郎成業(yè)，胡雄心，胥 芳

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進加工技術(shù)教育部/浙江省重點實驗室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

近年來，隨著科技的發(fā)展，高端制造業(yè)中對于高速旋轉(zhuǎn)機械的要求越來越高，如航空發(fā)動機、透平機械等，故對如何提高轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速這方面的研究有著非常重要的意義。

提高轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的方法主要有兩種：一種是通過提高剛性轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速，常見的如改變轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)尺寸及材料[1]；除此之外，文獻[2-3]研究了多支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，并證明了多個支承能夠提高轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速。另一種方法是減小柔性轉(zhuǎn)子跨越臨界轉(zhuǎn)速時的振幅，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者提出了多種使轉(zhuǎn)子能平穩(wěn)跨過一階臨界轉(zhuǎn)速的方法。S.-M.Wang[4]提出一種通過相位調(diào)制的方法減小轉(zhuǎn)子在通過臨界轉(zhuǎn)速時的振幅；Yohji Okada[5]采用了彎曲控制的方法，使轉(zhuǎn)子能夠平穩(wěn)越過臨界轉(zhuǎn)速。閻曉軍等[6]研究了基于記憶合金的變剛度支承系統(tǒng)，達到了轉(zhuǎn)子減振效果；胡新寧等[7]提出了一種通過改變磁軸承軸承剛度，使超導(dǎo)轉(zhuǎn)子能夠平穩(wěn)地跨過臨界轉(zhuǎn)速的方法；還有一些其他學(xué)者通過研究電磁阻尼器[8-10]來抑制轉(zhuǎn)子振幅。

在一個固定的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)尺寸不易更改，幾乎很難提高一階臨界轉(zhuǎn)速，而新型材料價格較為昂貴；轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的多支承理論和技術(shù)雖能提高轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速，但提高的幅度有限。其次，運用記憶合金變剛度支承系統(tǒng)進行超臨界運行時，因支承與轉(zhuǎn)子有接觸擦從而限制了轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，并且該方法結(jié)構(gòu)和控制系統(tǒng)較為復(fù)雜，從而導(dǎo)致超臨界特性不太理想，特別不適應(yīng)快速響應(yīng)的過程。另外，超導(dǎo)磁懸浮變剛度系統(tǒng)的工作條件要求過高，裝備復(fù)雜，不適于在民用工業(yè)中大量運用。

本文提出一種主動控制下的磁懸浮軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變支承跨越一階臨界轉(zhuǎn)速的方法。首先建立多支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，推導(dǎo)出變支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制方程，建立超臨界運行的振幅與剛度變化率的關(guān)系；然后利用ADAMS和Matlab建立磁懸浮轉(zhuǎn)子機械系統(tǒng)仿真模型和控制系統(tǒng)模型；進一步聯(lián)合仿真[11-12]分析變支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)，取得快速變支承的方法和技術(shù)參數(shù)。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 變支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)原理

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生共振時的臨界轉(zhuǎn)速與支承數(shù)有關(guān)，磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在兩支承和三支承下的動態(tài)響應(yīng)圖如圖1所示。

圖1 不同支承數(shù)目下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

由圖1可知：在三支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)加速運轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速到達w3時，轉(zhuǎn)子已經(jīng)過了兩支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速，但還未達到三支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速，此時通過控制系統(tǒng)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由三支承切換到兩支承(左右兩支承不變，只對中間支承控制參數(shù)進行改變)，從而使磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平穩(wěn)跨過一階臨界轉(zhuǎn)速。

1.2 三支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

三支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖如圖2所示。

圖2 三支磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

把轉(zhuǎn)子離散為j個節(jié)點，由轉(zhuǎn)子動力學(xué)可推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動學(xué)方程如下：

(1)

式中：M—轉(zhuǎn)子質(zhì)量矩陣；C—阻尼矩陣；K—剛度矩陣；f0—干擾力矩陣。

剛度矩陣K為：

(2)

