羅肖霞 劉 奕 劉敬賢

(武漢理工大學(xué)航運(yùn)學(xué)院1) 武漢 430063) (內(nèi)河航運(yùn)技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2) 武漢 430063)

0 引 言

船舶間時(shí)距分布又稱船舶到達(dá)規(guī)律，屬于宏觀交通流特征的一種，是對大量船舶到達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后挖掘出的一種船舶交通特征.研究船舶間時(shí)距分布規(guī)律對于船舶交通流特征度量、通過能力研究和岸線規(guī)劃研究均有一定意義.

國內(nèi)外均已展開了具有一定深度和廣度的船舶間時(shí)距分布研究，文獻(xiàn)[1-2]利用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理對分析船舶在港區(qū)和橋區(qū)的到達(dá)規(guī)律，得出船舶的到達(dá)規(guī)律服從泊松分布；劉敬賢等[3]對天津港主航道2003—2005年的船舶交通流的概率分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析得出船舶到達(dá)規(guī)律服從正態(tài)分布.Kozan[4]在研究了澳大利亞布里斯班集裝箱碼頭到港數(shù)據(jù)后，總結(jié)出船舶到港規(guī)律符合指數(shù)分布模型.Noritake等[5]發(fā)現(xiàn)埃爾朗分布能有效擬合隨機(jī)到達(dá)的雜貨船的到港規(guī)律.張魯寧等[6-8]對集裝箱港區(qū)船舶到港時(shí)間間隔統(tǒng)計(jì)分析后得出，集裝箱港區(qū)概率服從符合埃爾朗分布.黃顯鑫等[9]分析廈門港主航道船舶到達(dá)數(shù)據(jù)后得出γ分布能有效擬合船舶的到達(dá)規(guī)律.總結(jié)研究現(xiàn)狀可知，已有船舶到達(dá)規(guī)律研究仍停留在運(yùn)用傳統(tǒng)分布模型的層面，如指數(shù)分布、埃爾朗分布.而這兩種模型都有其局限性，無法涵蓋船舶間時(shí)距分布的某些特征點(diǎn).

對數(shù)正態(tài)分布由于本身的性質(zhì)，可用于描述某些呈右偏態(tài)分布的樣本，在金融市場和生物學(xué)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[10].交通領(lǐng)域最早由Greenberg[11]引入用以研究車輛間時(shí)距問題，研究認(rèn)為對數(shù)正態(tài)模型適用于交通負(fù)荷較大的區(qū)域.對數(shù)正態(tài)分布在公路的間時(shí)距分布問題上有較好的表現(xiàn)，其偏態(tài)分布的特性能較好擬合間時(shí)距較小，概率密度大的特征[12-13].而在水路交通領(lǐng)域，僅有初秀明等[14]在探索長江中下游航道通過能力時(shí)，使用了該模型對武漢段、蕪湖段船舶間時(shí)距進(jìn)行擬合，但并未對模型的擬合優(yōu)度進(jìn)行分析.

本文旨在進(jìn)一步研究對數(shù)正態(tài)分布在船舶間時(shí)距問題上的適應(yīng)性和優(yōu)越性.引入對數(shù)正態(tài)分布模型對港口泊位船舶間時(shí)距分布情況進(jìn)行擬合，并與埃爾朗分布和γ分布橫向比較，通過卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)確立三種函數(shù)中擬合最優(yōu)分布模型.使用天津港2012—2014年的船舶到達(dá)數(shù)據(jù)作為實(shí)例演算，同時(shí)，為保證對數(shù)正態(tài)分布模型的普適性，考慮三種不同船型在進(jìn)港排隊(duì)、船舶引航、貨物裝卸等方面的差異性，分別研究散貨、原油和集裝箱泊位的船舶到達(dá)間時(shí)距概率分布.

1 傳統(tǒng)船舶間時(shí)距分布模型

1)γ分布γ分布的概率密度函數(shù)為

t>0,α>0,β>0

(1)

(2)

式中：α為形狀參數(shù)；β為率參數(shù)；α，β均為實(shí)數(shù)；t為船舶間時(shí)距；Γ(α)為γ函數(shù).

