余波何秋燕袁曉

1)(成都師范學院物理與工程技術學院,成都 611130)

2)(四川大學電子信息學院,成都 610064)

1 引 言

理想分抗(元)的阻抗函數(shù)

式中μ為運算階數(shù);s是拉普拉斯變量,亦稱運算變量[1,2];F(μ)為分抗特征值,是一個有量綱有單位的物理量[3].分抗元是基本電路元件(電阻、電容、電感、電耦[4,5])的一種很自然的推廣,再結合有源元件(比如運算放大器、OTA器件等),便可以實現(xiàn)分數(shù)階微積分運算.

理想的分抗元是不存在的,相對應的近似實現(xiàn)稱為分抗逼近電路.構建分抗逼近電路的途徑主要有:自然現(xiàn)象與過程的電路建模、μ階算子s μ的直接有理逼近.常見的經(jīng)典分形分抗逼近電路,如Oldham分形鏈類、Sierociuk分形鏈、Haba分形線分抗等僅具有半階運算性能且是非理想逼近[1].1960年,Carlson在研究航空線性自適應伺服系統(tǒng)的補償問題時,提出理想逼近的負半階對稱格型RC網(wǎng)絡[6]——Carlson分形格分抗(逼近電路).Carlson分形格分抗通過嵌套能得到?1/2n階(n為大于或等于2的整數(shù))分抗逼近電路[1,7],但結構復雜,使用的元件數(shù)多,無法實現(xiàn)任意分數(shù)階運算(或無法逼近任意分數(shù)階微積分算子).

在對比分析經(jīng)典的負半階Oldham分形鏈與Liu-Kaplan分形鏈分抗的基礎上,文獻[8]通過類比拓展構造出三種新型分形鏈分抗與對應的新型Liu-Kaplan標度方程.標度拓展不僅可以實現(xiàn)任意分數(shù)階分抗,而且能夠極大地提高逼近效益,簡化電路.標度化的迭代方程——Liu-Kaplan標度方程十分精煉地描述了一大類自仿射自相似分形結構體系所具有的分數(shù)冪關系與現(xiàn)象,不僅涉及到分形、電解金屬電極界面、粗糙度、標度因子等物理概念,而且具有廣泛的物理、化學、生物等現(xiàn)實背景因素,從而受到人們特別的關注[1,8,9].

本文旨在類比拓展Carlson分形格分抗及其歸一化迭代方程,獲得具有高逼近效益的任意階標度分形格分抗和可物理實現(xiàn)的格型標度方程(任意分數(shù)階微積分算子有理逼近),并從理論與實驗等角度證明標度拓展的有效性.

任意階標度分形格分抗逼近電路和格型標度方程可廣泛的應用于分數(shù)階混沌系統(tǒng)[10,11]、分數(shù)階線性系統(tǒng)[12,13]、分數(shù)階流變模型[14]、分數(shù)階蠕變模型[15]、分數(shù)階憶阻器[7,16]和水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)[17?19]等的電路建模與仿真、理論計算或物理實現(xiàn).

2 Carlson分形格的數(shù)學描述與運算性能

2.1 數(shù)學描述——迭代電路與迭代方程

圖1 有限k節(jié)Carlson分形格分抗逼近電路 (a)原型電路:2k×R,2k×C;(b)(代數(shù))迭代電路;(c)歸一化原型電路;(d)歸一化迭代電路Fig.1.Finitek-stage Carlson fractal-lattice fractance approximation circuit:(a)Prototype circuit 2k×R,2k×C;(b)algebraic iterating circuit;(c)normalized prototype circuit;(d)normalized iterating circuit.

有限k節(jié)Carlson分形格分抗逼近電路[1,6]如圖1(a)所示,當給定一個初始阻抗Z0(s)時,輸入阻抗函數(shù)Zk(s)由迭代公式

算出,式中k表示電路的基本格型節(jié)的節(jié)數(shù);R和C分別是電路中電阻的電阻值和電容的電容量.代數(shù)迭代式稱為Carlson分形格分抗的迭代函數(shù).由(2)式可畫出等價的(代數(shù))迭代電路(圖1(b)).

迭代電路與迭代方程

完全表征了Carlson分形格分抗的基本運算性能.

令

(式中τ是時間常數(shù),w稱為歸一化運算變量,yk(w)稱為歸一化阻抗函數(shù)).則得到(2)式的歸一化迭代形式

其中

稱為Carlson分形格分抗的歸一化迭代函數(shù).由(6)式畫出歸一化迭代電路如圖1(d)所示.

歸一化迭代方程

的算術根yC(w)=w ?1/2是Carlson分形格分抗的(歸一化)極限阻抗,即有

這表明Carlson分形格分抗是負半階(即μ=?1/2)算子w ?1/2的全頻有效的理想逼近[1].