式中：K0—軸單元的剛度矩陣；nb—有支承處的節(jié)點編號；knb—支承處的支承剛度；矩陣Tnb—1×j階矩陣，且在該矩陣中第nb個元素為1，其余為0，如下所示：

阻尼矩陣C為：

(3)

式中：Ω—轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；G—陀螺矩陣；cnb—支承處的支承阻尼。

1.3 可控變支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

本文運用的磁懸浮軸承由主動控制下的兩個差動電磁鐵組成如圖3所示。

圖3 磁軸承差動控制示意圖

電磁力與線圈電流和間隙的關(guān)系為：

(4)

式中：μ0—真空磁導(dǎo)率；A—磁極面積；N—線圈匝數(shù)；i—通過線圈中的電流；x—轉(zhuǎn)子與磁極的間隙。

在主動控制下，磁軸承的電磁合力為：

fx=fx(i0+ix,x0+x)-fx(i0-ix,x0-x)

(5)

將式(4)代入式(5)，并對式(5)進行線性化處理得：

fx=kiix-kxx

(6)

式中：ki—徑向磁軸承電流剛度系數(shù)；kx—徑向磁軸承的位移剛度系數(shù)；i0—磁軸承靜態(tài)偏置電流；x0—初始氣隙；ix—線圈中的控制電流；x—轉(zhuǎn)子位移變化量。

由圖2可知控制電流ix的表達式為：

(7)

式中：ks，cs—可控剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)。

將式(7)代入式(6)得：

(8)

令ksx=kiks-kx，csx=kics得：

(9)

式中：ksx，csx—磁懸浮軸承系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼，通過改變控制系數(shù)ks和cs即可控制系統(tǒng)的等效剛度和阻尼。

將式(2，3)和式(9)代入式(1)可得：

(10)

由上式可知：通過改變控制參數(shù)，可實現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承數(shù)目的改變。即當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速接近w3時(該時刻為t0)，左右兩邊支承的控制參數(shù)不變只改變中間支承的控制參數(shù)，使中間支承的剛度ksx在△T時間內(nèi)快速減小到零，如圖4所示。

圖4 主動控制下的中間支承剛度變化

2 仿真模型

本文基于ADAMS和Matlab下對主動控制變支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行聯(lián)合仿真研究，仿真系數(shù)如表1所示。

表1 主要仿真參數(shù)

磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在平穩(wěn)運行時，轉(zhuǎn)子在軸承鐵芯的作用下一般都是在其平衡位置處發(fā)生微小振動。故可得磁軸承的電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)為：

ki=10.5 N/A，kx=-105.2 N/mm。

ADAMS和SolidWorks有很好的兼容性，所以先用SolidWorks建立系統(tǒng)的三維模型。SolidWorks里建立的模型是沒有約束、驅(qū)動和質(zhì)量的，因此在把三維模型導(dǎo)入ADAMS后，需要對模型進行質(zhì)量設(shè)置。為使模型能夠按一定的規(guī)則進行運動，因此需要在模型上添加相應(yīng)的約束和轉(zhuǎn)子驅(qū)動力。在建立約束時，把套筒、硅鋼片和轉(zhuǎn)子作為一個實體。

本文只對轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速時徑向振動進行研究，故把轉(zhuǎn)子軸向自由度約束住。此時建立好的系統(tǒng)模型中的轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子，需要對轉(zhuǎn)子進行柔性化處理。利用ANSYS生成轉(zhuǎn)子的柔性文件，把該文件導(dǎo)入ADAMS對轉(zhuǎn)子進行柔性化。

