程 軍

（中國科學技術(shù)館,北京100012）

1 問題的起源

記里鼓車是我國古代的一項重要發(fā)明，古籍中多有記載。

《晉書》卷二十五記道：“指南車過江亡失，及義熙五年，劉裕屠廣固始復獲焉，乃使工人張網(wǎng)補輯周用。十三年，裕定關(guān)中，又獲司南記里諸車，制度始備?！薄坝浝锕能?，駕四，形制如司南，其中有木人執(zhí)槌向鼔，行一里則打一槌?！盵1]

《宋書》卷十八記道：“記里車，未詳所由來，亦高祖定三秦所獲，制如指南，其上有鼓，車行一里木人則擊一槌。大駕鹵簿以次指南。”[2]

《南齊書·輿服志》《古今注》《隋書·禮儀志》《舊唐書·輿服志》《唐書·車服志》對記里鼓車也有簡略的記載。

以上這些記載都沒有涉及到記里鼓車的內(nèi)部構(gòu)造。

對記里鼓車的內(nèi)部構(gòu)造有記載的是《宋史》《愧郯錄》等文獻，它們記載了盧道隆記里鼓車和吳德仁記里鼓車。盧道隆記里鼓車是現(xiàn)存最早的有內(nèi)部構(gòu)造記載的記里鼓車。

學術(shù)界研究盧道隆記里鼓車都是以《宋史》為依據(jù)。

下面先介紹《宋史》中記載的盧道隆記里鼓車。

《宋史》卷一百四十九記道：“記里鼓車，一名大章車，赤質(zhì)，四面畫花鳥,重臺，勾闌,鏤拱。行一里，則上層木人擊鼓；十里，則次層木人擊鐲。一轅，鳳首，駕四馬，駕士舊十八人，太宗雍熙四年，增為三十人。仁宗天圣五年，內(nèi)侍盧道隆上記里鼓車之制。獨轅，雙輪，箱上為兩重，各刻木為人，執(zhí)木槌。足輪各徑六尺，圍一丈八尺，足輪一周而行地三步。以古法六尺為步、三百步為里，用較今法五尺為步、三百六十步為里。立輪一附于左足，徑一尺三寸八分，圍四尺一寸四分，出齒十八，齒間相去二寸三分；下平輪一，其徑四尺一寸四分，圍一丈二尺四寸二分，出齒五十四，齒間相去與附立輪同；立貫心軸一，其上設(shè)銅旋風輪一，出齒三，齒間相去一寸二分；中立平輪一，其徑四尺，圍一丈二尺，出齒百，齒間相去與旋風等；次安小平輪一，其徑三寸少半寸，圍一尺，出齒十，齒間相去一寸半；上平輪一，其徑三尺少半尺，圍一丈，出齒百，齒間相去與小平輪同。其中平輪轉(zhuǎn)一周，車行一里，下一層木人擊鼓；上平輪轉(zhuǎn)一周，車行十里，上一層木人擊鐲。凡用大小輪八，合二百八十五齒，遞相鉤鏁，犬牙相制，周而復始。詔以其法下有司制之?！盵3]

仁宗天圣五年是1027年。

這里“徑”指輪直徑，“圍”指輪周長。

從“足輪各徑六尺，圍一丈八尺”、“徑一尺三寸八分，圍四尺一寸四分”等數(shù)據(jù)可知，盧道隆記里鼓車是將圓周率取為3。

其中“小平輪”“圍一尺，出齒十”，即周長為一尺，一周有10個齒。

因為 1尺=10寸，所以“小平輪”齒間距應(yīng)為“一寸”。

《宋史》記載“小平輪”“齒間相去一寸半”是錯誤的，應(yīng)為“齒間相去一寸”。這從下面將介紹的《太常因革禮》《愧郯錄》《文獻通考》中的文字也可得到印證。

對這段文字最早進行研究的是張蔭麟。張蔭麟于1925年對這段文字做了研究，繪出了盧道隆記里鼓車的結(jié)構(gòu)圖，并對此車的數(shù)據(jù)進行分析。張蔭麟認為“文中所記小平輪，及上平輪之徑圍，俱有差誤?！缟侔氪纭徽Z，亦殊費解，如解作二寸五分；則周圍當合七寸五，與‘圍一尺’及‘齒間相去一寸半’俱不合；如解作三寸又半寸，或三寸半稍不足，則與圍一尺之說尚可相通，惟與齒距寸半之說，仍未能相符?！畯饺呱侔氤摺Z，亦同一費解?！盵4]

