鄭庭庭, 聶麟飛

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

登革熱(Dengue fever)是一種常見(jiàn)的急性蟲(chóng)媒傳染病,它的傳播媒介主要是伊蚊(其中包括埃及伊蚊和白紋伊蚊).當(dāng)易感人群被攜帶登革熱病毒的雌蚊叮咬后,病毒就會(huì)通過(guò)蚊子的唾液進(jìn)入人體血液而被傳染,同時(shí)蚊子吸食攜帶登革熱病毒的人群的血液時(shí)也會(huì)被傳染,這就導(dǎo)致了病毒在人群和蚊子之間的傳播[1].

近年來(lái),隨著世界各地的登革熱發(fā)病率和致死率的大幅增加,登革熱疾病已經(jīng)成為一個(gè)國(guó)際重點(diǎn)關(guān)注的公共衛(wèi)生問(wèn)題[1-2].世界衛(wèi)生組織的數(shù)據(jù)顯示[2],每年大約有3.9億例登革熱感染病例(95%置信區(qū)間2.84～5.28億),其中9 600萬(wàn)(95%置信區(qū)間0.67～1.36億)出現(xiàn)不同程度的臨床癥狀.登革熱的臨床表現(xiàn)為突發(fā)性劇烈頭痛、眼球后疼痛、肌肉和關(guān)節(jié)疼痛、惡心、嘔吐,部分患者出現(xiàn)皮疹、出血傾向、淋巴結(jié)腫大、白細(xì)胞計(jì)數(shù)減少、血小板減少等癥狀.登革熱還可能發(fā)展成潛在的致命并發(fā)癥,稱(chēng)為登革出血熱(Dengue Haemorrhagic Fever)和登革熱休克綜合征(Dengue Shock Syndrome),其最嚴(yán)重的形式主要通過(guò)增加血管通透性和沖擊從而威脅到病人的生命[3].

在過(guò)去的幾十年里,眾多學(xué)者建立了各類(lèi)登革熱病毒在蚊子和人群之間傳播的動(dòng)力學(xué)模型,討論了疾病的流行規(guī)律和預(yù)防控制措施[4-6].例如,Esteva等[7]提出了一個(gè)人口總數(shù)是常數(shù)而蚊子總數(shù)是變量的SIR登革熱動(dòng)力學(xué)模型,得到了決定疾病流行和消除的閾值條件.Li等[8]考慮了一個(gè)具有雙線性發(fā)生率和飽和發(fā)生率的登革熱病毒傳播模型,給出了疾病的基本再生數(shù)的精確表達(dá)式,即當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí),模型無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的,當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí),疾病是持久的且模型存在唯一的全局漸近穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn).

另一方面,臨床數(shù)據(jù)表明登革熱是由4種不同、但卻緊密相關(guān)的登革熱病毒(病毒學(xué)家稱(chēng)之為DEN-1、DEN-2、DEN-3和DEN-4病毒型)引起的,人感染一種病毒血清型并康復(fù)后,體內(nèi)會(huì)對(duì)這種病毒血清型產(chǎn)生終身免疫,但對(duì)其他3種病毒血清型只有部分和短暫的交叉免疫[9].研究表明,連續(xù)感染會(huì)加大人群患DHF/DSS的風(fēng)險(xiǎn)[10].因此,一些學(xué)者建立了具有多種登革熱病毒血清型的數(shù)學(xué)模型,研究了模型的各種動(dòng)力學(xué)行為,討論了繼發(fā)感染對(duì)疾病傳播和控制的影響[3,11-13].特別地,Feng等[11]建立了一類(lèi)具有2種病毒血清型的SIR登革熱傳播模型,研究得出了疾病的流行病學(xué)趨勢(shì),以及允許競(jìng)爭(zhēng)時(shí)的病毒血清型共存的條件.Esteva等[3]提出了一類(lèi)具有2種病毒血清型的非線性登革熱動(dòng)力學(xué)模型,討論了模型無(wú)病平衡點(diǎn)和邊界平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性,得到了刻畫(huà)疾病消除和流行的閾值條件,以及2種登革熱病毒血清型共存的充分條件.理論結(jié)果表明,在一定的參數(shù)范圍內(nèi),2種登革熱病毒血清型在人體中共存是可能的.