變支承磁懸浮軸承仿真模型如圖5所示。

圖5 變支承磁懸浮軸承仿真模型f1x—左端徑向磁軸承延x方向電磁力；f1y—左端徑向磁軸承延y方向的電磁力；f2x—右端徑向磁軸承延x方向電磁力；f2y—右端徑向磁軸承延y方向的電磁力；f3x—中間徑向磁軸承延x方向電磁力；f3y—中間徑向磁軸承延y方向的電磁力；g—轉(zhuǎn)子重力

建立好約束和驅(qū)動以后需要創(chuàng)建12個狀態(tài)變量用于與Matlab進行數(shù)據(jù)交換，其中6個輸出變量和6個輸入變量，如圖6所示。

圖6 狀態(tài)變量的設(shè)置

圖中輸入信號為控制電流信號，輸出信號為位移信號?？刂齐娏鞯拇笮∮奢敵鑫灰菩盘枺ㄟ^在Matlab/Simulink里建立的控制器進行分析處理得到。在該仿真模型中，磁軸承作用在轉(zhuǎn)子上的約束力表達式為：

fix=10.5×Varval(currentix)-
105.2×Varval(distanceix)

(11)

fiy=10.5×Varval(currentiy)-
105.2×Varval(distanceiy)

(12)

式中:i=1,2,3。

以上模型建立好以后，ADAMS會自動生成機械系統(tǒng)的仿真模型，不需運用要數(shù)學(xué)公式進行建模。用Adams/Controls模塊生成.m文件，把該文件導(dǎo)入Matlab后能夠生成與Matlab進行數(shù)據(jù)交換的子模塊，如圖7所示。

圖7 Adams子模塊

3 聯(lián)合仿真分析

Adams建立好模型后，用step函數(shù)設(shè)置驅(qū)動，指定輸入輸出，然后用Matlab建立好數(shù)據(jù)交換口，并通過Matlab的Simulink模塊建立磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制模塊，系統(tǒng)仿真框圖如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)仿真框圖

3.1 兩支承和三支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分析

在進行兩支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振幅分析時，先把中間支承去掉，即current3x和current3y兩項輸入為零；進行3支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振幅分析時，除了加上對第三支承的控制外，其他設(shè)置都與兩支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相同。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的驅(qū)動函數(shù)為STEP(time,0,0,1,0)+STEP(time,1,0,7,6 000)，其意義是在0到1 s轉(zhuǎn)子不旋轉(zhuǎn)，使轉(zhuǎn)子能夠靜態(tài)起浮，1 s后給轉(zhuǎn)子一個驅(qū)動力，使轉(zhuǎn)子以60 000 r/min2的加速度勻加速運行。

在主動控制下兩支承和3支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動曲線如圖9所示。

圖9 不同支承下的轉(zhuǎn)子振動曲線

由圖可知：兩支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在4.35 s時振幅最大為0.154 mm，對應(yīng)轉(zhuǎn)速為3 350 r/min，即在兩支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)子所對應(yīng)的一階臨界轉(zhuǎn)速為3 350 r/min。3支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在4.9 s時振幅最大為0.097 mm，對應(yīng)轉(zhuǎn)速為3 900 r/min，即在3支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)子所對應(yīng)的一階臨界轉(zhuǎn)速為3 900 r/min。在4.78s時，兩支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和3支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅相同，此時轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為3 780 r/min。當(dāng)3支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)速達到3 780 r/min左右時，通過主動控制撤去中間支承對轉(zhuǎn)子的支承作用，從而能夠平穩(wěn)跨過二支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速。

3.2 變支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分析

由上一節(jié)可知：4.78 s時兩支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和三支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振幅相同，因此進行變支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振幅分析時，在4.75 s時快速撤去中間磁懸浮軸承，使中間支承的剛度分別以2 000 N/mm·s，1 000 N/mm·s，500 N/mm·s的速率由ksx下降為0。轉(zhuǎn)子振動曲線如圖10所示。

