劉章君，成靜清，溫天福，吳向東，賈 磊

(1.江西省水利科學(xué)研究院，江西南昌330029;2.水利部鄱陽(yáng)湖水資源水生態(tài)環(huán)境研究中心，江西南昌330029;3.江西省鄱陽(yáng)湖水資源與環(huán)境重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西南昌330029)

0 引 言

設(shè)計(jì)洪水的地區(qū)組成是大中型水利水電工程洪水計(jì)算的主要研究?jī)?nèi)容之一，它是確定流域梯級(jí)開(kāi)發(fā)和工程設(shè)計(jì)規(guī)模的重要依據(jù)[1]。擬定設(shè)計(jì)洪水的地區(qū)組成時(shí)，需要區(qū)間各種防洪標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)洪量或洪量頻率曲線，并且區(qū)間洪水成果對(duì)下游斷面防洪影響較大[2-3]。因此，準(zhǔn)確的區(qū)間設(shè)計(jì)洪水估算具有重要意義。

區(qū)間流域通常都缺少直接實(shí)測(cè)的洪水資料，因此只能采用間接資料或用間接方法計(jì)算。但在區(qū)間無(wú)暴雨資料或暴雨資料不足時(shí)，間接資料計(jì)算方法的應(yīng)用受到限制。間接方法根據(jù)資料條件的不同主要分為[4]：①當(dāng)上下游斷面均有實(shí)測(cè)洪水資料時(shí)，可將歷年下游斷面洪水過(guò)程減去上游段面洪水過(guò)程(包括洪水演進(jìn))，得到歷年區(qū)間的洪水過(guò)程線。之后，按照傳統(tǒng)的規(guī)范方法進(jìn)行區(qū)間洪水頻率計(jì)算。但這種方法在區(qū)間洪水所占比重較小時(shí)，二者相減的誤差將嚴(yán)重影響區(qū)間設(shè)計(jì)洪水成果的精度。②當(dāng)區(qū)間某一部分流域面積(如支流)上有水文站時(shí)，可參照水文站控制流域面積與區(qū)間總面積以及暴雨、產(chǎn)匯流特性等，將水文站的歷年洪水過(guò)程轉(zhuǎn)換成整個(gè)區(qū)間的洪水過(guò)程，再進(jìn)行區(qū)間洪水頻率計(jì)算。但當(dāng)區(qū)間有水文站控制的流域面積較小時(shí)，使上述轉(zhuǎn)換產(chǎn)生較大誤差。方法①和②一般均只利用實(shí)測(cè)資料序列進(jìn)行分析計(jì)算，難以考慮歷史洪水資料，應(yīng)用于資料系列較短的站點(diǎn)時(shí)，其估計(jì)結(jié)果難以滿足工程實(shí)際要求。③采用區(qū)間所在的暴雨等值線圖及暴雨徑流查算圖表進(jìn)行計(jì)算，或者由相似流域經(jīng)地區(qū)綜合的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)推求區(qū)間的設(shè)計(jì)洪水。這種方法一般精度較低，適用于無(wú)法采用上述方法①和②計(jì)算區(qū)間設(shè)計(jì)洪水的情形。

工程實(shí)際中以區(qū)間流域缺乏實(shí)測(cè)資料，而區(qū)間的控制邊界上下游斷面均有洪水資料及設(shè)計(jì)洪水成果的情況最為常見(jiàn)。由于區(qū)間洪量是下游斷面洪量與上游洪量之差，不僅受上、下游洪量的影響，而且上、下游洪量有一定關(guān)系。因此，區(qū)間洪量的頻率計(jì)算實(shí)質(zhì)上可以看作為上、下游洪量的頻率組合計(jì)算。本文從多變量函數(shù)的頻率分析與計(jì)算角度，提出一種計(jì)算區(qū)間流域設(shè)計(jì)洪水的新方法；并以清江流域?yàn)槔?，推求水布埡壩址與隔河巖壩址之間的區(qū)間流域的洪量頻率曲線，對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 區(qū)間流域設(shè)計(jì)洪水計(jì)算的頻率組合模型

如圖1所示，A為下游斷面；B為上游斷面，C為斷面A與斷面B之間的區(qū)間流域。X、Y及Z分別表示斷面A、斷面B和區(qū)間C的天然來(lái)水量。

圖1 區(qū)間流域示意

由水量平衡原理得

Z=X-Y

(1)

