季祥 劉哲 高超 王浩鑫 武凱璇

一、圖像小波分解的原理

小波變換是一個(gè)強(qiáng)有力的圖像處理工具，令f（x1， x2）

∈L2（R2）表示一個(gè)二維信號(hào)，x1、x2分別是橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，Ψ（x1， x2）表示二維基本小波，二維連續(xù)小波定義：

令Ψa，b1，b2（x1， x2）表示Ψ（x1， x2）的尺度伸縮和二維位移，那么：

（1.1）

則二維連續(xù)小波變換為：

（1.2）

式中因子

是為了保證小波伸縮前后其能量不變而引入的歸一因子。

對(duì)二維正交小波變換有其快速算法——Mallat算法，它把小波變換的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為小波變換后系數(shù)的計(jì)算問(wèn)題：在實(shí)際操作中，給出M+1層上的離散采樣值{fM+1（m，n）}數(shù)據(jù)，要計(jì)算M層上的小波變換系數(shù)，即分解算法的問(wèn)題，設(shè)H={hn}，G={gn}分別對(duì)應(yīng)分解時(shí)的小波低通以及高通濾波器，小波計(jì)算分解系數(shù)的過(guò)程為：

其中，cM（m，n）為M層時(shí)的小波系數(shù)，當(dāng)M=0時(shí)，f（m，n）也是原始圖像數(shù)據(jù)，而LLM+1（m，n）是M+1層的圖像數(shù)據(jù)，是M層的圖像數(shù)據(jù)cM（m，n）進(jìn)行小波分解后的低頻分量數(shù)據(jù)，{LLM+1（m，n）}是{cM（m，n）}的概況，是{cM（m，n）}的縮略表示，與{cM（m，n）}在輪廓上是相似的，而{LHM+1（m，n）}為{cM（m，n）}進(jìn)行小波分解后在x方向的概貌和在y方向的高頻細(xì)節(jié)信息，{HLM+1（m，n）}為{cM（m，n）}進(jìn)行小波分解后在y方向的概貌和在x方向的高頻細(xì)節(jié)信息，{HHM+1（m，n）}為{cM（m，n）}進(jìn)行小波分解后在x方向和y方向的高頻細(xì)節(jié)信息，它表明沿對(duì)角線方向的細(xì)節(jié)信號(hào)。

二、圖像小波重構(gòu)的原理

圖像經(jīng)過(guò)小波分解以后，得到它的低頻以及高頻分量，得到了每個(gè)方向上的系數(shù)，根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和和經(jīng)過(guò)修改的從第1層到第N層的各層高頻系數(shù)，來(lái)計(jì)算二維信號(hào)的小波重構(gòu)。

Hr和Hc分別代表低通濾波器對(duì)系數(shù)矩陣cM行和列作用的算子，Gr和Gc分別代表高通濾波器對(duì)系數(shù)矩陣cM行和列作用的算子，則重構(gòu)算法為：