王振鐸對“三寸少半寸”的理解與張蔭麟基本相同。王振鐸認為：“文中記各齒輪之直徑大小多有不可理解者，如記小平輪云：‘其徑三寸少半寸’，如解作二寸五分，則輪周當合七寸五分，與‘圍一尺’及‘齒間相去一寸半’俱不合；如解作三寸又半寸，或三寸稍不足，惟與齒距半寸之說，仍未能符合?！盵5]

劉仙洲認為《宋史》中記載的盧道隆記里鼓車和吳德仁記里鼓車的構(gòu)造，“按齒數(shù)計算都是合理的，惟所記的各齒輪的周節(jié)多有不合者”，“記載上有不少錯誤是毫無疑義的”。[6]“周節(jié)”指齒間距。

陸敬嚴等人在《中國科技技術(shù)史·機械卷》中介紹盧道隆記里鼓車和吳德仁記里鼓車時也提到“文獻中關(guān)于齒間相去數(shù)據(jù)的記載，有的存在著問題，未必準確?！盵7]

李約瑟在對《宋史》中這段話解釋時，將“三寸少半寸”解釋為“3.3寸”，將“三尺少半尺”解釋為“3.3尺”，但沒有給出理由。[8]

除了《宋史》以外，《太常因革禮》《愧郯錄》《文獻通考》也記載了盧道隆記里鼓車。

2 《太常因革禮》《愧郯錄》《文獻通考》對盧道隆記里鼓車的記載

2.1 《太常因革禮》記載的盧道隆記里鼓車

《太常因革禮》卷二十二記道：“天圣五年十一月內(nèi)侍盧道隆上言明記里鼓車。其車獨轅，雙輪，廂上為兩層，各安木人，手執(zhí)木搥（應(yīng)為“槌”？）。腳輪各徑六尺，圍一丈八尺，腳輪一周而行地三步。古法六尺為步，三百步為里；今法五尺為步，三百六十步為里。立輪一只，附于左腳，徑一尺三寸八分，圍四尺一寸四分，出齒十八，齒相去二寸三分；下平輪一只，徑四尺一寸四分，圍一丈三（應(yīng)為“二”？）尺四寸二分，出齒五十四，齒間相去與附立輪同；立貫心軸一條，上安銅旋風輪一枚，出齒三，齒間相去一寸二分；中立平輪一只，徑四尺，圍一丈二尺，出齒百，齒間相去與旋風輪等；次安小平輪一只，徑三寸少半寸，圍一尺，出齒十，齒間相去一寸；上平輪一只，徑三寸（應(yīng)為“尺”？）少半尺，圍一丈，出齒百，齒間相去與小平輪同。其中平輪轉(zhuǎn)一周，車行一里，下一層木人擊鼓；上平輪轉(zhuǎn)一周，車行十里，上一層木人擊觸（應(yīng)為“鐲”？）。都用大小輪八只，共二百八十五齒，遞相鉤鏁，犬牙相制，周而復始。亦詔有司依此制造?！盵9]

《太常因革禮》是北宋歐陽修、蘇洵等人所撰，成書于北宋治平年間（1064-1067），記載了宋代建隆至嘉祐年間的禮典，距盧道隆上記里鼓車之制的時間1027年僅約40年?！短Ｒ蚋锒Y》是目前所知最早記載盧道隆記里鼓車的。

2.2 《愧郯錄》記載的盧道隆記里鼓車

《愧郯錄》卷第十三記道：“指南則始于 天圣五年十一月壬寅，定王府記室參軍工部郎中直昭文館燕肅創(chuàng)意，始上其制……是時入內(nèi)內(nèi)侍省內(nèi)侍殿頭盧道隆，亦上記里鼓之制。其車亦獨轅，雙輪，箱上為兩層，各安木人，手執(zhí)木槌。腳輪各徑六尺，圍一丈八尺，腳輪一周而行地三步。古法六尺為步，三百步為里；今法五尺為步，三百六十步為里。立輪一只，附于左腳，徑一尺三寸八分，圍四尺一寸四分，出齒十八，齒間相去二寸三分；下平輪一只，徑四尺一寸四分，圍一丈二尺四寸二分，出齒五十四，齒間相去與附立輪同；立貫心軸一條，上安銅旋風輪一枚，出齒三，齒間相去一寸二分；中立平輪一只，徑四尺，圍一丈二尺，出齒百，齒間相去與旋風等；次安小平輪一只，徑三寸少半寸，圍一尺，出齒十，齒間相去一寸；平輪一只，徑三尺少半尺，圍一丈，出齒百，齒間相去與小平輪同。其中平輪轉(zhuǎn)一周，車行一里，下一層木人擊鼓；上平輪轉(zhuǎn)一周，車行十里，上層木人擊鐲。都用大小輪八只，共二百八十五齒，遞相鉤鎖，犬牙相制，周而復始?！盵10]

