張義辰

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 200093)

0 引 言

參數(shù)不確定性攝動是機器人有界攝動中的一種，它主要以有界函數(shù)的形式存在于機器人動力學(xué)模型的慣量矩陣、科氏力與離心力矩陣和重力矩陣中，是影響機器人軌跡跟蹤穩(wěn)定性的內(nèi)在因素。這種不確定攝動通常是強耦合、非線性的，一般的方法很難將其分離，因此給后續(xù)穩(wěn)定系統(tǒng)、改善其他性能帶來了困難。為了減少這一類不確定因素的影響，學(xué)術(shù)上通常采用魯棒控制的策略，考慮對參數(shù)攝動的最壞情況進行控制。然而對于具有不同特征的參數(shù)不確定攝動，僅僅依靠魯棒控制不能發(fā)揮出很好的控制效果。

針對參數(shù)不確定系統(tǒng)的控制問題，國內(nèi)外研究人員進行了大量的研究。郭書祥[1-2]提出了利用魯棒可靠性的方法設(shè)計魯棒鎮(zhèn)定控制器優(yōu)化系統(tǒng)；王恩平等人[3]討論了帶有分母多項式攝動的參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒控制問題，設(shè)計了具體的控制器；謝蓉等[4]研究了范數(shù)有界型參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒控制問題，并提出運用一種基于概率估計的魯棒H∞控制方法，該方法經(jīng)仿真實驗驗證合理有效；XU S J等[5]研究了帶有非線性不確定參數(shù)的線性系統(tǒng)的簡化和魯棒性問題，通過等效變換和運算律，將非線性不確定參數(shù)與固定參數(shù)分離開來，變成等效的線性不確定參數(shù)，再研究其魯棒特性；RIGATOS G等[6]提出了多自由度機器人的非線性H∞方法；黃文超等[7]將SOS理論和S過程相結(jié)合設(shè)計H∞控制器；RIGATOS G[8]應(yīng)用H∞控制方法解決了多自由度機器人的最小最大微分博弈問題，使得機器人在干擾影響作用最大的時候狀態(tài)變量誤差達到最??；HWANG C L等[9]提出了一種混合H2/H∞離心離散變結(jié)構(gòu)控制，用以解決不確定系統(tǒng)的魯棒控制問題；JABALI M B A等[10]提出了一種將機器人模型轉(zhuǎn)化為不確定凸多面體LPV模型的方法來穩(wěn)定和優(yōu)化機器人系統(tǒng)跟蹤性能的方法。

本文將魯棒可靠性的方法應(yīng)用于機器人系統(tǒng)當(dāng)中，設(shè)計魯棒鎮(zhèn)定控制器。

1 非線性不確定參數(shù)對機器人系統(tǒng)的影響

以平面兩桿的機器人為模型，根據(jù)拉格朗日動力學(xué)原理建立機器人的動力學(xué)模型，該模型形如下式所示：

(1)

在機器人進行軌跡跟蹤的場合，輸入轉(zhuǎn)矩通常是利用將軌跡代入式(1)中計算而得，計算的力矩表達式為：

(2)

式中：qd—期望軌跡；uc—控制輸入；τd—理論輸出轉(zhuǎn)矩。

將式(2)代入式(1)，得到控制輸入與軌跡誤差之間的關(guān)系式如下：

(3)

將式(3)改寫為狀態(tài)空間形式，為此設(shè)狀態(tài)變量：

(4)

另有：

(5)

其中：

(6)

式中：I，0—2維的單位矩陣和全零矩陣；z—被調(diào)輸出。

A、B當(dāng)中最后一個矩陣塊包含非線性函數(shù)，這些非線性函數(shù)高度耦合，并且以不確定參數(shù)q和q(·)為自變量，這些不確定參數(shù)會通過攝動影響機器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤特性，需要運用有效的方法加以控制。然而在進行控制之前,必須先將它們從與固定的數(shù)值分離開來,一般的線性理論很難進行這一過程，即便分離出來,其形式也是相當(dāng)復(fù)雜,不便于計算和整理。不過有一點可以確定，它們都是有界函數(shù)，需要運用一些技巧將它們作等效處理，再進一步確定界限值。

