張 鐵 張 斌

華南理工大學機械與汽車工程學院，廣州，510641

0 引言

隨著產業(yè)的發(fā)展，生產活動中對復雜曲面打磨加工的需求越來越多。然而傳統(tǒng)手工砂帶打磨方式的加工效率和精度較低，一個汽輪機葉片打磨需要熟練工人花費數個小時才能完成，且廢品率很高[1]；同時，打磨車間粉塵和噪聲較大，嚴重危害了操作人員的健康。利用工業(yè)機器人代替人工打磨得到越來越多人的重視，機器人打磨加工的過程實質上就是機器人夾持工件,讓曲面上的刀位點依次與磨輪上的加工點相接觸，所以在被加工曲面上規(guī)劃數量和間距合理的刀位點是機器人打磨的核心問題。

王偉等[2-3]在經典等參數線法[4]的基礎上實現了弧長優(yōu)化算法，避免了在曲率較大的過渡面上產生過切；李琳等[5]則基于平行截面法，利用一組平行面對工件的STL模型進行切片處理來生成曲面加工軌跡；LIN等[6]、FAROUKI等[7]利用泰勒展開推導出NURBS曲線的插補公式；劉強等[8]提出了無速度波動的NURBS割線二次插補，消除了泰勒展開過程中產生的截斷誤差以及插補過程中的弦逼近誤差，保證了刀位點間的距離與設定時一致。陳志宇[9]在組合曲面上，利用等殘高方法規(guī)劃刀具路徑。

上述研究主要通過等間距法、平行截面法和泰勒插補法生成加工軌跡上的刀位點。等間距生成刀位點時，需要憑經驗確定刀位點的間距，可能造成刀位點的數目過多，降低了加工的效率；由平行截面法生成的刀位點密度取決于網格模型的精度，而且平行截面法的截面間距不易控制，在曲面平坦處、陡峭處生成的軌跡疏密不均；通過泰勒插補的方式獲取刀位點時，曲率變化較大的區(qū)域適應性較差，產生的插補點數目過少而引起過切，嚴重影響了加工質量。因此上述算法均難以同時兼顧加工效率和加工質量。

本文主要針對曲率變化劇烈區(qū)域泰勒插補所引起的過切問題，對泰勒插補算法進行改進，減小加工誤差，利用改進后的泰勒插補算法生成的刀位點能夠同時兼顧加工效率和質量。

1 曲面磨削軌跡優(yōu)化插補算法

在計算機的內部，復雜曲面一般定義在參數域上，其參數定義域通過一定的非線性映射關系得到曲面的表達，根據映射關系的不同可將曲面分為貝塞爾曲面、孔斯曲面、B樣條曲面和NURBS曲面等。

本文采用NURBS曲面的參數線來生成磨削軌跡,在指定了被加工面之后，將該加工面以NURBS曲面的方式定義在u和v兩個參數的參數域上。NURBS曲面的表達式[10]定義為

(1)

u∈[a,b]v∈[c,d]

式中，wi,j為控制點Pi,j的權值；n為u方向控制點數量；p為u方向曲面階次；m為v方向控制點數量；q為v方向曲面的階次；[a,b]、[c,d]分別是參數u和v的定義域。

固定NURBS曲面表達式中的一個變量不變，便可得到一條NURBS參數曲線，例如，分別固定參數v的值為v0、v1、v2、…，可以得到一組關于v的參數線加工軌跡，這組加工軌跡中相鄰的兩條加工軌跡所對應的參數v之間的增量Δv通過殘留高度來確定，而每一條參數線軌跡上的刀位點則由插補算法來獲取。

1.1 優(yōu)化插補算法

1.1.1泰勒NURBS插補算法

一條k次NURBS曲線的有理分式形式定義如下[11]：

(2)

其中，wi是權因子，i=0,1,…,n；控制頂點為di，按順序用直線段連接起來就是控制多邊形；U為節(jié)點矢量，U=(u0，u1，…，un+k+1)；Ni,k(u)是k次規(guī)范B樣條基函數，其遞推公式如下：

(3)

對NURBS曲線進行插補的實質就是確定每一個插補點對應的參數u。利用泰勒公式展開是NURBS插補中常用的算法，將u看成是時間t的函數，可得到二階泰勒插補公式[5]：

(4)