《愧郯錄》是南宋岳珂所撰，成書于1214年。

2.3 《文獻通考》記載的盧道隆記里鼓車

《文獻通考》也記道：“天圣間內(nèi)侍盧道隆上記里鼓車之制，其制獨轅，雙輪，箱上為兩重，各刻木為人，執(zhí)槌。足輪各徑六尺，圍丈八尺，足輪一周而行地三步。以古法六尺為步、三百步為里，用較今法五尺為步、三百六十步為里。立輪一附于左足，徑一尺三寸八分，圍四尺一寸四分，出齒十八，齒間相去二寸三分；半（應(yīng)為“下”？）平輪一，其徑四尺一寸四分，圍丈二尺四寸二分，出齒五十四，齒間相去與附立輪同；立貫心軸一，其上設(shè)銅旋風輪一，出齒三，齒間相去寸二分；中立平輪一，其徑四尺，圍丈二尺，出齒百，齒間相去與旋風等；次設(shè)小平輪一，其徑三寸少半寸，圍一尺，出齒十，齒間相去一寸；上平輪一，其徑三尺少半尺，圍一丈，出齒百，齒間相去與小平輪同。其中平輪轉(zhuǎn)一周，車行一里，（脫漏“下”？）一層木人擊鼓；上平輪轉(zhuǎn)一周，車行十里，上一層木人擊鐲。凡用大小輪八，合二百八十五齒，遞相鉤鏁，周而復始。”[11]

《文獻通考》為元代初年馬端臨（1254-1323）所撰。

將《太常因革禮》《愧郯錄》《文獻通考》中有關(guān)盧道隆記里鼓車的文字和《宋史》中有關(guān)盧道隆記里鼓車的文字相比較，可以看出它們基本相同。

相應(yīng)于《宋史》中“次安小平輪一，其徑三寸少半寸，圍一尺，出齒十，齒間相去一寸半”的記載，

《太常因革禮》記載的是“次安小平輪一只，徑三寸少半寸，圍一尺，出齒十，齒間相去一寸”；

《愧郯錄》記載的是“次安小平輪一只，徑三寸少半寸，圍一尺，出齒十，齒間相去一寸”；

《文獻通考》記載的是“次設(shè)小平輪一，其徑三寸少半寸，圍一尺，出齒十，齒間相去一寸”。

這四種古籍對“小平輪”直徑的記載都是“三寸少半寸”，它們都記錯的可能性不大。

另外，《太常因革禮》《愧郯錄》《文獻通考》對“小平輪”齒間距的記載都是“齒間相去一寸”，與上文分析的“小平輪”齒間距的數(shù)值相合。

“三寸少半寸”是比“三寸”少了“半寸”？還是“三寸”再加上“少半寸”？

如將“三寸少半寸”解釋為“三寸”少了“半寸”，則“小平輪”的周長應(yīng)為七寸半，與“圍一尺”不合。而且這樣的解釋也不符合古人對數(shù)據(jù)的記載方式。

按照古人對數(shù)據(jù)的記載方式，應(yīng)該是“三寸”再加上“少半寸”，那“少半寸”是多少？

3 “少半”的含義

唐代李籍在《九章算術(shù)音義》中記載了“少半”：“半，博漫切，物中分也。凡言半者，以二為分母；言太半、少半者，以三為分母?！盵12]

就是說，“半”是以二為分母，“太半”“少半”是以三為分母?！吧侔搿本烤故侨种畮祝?/p>

《夏侯陽算經(jīng)》和《算學啟蒙》也記載了“少半”。

唐朝初年李淳風注釋的十部算經(jīng)中有《夏侯陽算經(jīng)》，傳本《夏侯陽算經(jīng)》含有唐朝中期的若干史料，不是原本。[13]

《夏侯陽算經(jīng)》卷上“明乘除法”對“少半”有明確的記載：“二分之一為中半，三分之二為太半，三分之一為少半，四分之一為弱半。此漏刻之數(shù)也?！盵14]

《算學啟蒙》是元代朱世杰所撰，刊刻于1299年。《算學啟蒙》“總括”對“少半”也有明確的記載：“二分之一為中半，三分之一為少半，三分之二為太半，四分之一為弱半，四分之三為強半?！盵15]