2.2 運算性能與逼近性能分析

當y0(w)=∞(即開路)時,k節(jié)Carlson分形格分抗的歸一化阻抗[1]

與相頻特征

階頻特征μk(?)與相頻特征θk(?)曲線(圖2(a)與(b))刻畫分抗逼近電路的運算性能與逼近性能[1?3,8,9,20?22]. 由運算特征曲線(圖2(a)與(b))可得Calrson分形格分抗電路的逼近帶寬指數(shù)[1]

圖2 運算特征曲線 (a),(b)Carlson分形格分抗電路——標度拓展前:α=β=1,σ=αβ=1;(c),(d)正比拓展標度分形格分抗電路:α=β=2;(e),(f)反比拓展標度分形格分抗電路:α=β=1/2Fig.2.Operational characteristics plots:(a),(b)Carlson fractal-lattice fractance approximation circuit before scaling extensionα=β=1,σ=αβ=1;(c),(d)scaling fractal-lattice fractance approximation circuit by direct proportion extensionα=β=2;(e),(f)scaling fractal-lattice fractance approximation circuit by inverse proportion extensionα=β=1/2.

逼近效益——逼近帶寬指數(shù)與電路節(jié)數(shù)?C[k]=k之比:

3 標度拓展與標度分形格分抗逼近電路

3.1 標度拓展與格型標度方程

對歸一化Carlson分形格分抗(圖1(c))進行標度拓展[8],得到圖3(a)所示的標度分形格分抗.圖3(a)中標示的參量α是電阻遞進比、β是電容遞進比.α,β統(tǒng)稱為分形格分抗電路的標度特征參量,σ=αβ稱為該電路的標度因子(scaling factor).當0<α<1,0<β<1時,稱為反比拓展;當1<α<∞,1<β<∞時,稱為正比拓展.

圖3 標度分形格分抗及其標度迭代電路 (a)歸一化電路:0<α<∞0<β<∞;(b)歸一化迭代電路:σ=αβFig.3.Scaling fractal-lattice fractance approximation circuit and corresponding scaling iterating circuit:(a)Normalized prototype circuit 0<α<∞,0<β<∞;(b)normalized scaling iterating circuit:σ=αβ.

有限k節(jié)標度分形格分抗逼近電路的輸入阻抗函數(shù)可由標度迭代公式

算出.由此畫出等價的標度迭代電路如圖3(b)所示.

在數(shù)學上,標度拓展是將代數(shù)迭代方程(8)進行標度變換[8]

得到一個非正則標度方程——格型標度方程

3.2 格型標度方程的近似求解與運算有效性

對于有限k節(jié)標度分形格電路(圖3(a)),由于每格形節(jié)的特征頻率

因此正比拓展(1<σ<∞)時,wi向低頻擴展.反比拓展(0<σ<1)時,wi向高頻擴展.

對于正比拓展獲得的有限k節(jié)標度分形格電路,考慮y0(w)=∞(即開路)情形.由于

在極高頻率條件下(即1<|w|→∞時),電路呈現(xiàn)電阻特性,在極低頻率條件下(即1>|w|→0時),電路表現(xiàn)出電容特性,即有

在頻段滿足

時,電阻與電容共同作用,整個電路呈現(xiàn)出分數(shù)階運算性能.此時,非正則標度方程(17)將簡化為正則標度方程

并有近似解

式中,ζ是一個常數(shù),μLiu稱為Liu氏運算階,函數(shù)yLiu(w)稱為Liu氏粗解.

近似解(23)式表明,通過調(diào)節(jié)電阻遞進比α與電容遞進比β的取值,可構造出具有任意Liu氏運算階的分抗逼近電路.當取α=β=2時,正比拓展得到μLiu=?1/2階的低頻有效分抗逼近電路,其運算特征曲線如圖2(c),(d)所示.

反比拓展(0<α<1,0<β<1,0<σ<1)在高頻段也可得到同樣的Liu氏近似解.當取α=β=1/2時,反比拓展得到μLiu=?1/2階的高頻有效分抗逼近電路,其運算特征曲線如圖2(e),(f)所示.

3.3 格型標度方程的真實解與分形格電路的運算振蕩現(xiàn)象

近似解(23)式在理論上表明了格型標度方程(17)所描述的電路具有分數(shù)階運算性能.當前在數(shù)學上直接精確求解方程(17)是困難的.但根據(jù)電路的級聯(lián)結構特點,使用傳輸參量矩陣法[1,8,9],或使用標度迭代公式

在給定一個初始的有理阻抗函數(shù)y0(w)時,比如y0(w)=∞(即初始阻抗開路),可以求出一個有理的輸入阻抗函數(shù)序列{yk(w)}k∈N,使得

是非正則標度方程(17)的一個真實解——標度分形格電路的極限阻抗函數(shù).