圖10 剛度變化率對變支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振幅的影響

由圖10可知：中間支承的剛度變化率分別為2 000 N/mm·s，1 000 N/mm·s，500 N/mm·s時，變支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所對應(yīng)的最大振幅分別為0.073 mm，0.091 mm和0.115 mm?？傻迷谧冎С写艖腋∞D(zhuǎn)子系統(tǒng)中，當(dāng)中間支承剛度ksx變化率越大，即變換間隔△T越短，其跨一階臨界轉(zhuǎn)速時的最大振幅越小，減振效果越理想。當(dāng)中間支承的剛度變化率為2 000 N/mm·s時，與兩支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相比，跨越一階臨界轉(zhuǎn)速時的最大振幅減小了52.6%；與三支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相比，跨越一階臨界轉(zhuǎn)時的最大振幅減小了24.7%。

4 結(jié)束語

針對轉(zhuǎn)子在跨一階臨界轉(zhuǎn)速時，振動幅度過大及失穩(wěn)的問題，本研究提出了一種基于主動控制下的磁懸浮軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變支承跨越一階臨界轉(zhuǎn)速的方法，利用ADAMS和Matlab對變支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了聯(lián)合仿真，并定量分析了該方法的減振效果。

結(jié)果表明：變支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在跨越臨界轉(zhuǎn)速時能夠降低轉(zhuǎn)子振幅，并且中間支承剛度ksx變化率越大，其跨一階臨界轉(zhuǎn)速時的最大振幅越小，減振效果越理想。當(dāng)中間支承的剛度變化率為2 000 N/mm·s時減振效果最明顯，此時，跨越一階臨界轉(zhuǎn)速時的最大振幅比兩支承磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)減小了52.6%。

本研究為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平穩(wěn)跨越臨界轉(zhuǎn)速提供了一種新方法。

參考文獻(References):

[1] 成大先.機械設(shè)計手冊[M].5版.北京：化學(xué)工業(yè)出版社,2010.

[2] 劉 聰,徐龍祥.多個磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性研究[J].機械設(shè)計與制造,2015(3):19-23.

[3] DESMIDT H A, WANG K W, SMITH E C. Multiharmonic adaptive vibration control of misaligned driveline via active magnetic bearings[J].JournalofDynamicSystemsMeasurement&Control,2008,130(4):472-480.

[4] WANG S M, LU Q S, TWIZELL E H. Reducing lateral vibration of a rotor passing through critical speeds by phase modulating[J].JournalofEngineeringforGasTurbines&Power,2003,125(3):766-771.

[5] OKADA Y, SHIMIZU K, UENO S. Vibration control of flexible rotor by inclination control magnetic bearings with axial self-bearing motor[J].IEEE/ASMETransactionsonMechatronics,2001,6(4):521-524.

[6] 閻曉軍,聶景旭,孫長任.用于高速轉(zhuǎn)子振動主動控制的智能變剛度支承系統(tǒng)[J].航空動力學(xué)報,2000,15(1):63-66.

[7] HU X, GAO F, CUI C, et al. Active control method for passing through critical speeds of rotating superconducting rotor by changing stiffness of the supports with use of electromagnetic force[J].IEEETransactionsonAppliedSuperconductivity,2013,23(3):5201304-5201304.

[8] 祝長生.徑向電渦流阻尼器對柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動的控制[J].機械工程學(xué)報,2007,43(12):120-126.

[9] 趙欽泉,謝振宇.三支承磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性分析[J].機械制造與自動化,2008,37(2):31-33.

[10] 聞 聲,胡雄心,于振杰,等.新型同位阻尼磁軸承模型及其特性研究[J].機電工程,2016,33(7):831-835.

[11] 肖鵬飛,謝振宇.基于Adams-Mmtlab的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)聯(lián)合仿真[J].系統(tǒng)仿真技術(shù),2011,7(1):48-53.

[12] 孔佳元，張 雷.考慮柔性和間隙的螺旋引緯機構(gòu)仿真分析[J].輕工機械，2017，35(1)：5-9.