可見，“少半”即三分之一。

4 一個帶有“少半”的例題

下面舉1個古代數(shù)學題中含有“少半”的例子。

《九章算術(shù)》約編成于公元前1世紀中葉，書中有一些題目中含有“少半”。

《九章算術(shù)》卷二“粟米”有：

“粟米以御交質(zhì)變易：粟率五十，糲米三十，粺米二十七……菽、荅、麻、麥各四十五……蘗一百七十五。今有術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實，以所有率為法?！盵16]

這段話講的是谷物（或其制成品）之間的交換率。

假如有五十斤粟，則可換三十斤糲米，可換二十七斤粺米……可換菽、荅、麻、麥各四十五斤……可換一百七十五斤蘗。

此卷有1道題是：

“今有粟三斗少半升，欲為菽，問得幾何？答曰：為菽二斗七升一十分升之三。”[17]

根據(jù)這段文字可知：粟三斗少半升，如果換成菽，則得二斗七升一十分升之三。

因為1斗=10升,

設(shè)換成的菽為x升，

這與題目的答案“二斗七升一十分升之三”是吻合的。

5 “三寸少半寸”“三尺少半尺”的正確解釋

由上面的介紹可知，我國古代將三分之一稱為“少半”，而按照古人對數(shù)據(jù)的記載方式可知，“徑三寸少半寸”就是直徑為“三寸”再加上“少半寸”。

因為1尺=10寸，所以“小平輪”周長為“一尺”。

這與《宋史》《太常因革禮》《愧郯錄》《文獻通考》對“小平輪”周長的記載相合。

所以，“上平輪”周長為10尺。

因為10尺=1丈，所以“上平輪”周長為1丈。

這與《宋史》《愧郯錄》《文獻通考》對“上平輪”周長的記載相合。

因為圓周率取為3，所以當直徑為

[1][唐]房玄齡.晉書(卷二十五)[M].文淵閣四庫全書.第255冊.臺北:商務(wù)印書館,1983：448,456.

[2][梁]沈約.宋書(卷十八)[M].文淵閣四庫全書.第257冊.臺北:商務(wù)印書館,1983：305.

[3][元]托克托.宋史(卷一百四十九)[M].文淵閣四庫全書.第282冊.臺北:商務(wù)印書館,1983：641-642.

[4]張蔭麟.宋盧道隆吳德仁記里鼓車之造法[J].清華大學學報（自然科學版）,1925,2(2):635-642.

[5]王振鐸.科技考古論叢[M].北京：文物出版社,1989：31.

[6]劉仙洲.中國在傳動機件方面的發(fā)明[J].機械工程學報.1954.2（1）：1-27.

[7]陸敬嚴,華覺明.中國科學技術(shù)史·機械卷[M].北京：科學出版社.2000：99-101.

[8]李約瑟,王玲.中國科學技術(shù)史第四卷(第二冊)機械工程[M].北京：科學出版社,1999：311.

[9][宋]歐陽修.太常因革禮(卷二十二)[M].續(xù)修四庫全書.第821冊.上海：上海古籍出版社.2002：435.

[10][宋]岳珂.愧郯錄(卷第十三)“指南記里鼓車”[M].四部叢刊續(xù)編（五四）.上海：上海書店，1984:12.

[11][元]馬端臨.文獻通考(卷一百十七)[M].文淵閣四庫全書.第612冊.臺北:商務(wù)印書館,1983：733-734.

[12][唐]李籍.九章算術(shù)音義[M].文淵閣四庫全書.第797冊.臺北:商務(wù)印書館,1983：132.

[13]郭書春,李兆華.中國科學技術(shù)史·數(shù)學卷[M].北京：科學出版社,2010:351.

[14]夏侯陽.算經(jīng)(卷上)[M].郭書春.中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷(第一冊).鄭州:河南教育出版社,1993：381.

[15][元]朱世杰.算學啟蒙“總括”[M].郭書春.中國科學技術(shù)典籍通匯·數(shù)學卷(第一冊).鄭州:河南教育出版社,1993：1129.

[16]九章算術(shù)(卷二)[M].文淵閣四庫全書.第797冊.臺北:商務(wù)印書館,1983：21.

[17]九章算術(shù)(卷二)[M].文淵閣四庫全書.第797冊.臺北:商務(wù)印書館,1983：23.

[18][漢]張蒼.九章算術(shù)[M].曾海龍,譯.南京：江蘇人民出版社,2011:36-37.