取定標度因子σ ?=1,由μLiu=?lgα/lgσ得電路的標度特征參量

將這些參量代入(24)式,給定μLiu與σ就能算出相對應的有理阻抗函數(shù)序列{yk(w)}k∈N,并由此獲得階頻特征μk(?)曲線(圖4)與相頻特征θk(?)曲線.

由圖2與圖4可知,標度分形格分抗電路的運算特征產(chǎn)生了運算振蕩現(xiàn)象,存在固有的振蕩周期

圖4 標度分形格分抗逼近電路的階頻特征曲線 (a)正比拓展σ=5;(b)反比拓展σ=1/5Fig.4.Order-frequency characteristic plots of scaling fractal-lattice fractance approximation circuit:(a)Direct proportion extensionσ=5;(b)inverse proportion extensionσ=1/5.

振蕩幅度不但與標度因子σ有關,還與運算階μLiu密切關聯(lián).

顯然,當σ=1時有W=0,意味著無運算振蕩現(xiàn)象.這正好表征了Carlson分形格分抗電路的運算特點(圖2(a),(b)).

3.4 標度分形格分抗電路的逼近性能分析

首先考察負半階分形格分抗電路.此時α=β,σ=αβ,μLiu=?lgα/lgσ.

標度拓展前,α=β=1,逼近帶寬指數(shù)πC[k]由(13)式給出,逼近效益ηC[k]((14)式)隨節(jié)數(shù)k的增加迅速減小并趨近于零.標度拓展后,由圖2(c)—(f)與圖4可求出逼近帶寬指數(shù)

逼近效益

此時可見,標度拓展極大地提高了逼近效益.相對于標度拓展前的Carlson分形格電路,獲得的拓展增益

定量表征標度分形格分抗相對于Carlson分形格分抗獲得了更高的逼近效益程度.

Carlson分形格分抗的逼近效益ηC[k]與標度分形格分抗的逼近效益η(?1/2)σ[k]曲線如圖5所示.由圖5可知,通過選擇合適的標度因子σ和電路節(jié)數(shù)k,標度分形格分抗可獲得比Carlson分形格分抗更高的逼近效益.由拓展增益函數(shù)(30)式得到如圖6所示的曲線,當拓展增益gσ[k]>1時,標度分形格分抗的逼近效益高于Carlson分形格分抗.

對于α≠β≠1的情形,μLiu≠?1/2,由階頻特征曲線可求得逼近帶寬指數(shù)

逼近效益

式中κ(μLiu)是由運算階μLiu確定的正實數(shù).

圖5 逼近效益對比曲線Fig.5.Contrast curves of approximation efficiency.

圖6 拓展增益曲線Fig.6.Extension efficiency curve.

4 實驗測試

4.1 測試系統(tǒng)與測試方法

構建有源半階微分運算電路作為分抗測試電路(圖7),取R=300 ?,C=0.47 μF,分別使用五節(jié)Carlson分形格分抗(圖1,拓展前α=β=1,σ=1,k=5)與標度分形格分抗(圖3,拓展后α=β=2,σ=4,k=5)為分抗元F.

圖7 有源半階微分運算原理電路Fig.7.Active differential operational principle circuit of half order.

圖7中運算放大器A,B采用高速電流反饋運算放大器THS3001,Rb1=Rb1=820 ?,Rin=1 k?,Rf1=2.2 k?,Rf2=5.6 k?. 電阻阻值誤差小于5%,電容容量誤差小于10%.由電路的電壓傳輸函數(shù)(理論上)

可得到被測分抗逼近電路阻抗函數(shù)Zk(s)的幅頻特征Ak(?).測量輸入正弦電壓信號uin(t)的峰-峰值Vinpp(?)、輸出正弦電壓信號uout(t)的峰-峰值Voutpp(?),則有

進而數(shù)值求解分抗的階頻特征

與F特征[22]

正弦信號uin(t)由信號發(fā)生器(型號:EE16330)輸出,示波器(型號:TDS1012 C)測量信號uin(t)與信號uout(t)的峰-峰值(Vinpp(?)與Voutpp(?)).信號uin(t)是頻率在0.1 Hz—1 MHz范圍內(nèi),?均勻離散變化的正弦信號.實驗測試時,控制Vinpp(?)與Voutpp(?)在電路正常工作的電壓范圍內(nèi).

4.2 測試結果與分析

五節(jié)Carlson分形格分抗與標度分形格分抗的階頻特征與F特征實驗測試結果與理論對比如圖8所示.由(35)和(36)式可知,階頻特征和F特征的實驗結果需要數(shù)值微分運算.由于實驗數(shù)據(jù)固有的誤差、數(shù)值微分相對于理想微分的誤差,造成實驗得到的階頻特征和F特征離散較大.使用MATLAB中的smooth函數(shù)對數(shù)值微分后的數(shù)據(jù)進行平滑濾波處理,結果如圖8所示的星號曲線所示(平滑點為20,lowess平滑方法).