γ分布的累積分布函數(shù)為

(3)

式中：γ(α，βt)為不完全γ函數(shù).

2) 埃爾朗分布 埃爾朗分布屬于γ分布的一種，當(dāng)γ分布的形狀參數(shù)(埃爾朗分布中多用k表示)為正整數(shù)時(shí)，函數(shù)即為埃爾朗分布.

埃爾朗分布的概率密度函數(shù)為

(4)

式中：k為形狀參數(shù)；λ為率參數(shù).

當(dāng)式(4)中λ為常數(shù)時(shí)，則變量t服從k階埃爾朗分布，k為正整數(shù).

k階埃爾朗分布的累積分布函數(shù)為

(5)

3) 指數(shù)分布 指數(shù)分布又稱負(fù)指數(shù)分布.當(dāng)式(4)中的形狀參數(shù)k為1時(shí)，函數(shù)為指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)見式(6).一般來說，如果船舶的到達(dá)服從泊松分布，則船舶間時(shí)距分布服從指數(shù)分布[15].

指數(shù)分布因其簡潔性而廣為所用，但指數(shù)分布并不適用于所有交通狀況下的間時(shí)距研究，特別是在交通較為擁堵、追越情況較少發(fā)生時(shí)；相對地，它更適用于船舶航行在寬闊水域或輕交通負(fù)荷的狀況下.

f(t;λ)=λe-λt,t>0,λ>0

(6)

4) 傳統(tǒng)分布模型的局限性 經(jīng)廣泛查閱文獻(xiàn)、分析函數(shù)本身特性后發(fā)現(xiàn)，指數(shù)分布首先不適用于對港口某泊位船舶到達(dá)規(guī)律進(jìn)行擬合，埃爾朗分布和γ分布也均存在一定的局限性：

指數(shù)分布中，當(dāng)間時(shí)距趨近于零，函數(shù)對應(yīng)最大的概率分布，此時(shí)表明船舶可以經(jīng)常同時(shí)到泊位，這顯然與實(shí)際情況不符.港口內(nèi)碼頭和泊位的數(shù)量是一定的，不可能無限接收船舶，船舶到港頻繁時(shí)勢必會(huì)需要等待.考慮到指數(shù)分布適用于開闊水域，而本文的算例研究選用了較繁忙的天津港水域，因此本文不對指數(shù)分布進(jìn)行比對.

埃爾朗分布和γ分布則較為靈活，雖不存在這一問題，但一方面由于埃爾朗分布的形狀參數(shù)必須為整數(shù)，經(jīng)擬合后求得的形狀參數(shù)一般需要經(jīng)過四舍五入，因此,存在一定的誤差；另一方面，雖然γ分布不限定形狀參數(shù)必須為整數(shù)，但其分布形狀的左尾部較厚，這也并不符合港口泊位船舶到達(dá)的實(shí)際情況.

2 對數(shù)正態(tài)分布模型建立

2.1 對數(shù)正態(tài)分布模型概述

對數(shù)正態(tài)分布是正態(tài)分布經(jīng)對數(shù)變換推演而來的.對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)見式(7)～(8).對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的均值和方差見式(9)～(10).式(11)為對數(shù)正態(tài)分布的變異系數(shù),式(12)為對數(shù)正態(tài)分布的偏度(又稱偏態(tài)，Skewness).

t>0,σ>0,μ∈

(7)

(8)

(9)

Var(t;μ,σ)=e2μ+σ2·(eσ2-1)

(10)

(11)

(12)

式(7)～(12)中:μ為位置參數(shù)，又稱對數(shù)均值參數(shù)，是變量t的自然對數(shù)的均值；σ稱為尺度參數(shù)，又稱對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，是變量t自然對數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

2.2 參數(shù)估計(jì)

選定函數(shù)后需對函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，即確定參數(shù)μ和參數(shù)σ的值.

本文選擇極大似然估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì).極大似然估計(jì)可通過求取對數(shù)似然函數(shù)最大值，尋求擬合結(jié)果的最優(yōu)值.對數(shù)似然函數(shù)的表達(dá)式見式(13).