為了研究非線性不確定參數(shù)如何影響機器人的穩(wěn)定性和跟蹤性能，特給定一條確定的關(guān)節(jié)角軌跡：

(7)

式中：t—時間，s。

本研究通過Matlab/Simulink的仿真可得到兩個關(guān)節(jié)角軌跡的跟蹤效果，非線性不確定參數(shù)對軌跡跟蹤效果的影響如圖1所示。

可以看出：實際軌跡完全脫離期望軌跡，跟蹤失敗，并且就實際軌跡本身來看，其走勢發(fā)散，呈現(xiàn)出比較大的振蕩，說明系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，設(shè)法控制非線性不確定參數(shù)的影響，兼顧穩(wěn)定性與跟蹤特性，是改善系統(tǒng)性能的有效方法，而欲實現(xiàn)這一點，就必須先對系數(shù)矩陣和輸入矩陣中的不確定參數(shù)攝動項進行等效的處理，為確定該項的攝動上界提供便利。

圖1 非線性不確定參數(shù)對軌跡跟蹤效果的影響實線—期望軌跡；虛線—實際軌跡

2 非線性參數(shù)的等效處理

對于式(3)所呈現(xiàn)的形式：

(8)

(9)

式中：M0,C0—慣性矩陣、科氏力離心力矩陣的標稱量；ΔM,ΔC—慣性矩陣、科氏力離心力矩陣的攝動量。

則式(8)可以寫為：

(10)

將式(10)寫成狀態(tài)方程的形式，即：

(11)

其中：

(12)

(13)

(14)

式中：0，I2——2×2的全零矩陣和單位矩陣。

根據(jù)公式：

(A+BCD)-1=A-1-A-1B(DA-1B+C-1)DA-1

(15)

(16)

(17)

(18)

那么：

(19)

(20)

另一方面，由于：

(21)

因此：

(22)

其中：

(23)

3 魯棒可靠性與魯棒控制器設(shè)計

3.1 魯棒可靠性相關(guān)理論

對于如下所示的不確定時變系統(tǒng)

(24)

式中：x(t)—狀態(tài)向量變量；uc(t)—輸入向量變量；P(r)—狀態(tài)矩陣；Q(r)—輸入矩陣。

它們均隨著不確定參數(shù)r的變化而變化。定義以狀態(tài)反饋控制器：

uc(t)=-Wx(t)

(25)

系數(shù)矩陣W為需要設(shè)計的控制律，將控制器式(25)代入到系統(tǒng)式(24)中，原系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

(26)

定義如果存在適當(dāng)維數(shù)的對稱正定矩陣P和矩陣K，使得對所有容許的不確定性有如下不等式成立：

(A(ρ)+B(ρ)K)TP+P(A(ρ)+B(ρ)K)<0

(27)

則系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋二次鎮(zhèn)定。

對于系統(tǒng)式(24)和控制器式(25)，顯然應(yīng)該保證：

(P(r)+Q(r)W)TY+Y(P(r)+Q(r)W)<0

(28)

成立。而對于有界的不確定參數(shù)r，可以通過固定量和攝動量的分離化為標準形式：

r=r0+dr·σ

(29)

式中：r0—r的名義值；dr—r的攝動值；σ—標準化的區(qū)間變量，σ∈[-1,1]。

據(jù)此，系統(tǒng)式(24)的系數(shù)矩陣P(r)和Q(r)可表示為隨σ的變化而變化的值。

本研究定義以對稱矩陣D(σ,Y),Y為式(11)中的可行矩陣，具體值未知，那么系統(tǒng)式(24)的穩(wěn)定性問題可以歸結(jié)為求矩陣不等式的可行解Y*：

D(σ,Y)<0

(30)

矩陣D(σ,Y)為魯棒可靠性的功能函數(shù)，相應(yīng)地有功能函數(shù)的魯棒可靠度，其具體形式為：

(31)