式中，v(ti)、a(ti)分別為ti時刻的速度和加速度。

由于打磨加工的速度低且速度變化不大，故可忽略加速度的影響；式(4)中的速度v(ti)是NURBS曲線沿弧長的速度，而不是相鄰兩個插補點間直線段的速度，但相鄰兩個插補點之間的距離比較小，故可以用直線段來代替弧長，即v(ti)可看作是從Pi插補點到Pi+1插補點間直線段的速度，將該直線段的長度稱為Pi插補點處的插補步長Li，則有

Li=(ti-ti+1)v(ti)

(5)

整理式(4)、式(5)并忽略加速度，可得到參數u的遞推公式：

(6)

插補步長的選取對曲面的輪廓精度有很大影響，可以用近似圓弧替代附近NURBS曲線的方法來計算出插補步長，原理如圖1所示。

圖1 插補步長計算示意圖Fig.1 Schematic diagram of interpolation step

ρi是曲線P(ui)點處的曲率半徑，在曲線上建立Frenet標架，正則曲線的曲率半徑計算公式為

(7)

δ0為設定的弓高誤差，插補步長Li=|AB|，根據勾股定理可得

(8)

整理式(8)可以得到步長Li的計算公式：

(9)

將式(9)計算出的步長Li代入式(6)便可得到下一個插補點的參數ui+1。

1.1.2加工軌跡行距

曲面打磨軌跡的生成借鑒了數控加工中的等殘高公式和參數線法，計算原理如圖2所示，圖中h為殘留高度，w是等殘高距離，P為當前軌跡(S(u,vj)參數線)的一個插補點，P*為插補點P根據等殘高距離計算出的對應點，P*和P在同一條參數線S(ui,v)上。

圖2 磨削軌跡生成原理圖Fig.2 Principle of grinding path generation

首先，利用等殘高公式計算出當前軌跡線上所有插補點P及其對應的等殘高點P*間的步距w和Δv，選擇其中最小的Δv作為下一條軌跡線的參數增量；然后根據參數線法生成下一條軌跡線，以此類推，每一條軌跡的參數增量由上一條軌跡的插補點根據等殘留高度公式求得。

凸面和凹面的等殘高距離w如圖3所示，P*和P之間用圓弧代替，ρP是u參數線在點P處的曲率半徑，可利用式(7)計算求得，r為砂帶輪的半徑；對于凸曲面可以得到如下表達式：

[(r+ρP)sin(θ/2)]2+[(r+ρP)cos(θ/2)-
(ρP+h)]2=r2

(10)

整理后可得到圖3a中凸曲面的等殘高距離w的計算公式[12]：

(11)

同理，可得到凹面在插補點P處等殘高距離的近似計算公式：

(12)

(a)凸面殘留高度(b)凹面殘留高度圖3 等殘高步距計算示意圖Fig.3 Schematic diagram of constant scallop-height path

在得到插補點P處等殘高距離w后，Δv的計算原理與插補點的計算原理一樣，把w看成插補的步長，把曲線S(ui,v)看成被插補曲線P(v)，將w代入式(6)中，變形得到Δv的計算公式：

(13)

1.1.3插補算法的優(yōu)化

在推導1.1.1節(jié)的NURBS曲線插補遞推公式時，用近似圓弧代替原曲線的方法來估算插補步長Li；然而這種近似是有前提條件的，即要求前后兩個插補點P(ui)、P(ui+1)之間的原曲線段曲率變化不大；當曲線段的曲率有較大變化時，有可能會出現弓高誤差超差的情況。如圖4所示，插補步長Li通過式(9)，由ui處的曲率半徑ρi以及弓高誤差設定值δ0來估算。曲線在點P(ui)處的曲率半徑較大，會估算出較大的插補步長Li，這就有可能使得曲線段中該部分的刀位點數量密度不夠(圖5)，曲率半徑較小處的弓高誤差δ超過設定值δ0而產生過切現象。

圖4 弓高誤差可能超差的情況Fig.4 The chord error is out of the tolarance

圖5 曲率變化大時插補點密度過低Fig.5 The interpolation points are too sparse

改進的方法是，利用式(6)～式(9)計算出ui+1后，驗算P(ui)P(ui+1)段軌跡曲線的中間點到割線段P(ui)P(ui+1)的距離δ是否小于設定的弓高誤差δ0，如果P(ui)P(ui+1)段曲線的中間點到割線P(ui)P(ui+1)的距離δ都小于設定的弓高誤差δ0，則以P(ui+1)為起點計算下一個插補點，否則將線段P(ui)P(ui+1)的長度乘以一個小于1的比例因子ε作為新的插補步長Li重新計算ui+1，直到所有驗算中間點的δ都小于δ0，再計算下一個插補點，縮小因子ε的值根據超差驗算點的位置來確定。中間點通過如下公式來選取：