現(xiàn)欲推求Z的概率分布FZ(z)。Z不僅受X、Y的影響，且X和Y一般不是獨(dú)立的，而是具有一定關(guān)系的。Z的頻率計(jì)算實(shí)質(zhì)上可以看成是X、Y的頻率組合計(jì)算。

根據(jù)定義有

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X-Y≤z)

(2)

式中，f(x，y)為二元隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

對(duì)式(2)求導(dǎo)，可得

(3)

若已知聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x，y)，在此基礎(chǔ)上再積分計(jì)算，就可得到Z的概率分布。我國(guó)一般假定X和Y均服從P-III型分布[1]，且它們之間還存在一定的相關(guān)性。若用傳統(tǒng)辦法來(lái)確定f(x，y)的解析表達(dá)式是非常困難的，因此直接應(yīng)用式(3)積分求解Z的概率分布尚存在一定的困難，實(shí)際應(yīng)用中只能采用一些近似的計(jì)算方法。

2 多變量函數(shù)頻率分析與計(jì)算方法

對(duì)于多變量函數(shù)的頻率分析與計(jì)算，常用的方法主要有統(tǒng)計(jì)參數(shù)法[6]和概率組合法[7]。隨著聯(lián)合分布模擬技術(shù)的不斷發(fā)展，尤其是近年來(lái)Copula函數(shù)在水文領(lǐng)域的成功應(yīng)用，學(xué)者們提出了基于Copula函數(shù)的蒙特卡羅法[8-10](以下簡(jiǎn)稱“Copula-MC法”)和基于Copula函數(shù)的概率組合法[11](以下簡(jiǎn)稱“Copula-PC法”)。本文將采用以上4種方法來(lái)計(jì)算Z的分布函數(shù)FZ(z)，并對(duì)各方法進(jìn)行比較分析。

2.1 Copula函數(shù)、聯(lián)合分布和條件分布

(1)Copula函數(shù)及聯(lián)合分布。Copula函數(shù)是定義域?yàn)閇0，1]均勻分布的多維聯(lián)合分布函數(shù)，根據(jù)Sklar定理，它可以將多個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布連接起來(lái)構(gòu)造聯(lián)合分布。選用在構(gòu)造上下游斷面洪水聯(lián)合分布時(shí)應(yīng)用最為廣泛的Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)作為下游斷面A和上游斷面B洪量的聯(lián)合分布函數(shù)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為[12]

F(x，y)=C(u，v)=exp{-[(-lnu)θ+
(-lnv)θ]1/θ}

(5)

式中，u=FX(x)和v=FY(y)分別代表邊緣分布函數(shù)；θ為Copula函數(shù)的參數(shù)，采用可以考慮歷史洪水信息的改進(jìn)極大似然法估計(jì)。

(2)基于Copula函數(shù)的條件概率。當(dāng)隨機(jī)變量X、Y的聯(lián)合分布F(x，y)確定后，給定X=x時(shí)，Y≤y的條件分布函數(shù)為

(6)

借助Copula函數(shù)，上式可表示為[13]

(7)

對(duì)于式(5)中Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)，式(7)可具體表示為[14-15]

FY|X(y|x)=exp{-[(-lnu)θ+(-lnv)θ]1/θ}×

[(-lnu)θ+(-lnv)θ]1/θ-1(-lnu)θ-1/u

(8)

則依據(jù)概率分布的性質(zhì)可知，當(dāng)給定X=x時(shí)，Y≥y的條件概率

Py|x=P(Y≥y|X=x)=1-FY|X(y|x)

(9)

2.2 統(tǒng)計(jì)參數(shù)法

統(tǒng)計(jì)參數(shù)法就是根據(jù)式(1)計(jì)算Z的統(tǒng)計(jì)參數(shù)(均值、變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù))；再假定Z的頻率曲線分布線型，即可得到Z的概率分布曲線。因此，該方法的關(guān)鍵是組合變量Z統(tǒng)計(jì)參數(shù)的計(jì)算。設(shè)隨機(jī)變量X、Y均有n年的資料序列，則對(duì)應(yīng)的Z也有n年的資料序列。

(1)均值

(10)

(2)變差系數(shù)。Z的方差為

(11)

(12)

(3)偏態(tài)系數(shù)

(13)

2.3 離散求和法

離散求和法是最常用的概率組合方法，將X與Y的頻率曲線離散化，概化成有限個(gè)“狀態(tài)”，即階梯狀，得到Z的所有組合狀態(tài)，再推求所有組合狀態(tài)的概率。該法一般假定X與Y相互獨(dú)立。