眾所周知,登革熱疾病的高發(fā)區(qū)為熱帶和亞熱帶,而蚊子對(duì)環(huán)境條件有很強(qiáng)的敏感性[1-2],因此,氣候因素對(duì)蚊子的行為和登革熱病毒傳播的有效性等方面有著非常重要的影響[14-15].考慮到上述因素,Rodrigues等[16]提出了一類(lèi)刻畫(huà)疾病在蚊子和人群之間傳播規(guī)律的登革熱倉(cāng)室模型,利用蚊子在不同的溫度和降雨量下的各種行為模擬并分析了季節(jié)變化對(duì)登革熱疾病的控制與消除的影響,研究結(jié)果表明通過(guò)控制溫度和降雨量可以有效的阻礙或促進(jìn)登革熱疾病的發(fā)展.此外,也有學(xué)者提出了具有季節(jié)影響的蟲(chóng)媒介傳染病模型[17-21].例如,Wang等[22]提出一個(gè)在周期環(huán)境下的瘧疾傳播模型,計(jì)算得出了該模型的基本再生數(shù),證明了基本再生數(shù)是決定疾病滅絕或持久的閾值條件,并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性和模型更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.Gourley等[23]考慮到季節(jié)的影響,建立了藍(lán)舌病在蚊子和牛(或羊)之間傳播的非自治的動(dòng)力學(xué)模型,得到了模型無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性的判別準(zhǔn)則,并對(duì)該準(zhǔn)則進(jìn)行了必要的生物解釋.

本文基于上述討論,建立了一類(lèi)具有季節(jié)影響的兩菌株登革熱病毒傳播的數(shù)學(xué)模型,研究了模型解的非負(fù)性與有界性、無(wú)病周期解的存在性與穩(wěn)定性以及疾病的持久性.

考慮到季節(jié)變化對(duì)蚊子的行為與登革熱病毒傳播的影響,將基于經(jīng)典的傳染病倉(cāng)室模型,提出一類(lèi)具有季節(jié)影響的2種登革熱病毒血清型的數(shù)學(xué)模型.

將某個(gè)地區(qū)的人群分為易感者、初次感染者、二次感染者和恢復(fù)者,并分別用S(t)、Ii(t)、Yj(t)和R(t)表示t時(shí)刻易感人群,初次感染血清為i的人群,二次感染血清為j的人群和恢復(fù)者,其中i,j=1,2，i≠j.將雌蚊分為易感群體和染病群體,分別用U(t)和Vi(t)代表t時(shí)刻易感雌蚊和感染血清為i的雌蚊的數(shù)量.記

基于登革熱病毒在蚊子和人群中的傳播規(guī)律,該模型可以表示為

(1)

模型中其他參數(shù)的含義由表1給出.

表 1 模型(1)中參數(shù)的含義

設(shè)Rn+:={(x1,x2,…,xn):xi≥0,i=1,2,…,n},基于模型(1)的生物背景,僅需在區(qū)域內(nèi)考慮模型(1)的動(dòng)力學(xué)行為.對(duì)于模型(1),始終引入以下2個(gè)假設(shè)：

首先,考慮下面的ω周期的線性微分方程

(2)

其中a(t)和c(t)對(duì)所有的t≥0都是連續(xù)的ω周期函數(shù).關(guān)于方程(2)的正周期解的吸引性,下面的結(jié)論顯然成立.

在模型(1)中,令I(lǐng)i≡0,Yi≡0,Vi≡0,由此可得R=0,其中i=1,2,則得到下面的子系統(tǒng)

(3)

引理2模型(3)存在唯一的全局吸引的正ω周期解

令Rn是范數(shù)為‖·‖的標(biāo)準(zhǔn)有序的n維歐幾里得空間.對(duì)任意的u,v∈Rn,若u-v∈Rn+,則記為u≥v;若u-v∈Rn+{0},則記為u>v;若u-v∈intRn+,則記為u?v.假設(shè)A(t)是連續(xù)合作不可約[25]的n×n維ω周期矩陣函數(shù),ΦA(chǔ)(t)是下列線性常微分方程的基解矩陣

(4)

且ρ(Φ(ω))是Φ(ω)的譜半徑.由Perron-Frobenius定理可知,ρ(Φ(ω))是Φ(ω)的主特征值.關(guān)于方程(4),有下面的引理3.