式中：‖σ‖∞—σ的無窮范數(shù)，而區(qū)域Θ={σ:D(σ,Y)<0}和Θ={σ:D(σ,Y)≥0}分別對應(yīng)標準化區(qū)間構(gòu)造的無限拓撲空間中的可靠域和失效域。

從可靠性這一層面來看，β>0時系統(tǒng)的波動域和失效域無交集，判斷系統(tǒng)為可靠的，如果隨著β值的增加系統(tǒng)波動域與失效域相隔越遠，系統(tǒng)在失效之前所能容許的不確定攝動越大，從而使系統(tǒng)在這些不確定量影響下的魯棒性得到提高，系統(tǒng)可靠性更好。因此，魯棒可靠度可以用來衡量系統(tǒng)魯棒可靠性的好壞，并可以此為依據(jù)進行進一步系統(tǒng)的穩(wěn)定化控制。

進一步地，對于系統(tǒng)式(24)，按分離不確定參數(shù)的步驟，系統(tǒng)中的矩陣P(r)和矩陣Q(r)可以寫成：

P(r)=P0+ΔP=P0+S1Δ1S2,Q(r)=

Q0+ΔQ=Q0+T1Δ2T2

(32)

式中：S1,S2,T1,T2—權(quán)重矩陣；Δ1,Δ2—不確定攝動函數(shù)。

對于滿足式(32)的系統(tǒng)式(24)，令k=||σ||∞,則矩陣不等式(30)對所有允許的不確定性成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在適當(dāng)維數(shù)的對稱正定矩陣E,矩陣F和W，以及正定對角矩陣G1和G2，使得如下矩陣不等式成立：

(33)

其中：

(34)

相應(yīng)地，基于魯棒可靠性并考慮控制代價的控制器增益矩陣可由以下矩陣不等式求得，即有以下魯棒可靠性優(yōu)化問題：

(35)

式中：矩陣N與矩陣E同階，且對稱正定。

同時，由上述優(yōu)化問題中參數(shù)k，可以進一步算出系統(tǒng)式(24)的魯棒可靠度β=r-1，再由式(29)計算，即可求出使系統(tǒng)保持穩(wěn)定的不確定參數(shù)r的最大魯棒界限：

r∈[r0-(β+1)·dr,r0+(β+1)·dr]

(36)

3.2 魯棒控制器設(shè)計

考慮了魯棒可靠度的魯棒控制器，可以根據(jù)不等式組(35)來求出，但在此之前，必須先計算出式(32)中兩參數(shù)有界攝動量ΔP和ΔQ的上界，具體到本文研究的機器人系統(tǒng)式(22)，必須首先計算出附加項(ΔmA+Δa+ΔmΔa)和ΔmB的上界，因此：

|ΔmA+Δa+ΔmΔa|=|Δm||A|+|Δa|+|Δm||Δa|=
‖Δm‖∞×‖A‖∞+‖Δa‖∞+‖Δm‖∞×‖Δa‖∞=γ1

(37)

|Δm|=‖Δm‖∞=γ2

(38)

式中：γ1，γ2——正實數(shù)。

同時由式(37，38)所給出的上界的形式可以推斷出左、右兩邊的系數(shù)矩陣，它們分別是：

S1=S2=I4,T2=B

(39)

對于式(33)中的參數(shù)k，可以通過計算：

k=‖(γ1,γ2)‖∞

(40)

至此，再利用Matlab的LMI函數(shù)包和可行性算法函數(shù)feasp()求出可行解E*和F*，最后利用下式：

W=F*E*-1

(41)

進一步地，使系統(tǒng)保持穩(wěn)定的魯棒可靠度和最大魯棒界限：

βr=k-1

(42)

q∈[q0-(βr+1)·Δq,q0+(βr+1)·Δq]

(43)