設(shè)X、Y的每一狀態(tài)對(duì)應(yīng)一概率區(qū)間，即X取狀態(tài)xi的概率區(qū)間為ΔPx，i(i=1，2，…，nx；nx為X的狀態(tài)數(shù))，Y取狀態(tài)yj的概率區(qū)間為ΔPy，j(j=1，2，…，ny；ny為Y的狀態(tài)數(shù))，則Z的狀態(tài)zij=xi-yj(zij的狀態(tài)數(shù)nz=nx×ny)，對(duì)應(yīng)的概率區(qū)間為ΔPz，ij，則

P(Z=zij)=ΔPz，ij=P(X=xi)P(Y=yj)=ΔPx.iΔPy，j

(14)

于是有

(15)

當(dāng)X與Y不獨(dú)立時(shí)，一般應(yīng)進(jìn)行獨(dú)立性處理，以新變量代換X或Y中的一個(gè)。在實(shí)際應(yīng)用中，一般對(duì)均值較小的組合變量作變量代換，效果較好。不失一般性，假定Y的均值較小，可作如下變量變換

E=Y-k·X

(16)

根據(jù)正交性原理，當(dāng)k為最小二乘估計(jì)時(shí)，即

(17)

則經(jīng)獨(dú)立性處理后，E與X滿足正交條件，從而認(rèn)為二者不相關(guān)；實(shí)際應(yīng)用中一般可視為是相互獨(dú)立的，可按獨(dú)立隨機(jī)變量一樣進(jìn)行頻率組合計(jì)算。

2.4 Copula-PC法

當(dāng)Y倚X的條件概率確定后，對(duì)于X的每一個(gè)取值狀態(tài)，都對(duì)應(yīng)一條Y倚X的條件概率曲線Py|x。將X的頻率曲線離散化，即概化成階梯狀，離散后X只能取有限個(gè)狀態(tài)值。對(duì)X的每一種取值狀態(tài)，將其對(duì)應(yīng)的Y倚X的條件概率曲線Py|x也離散化。設(shè)X取nx個(gè)狀態(tài)，取ny個(gè)狀態(tài)，則組合變量Z的狀態(tài)nz=nx·ny。

X、Py|x的每一狀態(tài)都對(duì)應(yīng)一概率區(qū)間，設(shè)X取狀態(tài)xi的概率區(qū)間為ΔPx，i，Y取狀態(tài)yj的條件概率區(qū)間為ΔPyj|xi(i=1， 2， …，nx;j=1， 2， …，ny)。Z相應(yīng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的概率區(qū)間為ΔPz，ij，則

P(Z=zij)=ΔPz，ij=P(X=xi)·P(Y=yj|X=xi)

=ΔPx，i·ΔPyj|xi

(18)

式中，zij=xi-yj；而

ΔPyj|xi=[1-FY|X(yj+1|xi)]-[1-FY|X(yj|xi)]

=FY|X(yj|xi)-FY|X(yj+1|xi)

(19)

于是式(19)可表示為

P(Z=zij)=ΔPz，ij=[FY|X(yj|xi)-

FY|X(yj+1|xi)]·ΔPx，i

(20)

則

(21)

可以看出，借助Copula函數(shù)可直接對(duì)Y倚X的條件概率曲線Py|x進(jìn)行離散化，不需要對(duì)變量Y作獨(dú)立性處理，保持了變量間的相關(guān)性特征，避免了離散求和法在進(jìn)行獨(dú)立性處理時(shí)可能出現(xiàn)的數(shù)據(jù)失真問(wèn)題。

2.5 Copula-MC法

通過(guò)聯(lián)合分布函數(shù)可以對(duì)存在相關(guān)性的隨機(jī)變量X和Y成對(duì)地進(jìn)行隨機(jī)抽樣，從而達(dá)到對(duì)二者同時(shí)隨機(jī)模擬的目的。

步驟1：根據(jù)建立的兩變量聯(lián)合分布，可以得到當(dāng)X為指定值時(shí)Y的條件分布，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

SX(y|X=x)=P(Y≤y|X=x)=?F(x，y)/?x

(22)

步驟2：產(chǎn)生服從[0，1]均勻分布的兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)數(shù)r1和r2。

步驟4：令r2等于X=x時(shí)Y的條件分布值，即r2=SX(y|X=x)，為求解方便，將式(7)表達(dá)為

SU(v|U=u)=P(V≤v|U=u)=?C(u，v)/?u

(23)

步驟5：通過(guò)z=x-y計(jì)算得到z。

步驟6：重復(fù)步驟2～5共n次，可以模擬出n個(gè)z值，再由期望公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)頻率，得到Z的頻率曲線。P(z>zi)=mi/(n+1)，mi為滿足z