引理3[26]設(shè)p=lnρ(Φ(ω))/ω,則存在一個(gè)正的ω周期函數(shù)v(t)使得eptv(t)是方程(4)的一個(gè)解.

2 模型的適定性

關(guān)于模型(1)解的非負(fù)性和有界性,有如下的定理.

定理1設(shè)(S(t),I1(t),I2(t),Y1(t),Y2(t),R(t),U(t),V1(t),V2(t))是模型(1)的解,則

I1(t),I2(t),Y1(t),Y2(t),R(t),U(t),V1(t),V2(t))對(duì)所有的t≥0是正的.

證明首先證明結(jié)論(ii).由模型(1)的第5和第7個(gè)方程可知,對(duì)所有的t≥0有

且

因?yàn)镾(0)>0,U(0)>0,所以

且

設(shè)

且

i=1,2.

因此,只需要證明對(duì)所有的t>0有m(t)>0.反證,假設(shè)存在某個(gè)t0>0,使得m(t0)=0且對(duì)t∈[0,t0)有m(t)>0,則僅需討論以下7種情況：

(Ⅰ) m(t0)=I1(t0);

(Ⅱ) m(t0)=I2(t0);

(Ⅲ) m(t0)=Y1(t0);

(Ⅳ) m(t0)=Y2(t0);

(Ⅴ) m(t0)=R(t0);

(Ⅵ) m(t0)=V1(t0);

(Ⅶ) m(t0)=V2(t0).

考慮到證明方法的類(lèi)似性,這里僅給出第3種情況的證明,即m(t0)=Y1(t0).由于對(duì)t∈[0,t0)有m(t)>0,故V1(t)>0,I2(t)>0.進(jìn)而,對(duì)所有的t≥0有

對(duì)上述不等式兩邊從0到t0積分可得

這與Y1(t0)=0矛盾.因此,模型(1)的解是正的.結(jié)論(ii)得證.

最后證明模型(1)解的有界性.令

N(t)=S(t)+I1(t)+I2(t)+Y1(t)+

Y2(t)+R(t)，

則有

其中,μ和Λ(t),即U(t)、V1(t)和V2(t)是最終有界的.證畢.

3 疾病的滅絕和持久

且

記

X(t)=(i1(t),i2(t),y1(t),y2(t),v1(t),
v2(t),s(t),r(t),u(t)),

則模型(1)可以改寫(xiě)成如下的向量形式

(5)

這里

其中(*)代表一個(gè)非零矩陣塊.由文獻(xiàn)[27]可知,模型(1)的無(wú)病周期解的穩(wěn)定性是由F(t)-V(t)的譜半徑ρ(Φ(ω))決定的.因此,下面的結(jié)論顯然成立.

定理2若R0=ρ(Φ(ω))<1,則模型(1)無(wú)病周期是局部漸近穩(wěn)定的.

為了得到無(wú)病周期解的全局漸近穩(wěn)定性,將模型(1)改寫(xiě)為如下形式

令

關(guān)于模型(1)的無(wú)病周期解的全局漸近穩(wěn)定性,有下面的結(jié)論.

定理3若R0=ρ(Φ(ω))<1且<1,則模型(1)的無(wú)病周期解是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由定理2可知,當(dāng)R0<1時(shí),模型(1)的無(wú)病周期解是局部漸近穩(wěn)定的,故只需證明無(wú)病周期解是全局吸引的.由<1,可以選取一個(gè)足夠小的常數(shù)η>0,使得ρ(其中

(7)

其中,W1(t)=I1(t)+Y2(t)，W2(t)=I2(t)+Y1(t)，W3(t)=V1(t),W4(t)=V2(t).

考慮下面的比較系統(tǒng)

(8)

由引理3可知,存在一個(gè)正的ω周期解

v(t)=(v1(t),v2(t),v3(t),v4(t))T,

p=ln{ρ(

記

是模型(8)的任一解,則可選取一個(gè)常數(shù)τ>0,使得

J(T1)≤τev(T1).

由常微分方程的比較原理可知,對(duì)所有的t≥T1有

J(t)≤τev(t).

因?yàn)?/p>

ρ(

所以

故

進(jìn)一步有

從而

因此,模型(1)的無(wú)病周期解是全局吸引的.證畢.

為了討論模型(1)的一致持久性,將模型(1)改寫(xiě)成為以下形式

(9)

其中

I(t)=I1(t)+I2(t)+Y1(t)+Y2(t),
V(t)=V1(t)+V2(t).