4 實驗及結(jié)果分析

本研究以提供的已知參數(shù)機器人為模型，數(shù)值驗證將從優(yōu)化前后、輸入相同軌跡后的跟蹤輸出信號的時間序列出發(fā)進行比較，重點關(guān)注二者的瞬時值、誤差值和H∞范數(shù)。

4.1 仿真驗證

特以一兩桿的機械臂為實例進行仿真驗證，機械臂的已知參數(shù)如表1所示。

表1 兩桿機械臂已知參數(shù)表

將已知數(shù)據(jù)代入上述機器人系統(tǒng)中，首先由式(37，38)算得：

γ1=2.578 8,γ2=5.158

(44)

計算：

k=‖(γ1,γ2)‖∞

(45)

得：

k=5.158

(46)

將k代入式(33)，計算式(35)的可行解[11]，最后由式(25)解得控制器的增益矩陣：

(47)

另求出使系統(tǒng)穩(wěn)定的魯棒可靠度：

βr=4.158

(48)

為了更直觀地顯示優(yōu)化前后控制器的效果，筆者使用simmechanics模塊建立兩桿機械臂的物理模型，機器人的simmechanics結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 機器人的simmechanics結(jié)構(gòu)

機器人物理結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 機器人的物理結(jié)構(gòu)

本研究再將控制器接入機器人的跟蹤系統(tǒng)模型中，通入形如式(7)的信號，并規(guī)定q(·)1=q(·)2=1 rad/s,觀察優(yōu)化前后的兩個關(guān)節(jié)角軌跡的跟蹤情況。為了更方便地觀察優(yōu)化前后控制效果的變化，筆者特將優(yōu)化前的實際軌跡與誤差、優(yōu)化后的實際軌跡與誤差合并畫在同一坐標系當(dāng)中，優(yōu)化前后的控制效果對比如圖4所示。

從跟蹤效果的角度來驗證，觀察圖4可以看出：優(yōu)化前，虛線表示的實際軌跡和點劃線表示的期望軌跡基本背離，對應(yīng)的誤差曲線(點劃線)振幅較大，跟蹤失?。粌?yōu)化后，圖4(a，b)中的實踐表示的實際軌跡與期望軌跡相當(dāng)接近，但在靠近波峰和波峰下沿的部位有少許誤差，這一規(guī)律通過圖4(c，d)中的實踐表示的誤差曲線可以更直觀的呈現(xiàn)，表明優(yōu)化后的實際軌跡跟蹤效果較優(yōu)化前有明顯的改善。

圖4 優(yōu)化前后的控制效果對比

從對控制力矩的改善效果來驗證，優(yōu)化前后的控制力矩對比如圖5所示。

圖5 優(yōu)化前后的控制力矩對比

從圖5可以看出：優(yōu)化后的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩較優(yōu)化前提高了一部分，其中第一關(guān)節(jié)提高的幅度最大，說明隨著系統(tǒng)性能的優(yōu)化，機器人的控制力矩相應(yīng)增加。

兩方面的仿真驗證結(jié)果都表明：經(jīng)過新方法優(yōu)化之后，機器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到了提高，跟蹤性能得到了改善，控制力矩的控制作用也得到了相應(yīng)的增加，新方法仿真層面可行。

4.2 數(shù)值驗證

從數(shù)值角度驗證系統(tǒng)在優(yōu)化前后的變化效果，主要從兩個方面入手，一方面比較優(yōu)化前后兩關(guān)節(jié)角實際軌跡和對應(yīng)期望軌跡的時間序列，以及實際軌跡與期望軌跡的誤差；另一方面比較優(yōu)化前后系統(tǒng)的H∞范數(shù)。