3 實(shí)例研究

3.1 研究區(qū)域概況

清江是湖北省境內(nèi)最大的一條長(zhǎng)江支流，發(fā)源于湖北省利川市齊岳山，流域面積1.7萬(wàn)km2，中下游建有水布埡-隔河巖梯級(jí)水庫(kù)。如圖1，A為隔河巖壩址斷面，B為水布埡壩址斷面，C為水布埡、隔河巖之間的區(qū)間流域(簡(jiǎn)稱水-隔區(qū)間)。隔河巖壩址控制面積14 430 km2，其洪量由上游水布埡壩址(10 860 km2)和水-隔區(qū)間(3 570 km2)兩個(gè)分區(qū)組合形成。水-隔區(qū)間左岸有泗渡河，右岸有泗揚(yáng)河、天池河等較大支流，盡管泗渡河上設(shè)有招徠河水文站(1960年～1983年)，集水面積792 km2，但只占水-隔區(qū)間面積的22%，資料系列也較短，因此間接方法②不宜采用?？紤]到水布埡水電站壩址和隔河巖水電站壩址均有1965年～2010年的實(shí)測(cè)流量資料，且水-隔區(qū)間面積占隔河巖壩址控制面積的比例較大(24.7%)，可采用間接方法①計(jì)算。本文將采用4種基于頻率組合的方法計(jì)算水-隔區(qū)間最大3 d洪量的頻率曲線，與采用傳統(tǒng)間接方法①結(jié)果進(jìn)行比較。

3.2 邊緣分布、聯(lián)合分布和條件分布

本文基本資料為1965年～2010年(共46 a)3 h時(shí)段的水布埡水電站壩址和隔河巖水電站壩址流量。計(jì)算最大3 d洪量頻率曲線時(shí)隔河巖壩址1935作為特大洪水，水布埡壩址1883年和1997年作特大值處理。根據(jù)《水利水電工程設(shè)計(jì)洪水計(jì)算規(guī)范》，假設(shè)水布埡壩址和隔河巖壩址最大3 d洪量均服從P-Ⅲ分布，參數(shù)采用線性矩法初估，經(jīng)適線法微調(diào)得到，估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 清江流域水布埡和隔河巖壩址最大3 d洪量統(tǒng)計(jì)參數(shù)

分別采用1965年～2010年水布埡壩址和隔河巖壩址最大3 d洪量資料，利用可考慮歷史洪水信息(實(shí)際上本實(shí)例無(wú)同步的歷史洪水，但如果有的話可以考慮)的改進(jìn)極大似然法計(jì)算得到聯(lián)合分布的參數(shù)為6.05。將46 a的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布值與理論聯(lián)合分布值點(diǎn)繪見(jiàn)圖2，其確定性系數(shù)為0.993 3，經(jīng)驗(yàn)頻率與理論頻率值的擬合情況很好。圖3是另外一種形式對(duì)聯(lián)合觀測(cè)變量的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布值與理論聯(lián)合分布值進(jìn)行了對(duì)比。圖2和圖3表明所建立的聯(lián)合分布是合理可行的。有了聯(lián)合分布參數(shù)，分別代入式(5)和式(9)就可以得到聯(lián)合分布函數(shù)和條件分布函數(shù)。

圖2 聯(lián)合觀測(cè)值的經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布相關(guān)關(guān)系

圖3 聯(lián)合觀測(cè)值的經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布比較

3.3 水-隔區(qū)間最大3 d洪量頻率曲線

分別采用統(tǒng)計(jì)參數(shù)法、離散求和法、Copula-PC法和Copula-MC法，分別推求水-隔區(qū)間最大3 d洪量的頻率曲線及設(shè)計(jì)值。

圖4 5種方法計(jì)算的水-隔區(qū)間最大3 d洪量頻率分布曲線

zij=0.278xi-ej

(24)

該zij流量發(fā)生的概率為

圖5 水-隔區(qū)間E的頻率曲線

(25)

對(duì)X和E的全部取值狀態(tài)作組合計(jì)算，可得Z的頻率曲線(見(jiàn)圖4)。

(3)Copula-PC法。以X的設(shè)計(jì)頻率為0.1%和1%為例，即當(dāng)X=x0.1%和X=x1%時(shí)，Y≥y的條件概率曲線分別見(jiàn)圖6。將X的頻率曲線和Y倚X的條件概率曲線都離散成40種狀態(tài)，設(shè)變量X第i種狀態(tài)的取值為xi，Y取狀態(tài)yj的條件概率區(qū)間為ΔPyj|xi，則

zij=xi-yj

(26)