(13)

式中：Θ為參數(shù)的極大似然估計(jì)值；n為樣本總數(shù)；ti為第i個(gè)間時(shí)距值；f(ti)為所研究函數(shù)的概率模型.

將對數(shù)似然函數(shù)對各參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，可得對數(shù)似然方程組.從方程組中求解即完成參數(shù)估計(jì).為求解參數(shù)μ和參數(shù)σ，對式(13)做如下推導(dǎo)，并求得μ和σ的極大似然估計(jì)值[16-17]，見式(15)～(16).

lntn)=C+lnN(μ,σ|lnt1,lnt2,…,lntn)

(14)

式中：C為常數(shù).

(15)

(16)

2.3 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)可用于檢驗(yàn)分布模型與實(shí)際船舶間時(shí)距分布的擬合程度與偏差值.擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的常用表征值為顯著性概率，或稱p值.常用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法有卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、K-S檢驗(yàn)等.因卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)過程簡便，易于操作，本文選用卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)分別對埃爾朗分布、伽馬分布、對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn).

卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中需將所有的數(shù)據(jù)合理劃分為不同區(qū)間，且每個(gè)區(qū)間樣本值不少于5.在確定假設(shè)函數(shù)后，引進(jìn)如下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

(17)

式中：Oi為區(qū)間i內(nèi)的實(shí)測頻數(shù)；Ei為區(qū)間i內(nèi)的理論頻數(shù)；n為區(qū)間總數(shù).

在卡方分布中，臨界值只與自由度R有關(guān)：

R=n-s-1

(18)

式中：s為被檢驗(yàn)分布的參數(shù)個(gè)數(shù).

3 實(shí)例研究

本文使用天津港2012—2014年船舶到達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行案例演算.原始數(shù)據(jù)來源于天津海事局，主要有如下幾個(gè)特點(diǎn)：①數(shù)據(jù)涵蓋所有2012—2014年通過主航道進(jìn)出天津港的船舶；②數(shù)據(jù)包括船舶基本信息，如吃水、船長、船名等；③數(shù)據(jù)包括船舶抵達(dá)泊位和離開泊位的具體時(shí)間.

為保證結(jié)論具有一定的普適性，不受船舶類型、船舶進(jìn)出港優(yōu)先順序等因素干擾，綜合考慮數(shù)據(jù)樣本豐富程度后，選取了三種船型篩選數(shù)據(jù)，即油船、集裝箱船、散貨船，每種船型選擇三個(gè)碼頭研究其到達(dá)規(guī)律.

根據(jù)對船舶進(jìn)出港口數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，作出統(tǒng)計(jì)樣本頻率直方圖，再分別將對數(shù)正態(tài)分布、埃爾朗分布、γ分布的概率密度函數(shù)與直方圖擬合，最終確定描述船舶間時(shí)距分布的函數(shù).

3.1 統(tǒng)計(jì)分析

篩選后的9組樣本船舶到泊位間時(shí)距的基本統(tǒng)計(jì)量見表1.

表1 船舶間時(shí)距樣本的基本統(tǒng)計(jì)量

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，樣本中船舶到達(dá)泊位總數(shù)(樣本數(shù))與船舶到泊間時(shí)距的均值和標(biāo)準(zhǔn)差存在明顯函數(shù)關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)擬合的結(jié)果見圖1.隨著船舶總到泊數(shù)的增加，船舶到泊間時(shí)距的均值和標(biāo)準(zhǔn)差減少，說明間時(shí)距分布更集中于一個(gè)相對較小值.

圖1 船舶到達(dá)基本統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系

由于本文中各樣本的數(shù)據(jù)覆蓋時(shí)間段相同，所以各樣本船舶總到泊數(shù)間的差異也是各泊位船舶交通繁忙程度的差異.因此，船舶到泊間時(shí)距的分布特征與船舶交通繁忙程度緊密相關(guān).