（1.5）

其中Hr*是Hr的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。

三、圖像小波變換放大的原理

小波變換：它是一種新的變換分析的方法，它不僅繼承短時(shí)傅里葉變換局部的思想，還對(duì)其進(jìn)行了發(fā)展，與此同時(shí)它又克服了窗口大小不隨頻率變化等不足，提供了一個(gè)能夠隨頻率改變而改變的窗口。它的主要特點(diǎn)就是能夠通過(guò)變換來(lái)突出問(wèn)題在某些方面的特征，能夠完成對(duì)時(shí)間頻率的局部化分析，通過(guò)一系列的伸縮以及平移運(yùn)算，它能夠完成對(duì)信號(hào)逐步實(shí)現(xiàn)多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任何細(xì)節(jié)。例如圖像信號(hào)，其核心就是對(duì)圖像對(duì)應(yīng)的像素值或者叫做圖像位置的系數(shù)進(jìn)行均值和差異的細(xì)節(jié)操作，產(chǎn)生新的像素值的平均值和細(xì)節(jié)系數(shù)表示的圖像，這些不同的圖像部分分別表示圖像分解后的低頻分量和高頻分量，如圖3.1所示，對(duì)圖像進(jìn)行一維二進(jìn)制小波分解得到四個(gè)分量，LL1是它的低頻分量，HL1、LH1、HH1是它的水平、垂直、對(duì)角高頻分量。也可以對(duì)LL1分量進(jìn)行進(jìn)一步的分解。由于一個(gè)圖像的細(xì)節(jié)信息主要集中在高頻分量中，常規(guī)的實(shí)現(xiàn)小波放大的思想就是將分解得到的低頻分量用原圖像替換，得到的三個(gè)高頻分量用插值法實(shí)現(xiàn)放大[17]將他們的大小放大到和原圖像一樣，然后對(duì)四個(gè)新的分量進(jìn)行小波重構(gòu)。這樣就可以得到一個(gè)長(zhǎng)和寬都放大四倍的圖像，除此之外我們也可以對(duì)原圖像先進(jìn)行插值法放大然后進(jìn)行小波分解，將分解得到的高頻分量與原圖像進(jìn)行小波重構(gòu)。

四、基于小波變換圖像放大算法設(shè)計(jì)

1、常規(guī)的實(shí)現(xiàn)小波放大的方法

（1）選擇小波函數(shù)采用dwt2函數(shù)對(duì)原圖像進(jìn)行二進(jìn)制小波分解，得到它的低頻分量以及三個(gè)高頻分量即水平、垂直、對(duì)角分量。

（2）將分解后的低頻分量用原圖像進(jìn)行替換，原圖像經(jīng)過(guò)二進(jìn)制小波分解以后，得到的低頻分量只有原始圖像的四分之一，所以對(duì)得到的三個(gè)高頻分量用雙線性插值法將圖像的長(zhǎng)和寬各放大兩倍，這樣三個(gè)高頻分量的大小與原圖像的大小就是一致的。

（3）將這四個(gè)分量采用idwt2函數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，那么得到的將是長(zhǎng)和寬都放大四倍的圖像。

2、本文涉及的實(shí)現(xiàn)小波放大的方法

由于本課題研究的主要是插值法以及基于小波變換的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像的放大，因此希望能夠?qū)⑦@兩項(xiàng)方法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，常規(guī)的實(shí)現(xiàn)方法是先進(jìn)行小波分解。然后原圖像替換低頻分量，其他高頻分量放大到與原圖像同樣尺寸后進(jìn)行重構(gòu)，先用小波分解然后對(duì)高頻分量插值，那么也可以先對(duì)圖像進(jìn)行插值放大，放大得到的圖像進(jìn)行小波分解后得到的高頻分量的大小與原圖像的大小就是一樣的，此時(shí)用原圖替換低頻分量，高頻分量不變，然后再進(jìn)行重構(gòu)。（1）使用插值法將原圖像的長(zhǎng)和寬各放大兩倍。（2）對(duì)放大后的圖像采用dwt2函數(shù)進(jìn)行二進(jìn)制小波分解，得到它的低頻以及高頻分量。（3）由于第一步已經(jīng)經(jīng)過(guò)放大，小波分解得到的高頻分量與原圖像的大小是一樣的，將三個(gè)高頻分量與原圖像（作為低頻分量）采用idwt2函數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，得到放大后的圖像。

五、基于小波變換圖像放大算法仿真分析

在進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，選取的是分辨率較低的圖片，這樣放大得到的結(jié)果與原圖像對(duì)比差異會(huì)更加明顯，在進(jìn)行比較時(shí)。主觀上還是主要觀察圖像的清晰度，放大圖像和原圖像相比它的細(xì)節(jié)保留程度。因?yàn)槌Ｒ?guī)的實(shí)現(xiàn)方法圖像放大后是原圖像的四倍，所以在本次實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)的方法是先采用雙線性插值法將行和列各放大兩倍，這樣得到的兩幅比較的圖片的大小就是一樣大的。