首先，比較時間序列，為此筆者提取仿真試驗采集到的輸出角序列、參考輸入角序列中從0～10 s的角度值，如表2所示。

表2 優(yōu)化前后的角度時間序列對比

續(xù)表

對比第一關(guān)節(jié)中的期望軌跡、優(yōu)化前的實際軌跡和優(yōu)化后的實際軌跡，可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后軌跡的瞬時值比優(yōu)化前更接近期望軌跡，并且優(yōu)化后的誤差值比優(yōu)化前更接近0；同理，對比第二關(guān)節(jié)中的期望軌跡、優(yōu)化前的實際軌跡和優(yōu)化后實際軌跡，可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后軌跡的瞬時值比優(yōu)化前跟接近期望軌跡，并且優(yōu)化后的誤差值比優(yōu)化前也更接近0。這說明了新方法優(yōu)化了跟蹤軌跡的瞬時值，減小了誤差，在穩(wěn)定系統(tǒng)的同時改善了跟蹤特性。

其次，比較優(yōu)化前后系統(tǒng)的H∞范數(shù)。H∞范數(shù)是系統(tǒng)在環(huán)境最壞條件下的最大奇異值，它反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。經(jīng)計算，優(yōu)化前系統(tǒng)的H∞范數(shù)：

V1≈1.91

優(yōu)化前系統(tǒng)的H∞范數(shù)：

V2≈0.19

顯然，V1>1,V2<1,V2

兩方面的數(shù)值驗證也表明：魯棒可靠性方法對于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性、跟蹤特性、魯棒性是十分有效的。

5 結(jié)束語

針對不確定參數(shù)攝動對機器人系統(tǒng)穩(wěn)定性和跟蹤特性的影響問題，本文采用魯棒可靠性方法解決機器人的魯棒鎮(zhèn)定控制問題，效果可靠，將不確定因素的影響限制在了合理的范圍內(nèi)，穩(wěn)定了系統(tǒng)，最大限度地保證了系統(tǒng)對給定軌跡的精確跟蹤，改善了系統(tǒng)性能。

本文提出了運用魯棒可靠性的方法來解決機器人系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題，把不確定參數(shù)的劃定在一個具有足夠可靠度的區(qū)間內(nèi)；同時，本文也詳細闡述了處理非線性攝動參數(shù)的簡便方法,即分離固定值與攝動值后進行多項式的拆分與重組。

對于魯棒可靠性方法，本文從仿真實驗和數(shù)值比較的角度進行了驗證，結(jié)果表明,該方法是有效的。

參考文獻(References):

[1] 郭書祥.基于魯棒可靠性方法的不確定系統(tǒng)最優(yōu)二次魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計[J]航空學(xué)報,2007,28(6):1438-1442.

[2] 郭書祥.參數(shù)不確定系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計的魯棒可靠性方法[J]系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2007，29(10)：1699-1703.

[3] 王恩平，黃 琳.一類參數(shù)不確定系統(tǒng)的魯棒控制[J].自動化學(xué)報，2001,27(1):70-74

[4] 謝 蓉，王新民.范數(shù)有界型參數(shù)不確定系統(tǒng)的概率魯棒H∞控制方法[J]控制與決策，2014，29(7):1-5

[5] XUA S J，DAROUACH M. On the robustness of linear system with nonlinear uncertain parameters[J].TechnicalCommuniques.1998,34(8):1005-1008.

[6] RIGATOS G,SIAO P. A nonlinear H-infinity control method for multi-DOF robotic manipulators[J].NonlinearDynamics,2016(1):1-20.

[7] 黃文超，孫洪飛.一類多項式非線性系統(tǒng)魯棒H∞控制[J]控制理論與應(yīng)用,2012,29(12):1587-1593.

[8] RIGATOS G, SIANO P. An H-infinity nonlinear control approach for multi-DOF Robotic manipulators[J].IFAC-Pape-rsOnline.2016,49(12):1406-1411.

[9] HWANG C L, HAN S Y. H∞design for a decentralized discrete variable structure control with application to mobile robots[J].IEEETransactionsonSystems,Man,andCybernetics-partB:CY-Bernetics,2005,35(4):736-750.

[10] JABALI M B A, KAZEMI M H. Uncertain polytopic LPV modelling of robot manipulators and trajectory tracking[J].InternationalJournalofControl,AutomationandSystems,2017,15(2):883-891;

[11] 俞 立.魯棒控制—線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學(xué)出版社,2002.