實驗測試結果與理論分析相符合,誤差主要來源于電路元件參數(shù)誤差、實驗測試儀器誤差和平滑濾波誤差,且圖8(b)所示的階頻特征再次印證了格型標度方程Liu氏近似解的正確性.五節(jié)Carlson分形格分抗(拓展前α=β=1,σ=1,k=5)的逼近帶寬指數(shù)πC[5]≈1.5918,逼近效益ηC[5]≈0.3184,標度分形格分抗(拓展后α=β=2,σ=4,k=5)的逼近帶寬指數(shù)逼近效益由此可知圖8中的運算特征也證明標度分形格分抗相對于Carlson分形格分抗可獲得更高的逼近帶寬指數(shù)和逼近效益,符合圖6所示的拓展增益結果.

圖8 實驗測試結果 (a)Carlson分形格分抗的階頻特征,拓展前σ=1;(b)標度分形格分抗的階頻特征,拓展后σ=4;(c)Carlson分形格分抗的F特征,拓展前σ=1;(d)標度分形格分抗的F特征,拓展后σ=4Fig.8.Experimental test results:(a)Order-frequency characteristic of Carlson fractal-lattice fractance approximation circuit before extension(σ=1);(b)order-frequency characteristic of scaling fractal-lattice fractance approximation circuit after extension(σ=4);(c)F-frequency characteristic of Carlson fractal-lattice fractance approximation circuit before extension(σ=1);(d)F-frequency characteristic of scaling fractal-lattice fractance approximation circuit after extension(σ=4).

5 應用案例——信號的分數(shù)階微分運算

由(35)和(36)式及圖8可知,在有效運算頻率范圍內(nèi),五節(jié)標度分形格分抗逼近理想分抗的阻抗值

若將五節(jié)標度分形格分抗看作理想分抗,則由(33)和(37)式可得圖7所示的半階微分電路的運算關系

式中,t為時間,uin(t)為輸入信號,uout(t)為輸出信號.

若輸入信號uin(t)為周期三角波,?0為基波角頻率,T為周期,E為峰峰值,根據(jù)周期三角波信號的半階微分表達式[23?25]

與(38)式,計算半階微分運算電路的理論輸出信號uout(t)(圖9(a)),與實驗測試結果一致(圖9(b)).

若輸入信號uin(t)為周期方波,根據(jù)周期對稱方波信號的半階微分表達式[23?25]

與(38)式,算出半階微分運算電路的理論輸出信號uout(t)(圖10(a)),與實驗測試結果相符合(圖10(b)).

通過輸入周期三角波和周期方波,實驗測試結果證明圖7所示的半階微分電路能完成信號的分數(shù)階微分運算.

圖9 半階微分電路對周期三角波信號的運算結果 (a)理論分析;(b)實驗測試Fig.9.Operational results of differential circuits of half-order for periodic triangular wave signals:(a)Theoretical analyses;(b)experimental measurements.

圖10 半階微分電路對周期對稱方波信號的運算結果 (a)理論分析;(b)實驗測試Fig.10.Operational results of differential circuits of half-order for periodic symmetric square wave signals:(a)Theoretical analyses;(b)experimental measurements.

6 結 論

標度拓展Carlson分形格分抗獲得任意階標度分形格分抗,它完全由格型標度方程(17式)描述.通過調(diào)節(jié)電阻遞進比α、電容遞進比β的取值,能夠設計任意階分抗逼近電路.雖然標度分形格分抗的運算特征產(chǎn)生了周期為|lgσ|的振蕩現(xiàn)象,但負半階標度分形格分抗的逼近效益明顯高于Carlson分形格分抗.本文同時證明格型標度方程(17)式是一種可物理實現(xiàn)的任意分數(shù)階微積分算子有理逼近.

關于標度分形格分抗與非正則格型標度方程,本文研究僅僅是一個開端,還存在以下亟待解決的問題:

1)標度分形格分抗的運算振蕩現(xiàn)象的定性與定量特征研究.

2)獲得格型標度方程的真實解的解析表達式是非常困難的.本文初步探討了怎樣求解格型標度方程.若能夠得到格型標度方程的真實解的解析表達式,便能描述標度分形格分抗的運算特征的振蕩現(xiàn)象,也為求解其他非正則標度方程提供一種思路.

3)運算階μLiu?=?1/2的標度分形格分抗,對理想的分數(shù)階微積分算子的逼近效果在歸一化特征頻率w0附近不甚理想.研究標度分形格分抗的優(yōu)化也是一件有趣的事,特別是對標度分形格分抗電路的微調(diào)整——添加補償電阻或補償電容,能顯著地提高逼近性能.

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