圖6 給定X=x0.1%和X=x1%時(shí)Y的條件頻率曲線

該zij流量發(fā)生的概率為

ΔPz，ij=ΔPx，i·ΔPyj|xi=ΔPx，i·[FY|X(yj|xi)-

FY|X(yj+1|xi)]

(27)

對(duì)X和Y的全部取值狀態(tài)作組合計(jì)算，可得Z的頻率曲線(見(jiàn)圖7)。

圖7 水布埡與隔河巖最大3 d洪量隨機(jī)生成散點(diǎn)

(4)Copula-MC法。運(yùn)用上述2.5節(jié)中的Copula-MC法計(jì)算步驟，模擬15 000組水布埡壩址和隔河巖壩址最大3 d洪量。將模擬結(jié)果和46 a實(shí)測(cè)資料結(jié)果點(diǎn)繪于圖7。由圖7可知，實(shí)測(cè)資料點(diǎn)據(jù)都位于隨機(jī)模擬散點(diǎn)圖中，對(duì)實(shí)測(cè)資料的吻合效果較好。Copula-MC法不但實(shí)現(xiàn)了水-隔區(qū)間最大3d洪量的隨機(jī)生成，同時(shí)增加了隔河巖壩址洪水地區(qū)組成隨機(jī)性和多樣性。利用上述隨機(jī)生成的大量水-隔區(qū)間最大3 d洪量，采用期望公式計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)頻率，得到Z的頻率曲線。

《隔河巖水庫(kù)汛限水位設(shè)計(jì)與運(yùn)用技術(shù)報(bào)告》[16]中采用傳統(tǒng)的間接方法①計(jì)算水-隔區(qū)間最大3 d洪量的頻率曲線。將以上4種頻率組合方法和文獻(xiàn)[16]中的結(jié)果分別繪于圖4，同時(shí)將5種常用設(shè)計(jì)頻率的結(jié)果匯總于表2。

從圖4和表2的計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：與兩種基于Copula函數(shù)的Copula-PC法和Copula-MC法相比，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)法和離散求和法計(jì)算的結(jié)果明顯系統(tǒng)偏小，且偏小幅度隨著洪水重現(xiàn)期的增大而增大，會(huì)低估設(shè)計(jì)斷面的防洪風(fēng)險(xiǎn)。統(tǒng)計(jì)參數(shù)法只考慮上、下游斷面的線性相關(guān)關(guān)系，而未真實(shí)反映兩者復(fù)雜的非線性相關(guān)結(jié)構(gòu)；同時(shí)假定Z服從P-Ⅲ分布理論上也缺乏依據(jù)。離散求和法在獨(dú)立性轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，區(qū)間E系列出現(xiàn)大量負(fù)值并人為假定E服從P-Ⅲ分布進(jìn)行強(qiáng)制適線，以致出現(xiàn)數(shù)據(jù)失真，造成誤差較大。

表2 水-隔區(qū)間最大3 d洪量設(shè)計(jì)值對(duì)比

Copula-PC法采用Copula函數(shù)求解條件概率曲線，直接對(duì)其進(jìn)行離散組合，不需要變量進(jìn)行獨(dú)立性處理，保持了變量間的相關(guān)性特征。Copula-MC法則通過(guò)Copula函數(shù)構(gòu)建X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)，采用蒙特卡羅方法對(duì)其進(jìn)行聯(lián)合抽樣，隨機(jī)生成大量的水-隔區(qū)間最大3d洪量，從而得到頻率曲線，計(jì)算結(jié)果合理，可操作性強(qiáng)。

4 結(jié) 論

本文提出的方法用清江流域水布埡-隔河巖區(qū)間流域?qū)嵗M(jìn)行驗(yàn)證的結(jié)果表明：

(1)所提出的基于上下游斷面洪水頻率組合計(jì)算區(qū)間流域設(shè)計(jì)洪水的思路合理可行，推薦采用基于Copula函數(shù)的Copula-PC法和Copula-MC法。

(2)統(tǒng)計(jì)參數(shù)法和離散求和法理論上存在不足，計(jì)算的結(jié)果系統(tǒng)偏小，可能會(huì)低估下游斷面的防洪風(fēng)險(xiǎn)。

(3)本文方法對(duì)資料條件要求較低，一般容易滿足，且在頻率組合過(guò)程中可以考慮歷史洪水信息，更加符合工程實(shí)際要求。

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