令

這里

關(guān)于模型(1)的疾病的一致持久性,有下面結(jié)論.

定理4若0=ρ((ω))>1,則模型(1)中的疾病是一致持久的,即存在一個(gè)正常數(shù)δ,使得模型(1)的解滿(mǎn)足:

證明由0>1,可選取一個(gè)足夠小的正常數(shù)σ,使得

ρ(

其中

考慮下面含參數(shù)的線性方程

(10)

(11)

定義集合

X={(S,I,R,U,V):S>0,I≥0,R≥0,
U>0,V≥0},
X0={(S,I,R,U,V):I>0,V>0},
?X=XX0={(S,I,R,U,V):IV=0}.

P(x0)=u(ω,x0),
x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈X.

(12)

其中

滿(mǎn)足初始條件u(0,x0)=x0的解.顯然,模型(12)的所有解都是最終有界的.因此P在X0上是點(diǎn)耗散的也是緊的.

定義

M?={x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈
?X0:Pm(x0)∈?X0,?m≥0},

其中

P0(x0)=x0, P(x0)=P(x0),

Pm(x0)=P(Px0)).

接下來(lái),證明

事實(shí)上,模型(12)中從初值

x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈M?

Pm(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))=

下面證明

用反證法.假設(shè)存在一個(gè)

(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))∈M?,

使得

顯然

max{I(0),V(0)}>0.

x0=(S(0),I(0),R(0),U(0),V(0))

對(duì)上述不等式從0到t積分可得

進(jìn)而,由模型(12)的第5個(gè)方程可得

在M?中,模型(12)退化成為

(13)

Ws(E1)={x0:Pm(x0)→E1,m→}.

下面證明Ws(E1)∩X0=?.由解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性,對(duì)于上述的正常數(shù)ε,存在δ>0,使得對(duì)所有的x0∈X0都有x0-E1≤δ,則對(duì)任意的t∈[0,ω]有

u(t,x0)-u(t,E1)≤ε,

其中

因?yàn)閡(t,E1)是以ω為周期的,所以對(duì)任意t1,t2>0,k∈Z,滿(mǎn)足t2=kω+t1,有

u(t1,E1)=u(t2,E1)

成立.

最后證明對(duì)任意的x0∈X0,都有

(14)

成立.用反證法,假設(shè)結(jié)論不成立,即存在某x0∈X0使得

成立.不失一般性,假設(shè)對(duì)所有的m>0,有

|Pm(x0)-E1|<δ

成立,則對(duì)任意的t∈[0,ω],有

|u(t,Pm(x0))-u(t,E1)|≤ε.

對(duì)任意的t≥0,設(shè)t=t1+nω,其中t1∈[0,ω],n=t/ω表示小于等于t/ω的最大整數(shù),則有

|u(t,x0)-u(t,E1)|=

|u(t1,Pm(x0))-u(t1,E1)|<ε.

利用比較定理可知,對(duì)t≥0有

(15)

(16)

成立.從而,由(11)、(15)和(16)式可以得到,對(duì)任意的t≥t2,有下列不等式成立:

故對(duì)任意的t≥t2有:

考慮以下比較方程

(17)

(18)

由引理3可知,存在一個(gè)正的ω周期函數(shù)

w(t)=(w1(t),w(t))T,

使得

(i(t),v(t))=eθtw(t),

其中

θ=ln{ρ(

是模型(18)的解.記J=(i(t),v(t))T模型(18)的解,可取足夠小的常數(shù)τ>0,使得

J(t2)>τeθt2w(t2).

由常微分方程的比較原理可知,對(duì)所有的t≥t2有

J(t)>τew(t)

成立.因?yàn)?/p>

ρ(

則有

θ=ln{ρ(

故

即

Ws(E1)∩X0=?.

綜上所述,從M?中出發(fā)的每一條軌道都趨近于E1,即E1是M?中的一個(gè)極限環(huán).由文獻(xiàn)[25]中的動(dòng)力系統(tǒng)的一致持久定理可知,映射P關(guān)于(X0,?X0)是一致持久.所以,模型(12)是一致持久的.進(jìn)一步,由常微分方程的比較原理可得,模型(9)是一致持久的,即模型(1)是一致持久的.證畢.

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