是兒童立場的根本。因此，提供的材料要能夠讓學(xué)生突破原有的對平行四邊形角的樸素認識，聚焦概念本質(zhì)。

教學(xué)研究就是這樣，就是不斷地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題而后又發(fā)現(xiàn)新問題、解決新問題的過程。如果利用兩個完全一樣的三角形拼一個平行四邊形，一方面，可以感知對邊相等，另一方面，主要是為學(xué)生研究平行四邊形的角的特征提供一個平臺，同時豐富圖形轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗，為三角形的面積計算公式推導(dǎo)做好鋪墊。在交流時，明確問題：四個角有什么關(guān)系，而不是模棱兩可“角有什么特征”，學(xué)生就自然而然地表達為“對角相等”。因為在操作時，他們是能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的一組對角是兩個三角形的對應(yīng)的一個內(nèi)角，而另一組則是由三角形另外兩個角拼成的，并且是相等的。這樣就可能沒有說教，讓學(xué)生自覺地放棄了“兩個鈍角、兩個銳角”的直覺經(jīng)驗，從而上升到特征的認識，理解平行四邊形與長方形的關(guān)系時也就沒有什么障礙了。

（江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué) 226301）