3.2 結(jié)果計(jì)算

對上述9個(gè)泊位的間時(shí)距分布情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，在MATLAB中使用對數(shù)正態(tài)分布、埃爾朗分布、γ分布模型擬合并進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，擬合示意圖僅選擇G2散貨泊位、N3集裝箱泊位、N4原油泊位作為代表展示，見圖2.圖2中黑色實(shí)線為對數(shù)正態(tài)分布擬合結(jié)果，深灰色虛線為埃爾朗分布擬合結(jié)果，灰色實(shí)線為γ分布擬合結(jié)果.

圖2 船舶到達(dá)間時(shí)距分布擬合結(jié)果

完整的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果見表2，取顯著性水平為1%，當(dāng)p值大于1%時(shí)假設(shè)不被拒絕，即船舶到達(dá)規(guī)律服從所檢驗(yàn)分布.由檢驗(yàn)結(jié)果可知，3種分布函數(shù)均沒有全部通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn).相較之下，廣為接受的埃爾朗分布在3種分布中表現(xiàn)結(jié)果最差，9個(gè)泊位中7個(gè)未通過檢驗(yàn)；γ分布表現(xiàn)稍優(yōu)，6個(gè)泊位未通過檢驗(yàn)；而對數(shù)正態(tài)分布的擬合結(jié)果在3者中最優(yōu)，9個(gè)泊位中僅3個(gè)未通過檢驗(yàn)，且其卡方值在同樣自由度下均小于相應(yīng)的埃爾朗分布(平均減少37.38%)和γ分布的卡方值(平均減少24.26%).

表2 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果

3.3 結(jié)果分析

1) 使用埃爾朗分布對9組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，只有2組通過檢驗(yàn)；使用γ分布只有3組通過檢驗(yàn)；而使用對數(shù)正態(tài)分布有6組數(shù)據(jù)通過檢驗(yàn)；

2) 在全部9組樣本中，使用對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行擬合所得到的卡方值均最小，結(jié)果較埃爾朗分布平均提高37.38%，較γ分布平均提高24.26%；

3) 三種分布的擬合結(jié)果均未實(shí)現(xiàn)全部通過，分析認(rèn)為船舶到泊間時(shí)距的分布特征與船舶交通繁忙程度緊密相關(guān)，而三種分布針對船舶交通較繁忙泊位的船舶到達(dá)間時(shí)距分布擬合結(jié)果均不理想.

因此綜合認(rèn)為，對數(shù)正態(tài)分布在擬合港口泊位船舶到達(dá)間時(shí)距分布規(guī)律上，相對傳統(tǒng)的埃爾朗分布和γ分布具有一定的優(yōu)越性；在研究不同類型的泊位時(shí)，對數(shù)正態(tài)分布均有更好的擬合結(jié)果，模型具有普適性.但在分析了檢驗(yàn)通過組的樣本數(shù)后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣本數(shù)過大時(shí)，雖然對數(shù)正態(tài)分布模型的擬合結(jié)果最優(yōu)，但也無法通過檢驗(yàn)，顯示了簡單的分布模型在面對交通負(fù)荷較大情況時(shí)的局限性.

4 結(jié) 束 語

探尋擬合結(jié)果更優(yōu)的港口泊位船舶到達(dá)間時(shí)距分布模型，綜合分析傳統(tǒng)模型的局限性后引入了對數(shù)正態(tài)分布模型，并以天津港過往3年數(shù)據(jù)為作為實(shí)例.同時(shí)，為確保結(jié)論的普適性，避免因船型差異造成影響，分別篩選了多個(gè)散貨、集裝箱和油船泊位進(jìn)行驗(yàn)證.實(shí)例驗(yàn)證結(jié)果表明，對數(shù)正態(tài)分布在擬合港口泊位船舶到達(dá)規(guī)律上，相對傳統(tǒng)的埃爾朗分布和γ分布具有一定的優(yōu)越性；在研究不同類型的泊位時(shí)，對數(shù)正態(tài)分布均有更好的擬合結(jié)果.但在交通負(fù)荷較大情況時(shí)，對數(shù)正態(tài)分布擬合結(jié)果也不理想.后續(xù)研究可重點(diǎn)針對這一局限性展開.

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