Pk=P[ui+0.1k(ui+1-ui)]

(14)

k=1,2,…,9

其中，k是中間驗算點的序號，k=1，2，…，9表示取9個中間點來進行驗算。Pk到線段P(ui)P(ui+1)的距離:

(15)

步長優(yōu)化插補算法的步驟如下：

(1)以被加工面的一條邊界為第一條軌跡P(u)，設置好弓高誤差δ0以及殘留高度h。

(2)判斷軌跡P(u)是否在曲面上，如果否，則結束并返回；如果是，則將該刀路設置為當前軌跡，以當前軌跡的前端點參數值為當前插補點參數ui。

(3)計算當前插補點P(ui)處曲面的單位法向量以及軌跡曲線的單位切向量，然后將當前插補點的笛卡爾坐標、法向量和切向量存儲在當前刀路的插補點鏈表中；判斷ui是否是當前軌跡的末端點，如果是，則執(zhí)行步驟(9)；如果不是，則執(zhí)行步驟(4)。

(4)由式(7)～式(9)計算出插補步長Li。

(5)由式(6)計算下一個插補點的參數ui+1。

(6)由式(14)來選取曲線段P(ui)P(ui+1)的中間點，利用式(15)來計算中間點到割線段P(ui)P(ui+1)的距離δk是否都小于設定的弓高誤差δ0，如果是，則執(zhí)行步驟(8)；如果第k個中間點的δk超過了設定δ0，則執(zhí)行步驟(7)。

(7)將割線段P(ui)P(ui+1)的長度‖P(ui)P(ui+1)‖乘以比例因子ε=0.1k以后作為新的步長Li，轉至執(zhí)行步驟(5)。

(8)將ui+1的值賦給ui，轉至執(zhí)行步驟(3)。

(9)利用式(11)、式(12)計算當前刀路所有插補點所對應的等殘高距離w以及參數增量Δvi，選擇最小的參數增量Δvi來計算下一條參數線軌跡P(u)，輸出當前插補點鏈表的數據至刀路文件，然后清空當前插補點鏈表，完成后轉至執(zhí)行步驟(2)。

1.2 刀位點坐標系建立

算法執(zhí)行結束后，計算機可以輸出一個包含被加工面上所有刀位點信息的.txt文件，稱之為刀路文件；刀路文件每一行由9個數字組成，代表一個刀位點信息，前3個數字是刀位點在曲面笛卡爾坐標系{U}下的坐標(xi,yi,zi)，中間3個數字是曲面在該刀位點處的單位法向量(ni,x,ni,y,ni,z)，最后三個數字是刀位點所在軌跡在該點處的單位切向量(ti,x,ti,y,ti,z)。刀路文件的第i行代表第i個刀位點，其格式為

(xi,yi,zi,ni,x,ni,y,ni,z,ti,x,ti,y,ti,z)

(16)

(17)

2 機器人軌跡生成原理

圖6 機器人打磨系統(tǒng)坐標系的建立Fig.6 Coordinates for robot grinding system

(18)

打磨過程中，{M}和{T}會重合，即兩個坐標系此時相對于基坐標系{0}有相同的描述：

(19)

結合式(18)、式(19)可得到如下關系式：

(20)

整理可得到

(21)

(22)

每一個刀位點坐標系{M}代入式(18)～式(22)，便可以計算得到機器人打磨該刀位點時的關節(jié)空間位形，再將這些關節(jié)空間位形依照其對應坐標系的順序組織成機器人控制柜可執(zhí)行的程序，機器人執(zhí)行程序完成工件的打磨。

3 仿真與試驗

3.1 軌跡生成流程

本文的算法是在自主研制的機器人打磨離線編程系統(tǒng)中實現的，該離線編程系統(tǒng)生成機器人打磨軌跡的流程如圖7所示。首先導入工件的IGES模型，選中被加工的曲面；然后設置弓高誤差和殘留高度，利用優(yōu)化插補算法對曲面進行打磨刀路的規(guī)劃并導出刀路文件；最后標定砂帶輪上的工具坐標系，根據刀路文件中的數據建立一系列標架，再根據軌跡生成原理利用機器人逆解算法，求得實現這些標架與砂帶輪固定工具坐標系依次重合的一系列關節(jié)空間位形，最終由這些關節(jié)空間位形轉換成機器人軌跡程序。

圖7 機器人打磨軌跡生成流程Fig.7 Process of robot grinding track generation

3.2 算法仿真

運用優(yōu)化前后的插補算法在圖8所示的零件上生成打磨刀位點。首先，生成圖9所示的加工軌跡；然后設置弓高誤差0.05 mm；最后，分別用優(yōu)化前后的泰勒插補算法來獲取加工軌跡上的刀位點。

圖8 仿真曲面Fig.8 Surface used in simulation

圖9 曲面加工軌跡Fig.9 Grinding path of the surface

圖10所示為兩種插補算法在同一段加工軌跡上生成的刀位點，圖11是兩種插補算法弓高誤差對比圖?？梢钥闯?，在加工軌跡曲率變化較大的中間區(qū)域，優(yōu)化算法所生成的刀位點較優(yōu)化前的經典算法致密，而且弓高誤差能夠很好地控制在設定范圍之內，保證了加工質量；在加工軌跡比較平滑的部分，優(yōu)化算法產生的刀位點數量與經典算法相當，兼顧了加工的效率。

(a)經典算法生成的刀位點

(b)優(yōu)化算法生成的刀位點圖10 兩種插補算法效果Fig.10 Results of two interpolation algorithms

(a)經典算法的弓高誤差

(b)優(yōu)化算法的弓高誤差圖11 弓高誤差對比圖Fig.11 Comparison of chord errors

3.3 試驗驗證

為了驗證算法的有效性，設計了打磨加工對比試驗，結果如圖12所示。該試驗采用MOTOMAN-MH24的機器人，型號是YR-MH00024-A00，末端負載能力為24 kg，重復定位精度為0.06 mm，機器人控制柜采用DX200標準規(guī)格；試驗中使用小太陽TJ538型砂帶，磨粒數目為120，打磨機接觸輪的線速度為28.9 m/s；工件材料為45鋼。下面針對圖12所示的加工效果，以加工時間和形狀誤差兩個方面作分析和比較。

(a)經典算法的加工效果(b)優(yōu)化算法的加工效果圖12 優(yōu)化前后磨削效果對比Fig.12 Effect before and after optimization

3.3.1加工時間對比

離線編程系統(tǒng)根據圖9所示的軌跡生成打磨程序，相鄰兩插補點所對應的機器人位姿之間采用直線插補方式，速度設定為11 mm/s。表1所示為優(yōu)化前后插補算法生成的機器人程序行數和運行時間?？梢钥闯觯瑑?yōu)化算法生成的刀位點數目較多，其程序的行數增大了60.46%，但是加工的時間只增加了不到5%，驗證了優(yōu)化算法兼顧了加工效率。

表1 程序行數和加工時間

3.3.2形狀誤差分析

利用三坐標測量儀器可測量出圖12中兩個零件被加工面上點的坐標。測量工具是Hexagon Brown & Sharpe Global三坐標測量儀，其精度是2 μm。

提取同一個截面的數據并與標準輪廓曲線在同一個坐標系下作圖，可對2個零件的加工效果作形狀誤差分析，如圖13所示，圓點代表用三坐標測量儀測量的該截面上的點，實線代表標準曲線，方框表示與標準曲線距離最大的數據點所在范圍。表2所示為圖13所示的數據點到標準曲線距離的最大值、平均值、中位數和標準差。表3所示為從零件上平均取5個截面所獲得的數據點和標準輪廓的距離分布。

由圖13和表2的數據可以看出，用優(yōu)化前的軌跡加工零件會在輪廓曲線曲率變化較大的頂部產生嚴重過切，而運用優(yōu)化后的軌跡進行加工，則可避免頂部位置過切的產生。

由表3的數據可以發(fā)現，運用優(yōu)化過的算法進行打磨加工，其誤差的平均值為0.121 mm，最大誤差均值達到0.328 mm，比設定的弓高誤差0.05 mm要高出許多；優(yōu)化前的過切量平均值為1.403 mm，也比理論過切量0.953 mm要大。

(a)優(yōu)化前

(b)優(yōu)化后

圖13 數據點與標準曲線
Fig.13 Data points and standard line

表2 數據點到標準曲線的距離

表3 5個截面的數據點和標準輪廓的距離

造成與理論計算值的差距主要原因有：①砂帶打磨的接觸輪是由橡膠材料制成的非剛性輪，當接觸輪與工件接觸的時有一定程度的變形。②機器人的開鏈結構剛度不足，在打磨過程中存在變形。本文第2節(jié)所述的機器人軌跡生成方法并沒有考慮剛度的問題，到達某些位姿的關節(jié)量變化較大，一定程度上影響了機器人剛度。③打磨工具坐標系的標定誤差。④工件的裝夾誤差和零件毛坯的形狀誤差。⑤機器人的重復定位誤差。⑥砂帶在加工中的損耗。

4 結論

(1)本文以經典的NURBS泰勒插補算法為基礎，推導和實現了一種插補步長的優(yōu)化算法，使得打磨路徑上的刀位點數量在曲率變化較大的區(qū)域自適應地加大，而在較為平坦的區(qū)域插補點保持稀疏，與經典的泰勒插補算法相比，優(yōu)化算法兼顧了磨削的效率和質量。

(2)在離線編程平臺和實際砂帶打磨試驗中設計了對比試驗，經典算法與優(yōu)化算法生成打磨試件刀位點的弓高誤差以及實際的磨削效果可以證明優(yōu)化算法的可行性和有效性。

參考文獻：

[1] NG T J，LIN W，CHEN X，et al. Intelligent System for Turbine Blade Overhaul Using Robust Profile Re-construction Algorithm[C]// 8th International Conference on Control ， Automation ， Robotics and Vision. Kunming，2004：178-183.

[2] 王偉，贠超.機器人砂帶磨削的曲面路徑優(yōu)化算法[J].機械工程學報,2011,47(7):8-15

WANG Wei,YUN Chao. Optimization Algorithm for Robotic Belt Surface Grinding Process[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011,47(7):8-15.

[3] WANG Wei, YUN Chao. A Path Planning Method for Robotic Belt Surface Grinding[J]. Chinese Journal of Aeronautics , 2011 (24)：520-526.

[4] 張任俊，王洪申. 復雜曲面數控加工刀具軌跡規(guī)劃技術研究進展[J].機械制造, 2016,45(2):9-12.

ZHANG Renjun，WANG Hongshen. Research and Development of Tool Path Planning Techniques for NC Machining of Sculptured Surfaces[J] . Machine Building &Automation, 2016,45(2):9-12.

[5] 李琳,黎潤偉.復雜曲面加工工業(yè)機器人軌跡生成算法[J].機械設計與制造,2013,11(11):175-178

LI Lin，LI Runwei. Algorithm of Industrial Robot on Path Generation for Complex Surface Machining[J]. Machinery Design & Manufacture, 2013,11(11):175-178.

[6] LIN Ming-Tzong, TSAI Meng-Shiun. Development of a Dynamics-based NURBS Interpolator with Real-time Look-ahead Algorithm[J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2007,47: 2246-2262.

[7] FAROUKI R T, TSAI Y F. Exact Taylor Series Coefficients for Variable-feedrate CNC Curve Interpolators[J]. Computer-Aided Design, 2001,33(2): 155-165.

[8] 劉強，劉煥.無速度波動的NURBS曲線二次插補算法原理及其實現[J]. 計算機集成制造系統(tǒng)，2015，21(10)：2659-2667.

LIU Qiang ,LIU Huan. Principle and Development of NURBS Interpolation Algorithm with Zero-feedrate Fluctuation[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems, 2015，21(10)：2659-2667.

[9] 陳志宇.組合曲面等殘高刀具路徑規(guī)劃方法研究及實現[D]. 杭州：浙江大學，2014.

CHEN Zhiyu. Research on Constant-Scallop Height Tool Path Planning Method on Compound Surface[D]. Hangzhou：Zhejiang University，2014.

[10] 王汝傳,黃海平.計算機圖形學教程[M]. 2版.北京:人民郵電出版社,2009.

WANG Ruchuan, HUANG Haiping. Computer Graphics [M]. 2ed. Beijing: Posts & Telecom Press, 2009.

[11] LES P, WAYNE T. The NURBS Book[M]. 2 ed. New York:Springer-Verlag, 1997.

[12] 張海洋. 葉片砂帶磨削機器人軌跡規(guī)劃與離線編程[D]. 武漢：華中科技大學，2014.

ZHANG Haiyang. Robotic Trajectory Planning and Off-line Programming for Belt Grinding of Turbine Blade[D].Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2014.